双层耦合振子电网的弹性能力分析

王力梅, 李金悦

(1.天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741001;2.陕西科技大学 数学与数据科学学院,陕西 西安 710021)

电网是包含发电节点、负荷节点以及传输线的人工构造的复杂网络之一[1-2].电网在正常工作过程中会受到天气、环境等各方面因素的影响,个别元件的失效往往会引起其他元件发生故障,进一步导致整个网络的崩溃,电网比较脆弱[3-4].所以,网络在面对失效时的弹性能力尤为重要.

目前,学者把二阶摆动方程作为研究电力系统的一个简化模型[5],电力系统通常以某种方式和信息网耦合为二层网络,电网给信息网中的系统提供电力以维持其正常工作,信息网中的系统同时采集电网数据,以供工作人员监控和调配.文献[6]分析了多层网络的模型构造方法及其动力学行为描述.随后,学者从不同的角度研究了电网面向元件失效时的稳定运行能力[7].然而,大多数已报道的研究成果忽略了真实的电网中传输线的传输能力并不是完全一样的现实问题.

本文中,笔者基于二阶摆动方程,考虑传输线的权重,构建2层耦合权重电网的数学物理模型,从能量流的角度分析电网面对级联故障时的弹性能力,结合动力学理论和数值模拟结果讨论电网在不同失效状态下弹性能力的变化.

1 2层电力网络数学模型

首先给出如下二阶摆动方程:

(1)

忽略传输电线上的能量损失,则可得Gij=0,并且电压取常值E′i=1.根据(1)可以得到电网一般化的数学表达式

(2)

每个节点的动力学都可以用(2)来描述,其中θi表示各节点的相角,ωi表示转动频率,Di表示阻尼系数,矩阵Bij表示传输线的(i,j)的传输能力.令发电节点Pi=1,负荷节点Pi=-1.电力网络要正常稳定运行,必须保证所有的节点实现频率同步.因此,根据电网模型可求出平衡点

(3)

其中,i0表示节点的相位角、频率在此平衡状态下的值.

主要考虑双层网络的不同层的节点数相同、层与层之间一对一连接的情形,即第1层的节点在第2层有对应的节点.同时假设每条边的传输能力权重为γi,γj,分别表示节点i和j的度.由此,双层权重网络的动力学方程可描述为

(4)

为了简单起见,固定阻尼参数D=1,假设层A和层B含有相同的发电节点和负荷节点数,上述情形的网络拓扑结构如图1所示.

图1 2层网络的拓扑结构图Fig.1 The Topology of Duplex Network

对于电网来讲,节点i和j之间的传输能量流近似表示为Fij=Bij(θi-θj),并且能量流Fij与传输线的权重有关.因此,能量流可进一步描述为

Fij(t)=|(γiγj)Bijsin(θi(t)-θj(t))|.

(6)

用能量流的改变程度评估电网面对失效时的弹性能力是一种有效的方法,根据(6),假设一条传输线上可以承载的最大能量流为Cij=αFij,其中α∈[0,1]是可调参数.为了保证电网的正常运行,网络中所有传输线上的能量流需要满足如下条件:

|Fij(t)|≤Cij=αBij(γiγj).

(7)

2 电网的弹性能力分析

从电网稳定运行的角度来讲,弹性能力主要体现在面对不同类型的元件失效时,电网能否保持正常运行的能力.假设最初的失效由一条传输线的失效引起,同时导致耦合矩阵的值发生改变,最终使得所有传输线上的流量发生改变.对于前述的网络拓扑结构,当传输线的连接发生改变时,可由(4)重新计算新网络中的节点的相角以及传输线上的能量流.基于电网的实际特征,将网络的传输线分为同质线和异质线2大类,其中同质线表示传输线两端的节点属性一致,如同为发电节点或者负荷节点;异质线表示传输线两端节点的属性相反.

假设图1所示的拓扑结构网络在初始状态保持稳定运行,在此状态下,网络节点的相角以及传输线上的能量流随时间的演化过程如图2所示.

a.所有相角趋于一个固定值; b.传输线上能量流随时间的演化过程.图2 相角及传输线上能量流随时间的演化过程Fig.2 The Original Power Network Maintains Steady State

由图2可以看出,网络的节点相角趋于常值,传输线的能量流趋于定值,电网正常运行.

如果从电网中删除一条同质传输线e58以蓄意攻击原始电网,图3显示了网络受到攻击后所有节点的相角及能量流随时间的演化过程.观察图3可知,网络节点的相角随时间的演化依然趋于常值,传输线上的能量流与原始稳定网络中差值很小,且可以保证每条传输线不超过其最大传输能力.这表明,当原始电网移除一条同质边时,弹性能力比较强,网络可以保持稳定运行.

如果移除一条异质边e39以蓄意攻击原始电网,图4显示了网络中节点的相角、频率和能量流随时间的演化过程.观察图4可知,网络节点的相角、频率随时间的演化呈无序态,并且在可调参数取定值的条件下,传输线上的能量流超过了初始稳定状态的临界值.

由图3和图4可得出结论:在删除异质边攻击的情况下,网络弹性能力变弱;而删除同质边攻击的情况下,网络弹性能力变强.

3 结 论

基于双层加权电网的数学模型,从能量流的角度分析了电网在不同传输线被移除时,网络抵抗失效的能力;并以一个双层电网为研究对象,借助数值仿真的方法分析了电网的弹性能力的变化.结果表明,在同质传输线失效时,网络弹性能力较强,而在异质传输线失效时,网络弹性能力较弱.所得结果可在一定程度上为实际网络的构建及保护措施提供理论依据.