检测学情，化解错误

吕文书

摘  要：教学《同底数幂的乘法》一课，重点关注法则的运用，设计指向辨析结构特征、排除干扰因素、推广底数形式、统一底数形式、逆向运用法则等的习题，检测学生的掌握情况，进而化解学生的解题错误。这样的教学符合变式理论和因材施教理念。

关键词：初中数学；同底数幂的乘法；法则运用

“同底数幂的乘法”是苏科版初中数学七年下册第8章《幂的运算》第1节的内容。从以往的教学经验来看，学生很容易基于乘方的意义通过演绎推理得出同底数幂的乘法法则am·an=am+n（m、n是正整数），但是，因为这一法则是代数学的一个基本法则（从代数公理化的角度看，实际上是一个“运算律”），具有极强的一般性［1］，所以学生在运用这一法则时，面对千变万化的具体情况，很容易出现混淆，产生错误。因此，笔者在教学中重点关注法则的运用，设计类型丰富的习题，检测学生的掌握情况，进而化解学生的解题错误（为了提高了解和分析学情的效率，笔者将习题发布在网络平台上，要求学生限时完成，再利用平台自带的功能采集学生的答题情况，统计正确率）。

一、指向辨析结构特征的学情检测与错误化解

笔者设计的第1道法则运用习题如下：

1.下列计算结果正确的是（  ）

A.a2·a3=a6

B.a2+a3=a5

C.a2+a3=a6

D.a2·a3=a5

本题意在通过四个选项的比较辨析，引导学生明晰同底数幂乘法法则的结构特征，是将幂的乘法变成指数的加法（D选项），而不是将幂的乘法变成指数的乘法（A选项）、将幂的加法变成指数的加法（B选项）或将幂的加法变成指数的乘法（C选项）。

学生答题后，平台统计得到的正确率为95%，出错的学生都选择了A选项。这说明学生对法则的结构特征掌握得较好，特别是知道法则适用于幂相乘而不是相加的情况。所以，笔者简单地强调：同底数幂的乘法法则是将幂的乘法变成指数的加法，A选项将其变成了指数的乘法，是不对的。

二、指向排除干扰因素的学情检测与错误化解

笔者设计的第2、第3、第4道法则运用习题如下：

2.x·x11的计算结果是（  ）

A.x11

B.2x11

C.x12

D.2x12

3.-bn-1·bn+1的计算结果为（  ）

A.b2n

B.2b2n

C.-b2n

D.-2b2n

4.a2·a2·am的计算结果为（  ）

A.a4+m

B.2a2m

C.2a2+m

D.a4m

这三题都增加了干扰因素：第2题中，因式x的次数1是习惯性被省略的，学生很容易将其当作0进行指数相加；第3题中，式子前面的负号会对学生判断底数是否相同形成干扰，导致学生对最终结果感到模棱两可；第4题中，前两个同底数幂的指数也相同，学生容易将其当作合并同类项处理。此外，从第2题到第3题，指数从数变为式，初步体现了同底数幂乘法法则的一般性；从第2、第3题到第4题，幂从2个变为3个，体现了同底数幂乘法法则在复杂运算中的多次运用。

学生答题后，平台统计得到第2题的正确率为90%，出错的学生都选择了A选项。对此，笔者利用平台找到选择A选项的学生，问他们因式x的次数是多少，提醒他们首先确认各个幂的指数，然后按照同底数幂的乘法法则进行计算。

平台统计得到第3题的正确率为85%，出错的学生都选择了A选项。个别交流得知，选择A选项的学生认为指数相加后的结果2n为偶数，所以负号可以省略。其实，这正是没有对底数充分辨析的结果。对此，笔者让他们确认底数是什么，从而明白最前面的负号是对同底数幂运算的结果取相反数，而不是底数的一部分；然后以“-b4表示b的4次方的相反数，而不是－b的4次方”为例，提示他们在计算前确认运算对象和运算顺序。

平台统计得到第4题的正确率为80%，出错的学生大部分选择了B选项，小部分选择了D选项。选择B选项的学生混淆了同底数幂相乘与同类项相加，选择D选项的学生执行的是指数相乘。对此，笔者引导他们回顾同底数幂乘法法则的结构特征，明确：这里是幂的乘法，而不是幂的加法；要进行指数相加，而不是相乘。

三、指向推广底数形式的学情检测与错误化解

笔者设计的第5道法则运用习题如下：

5.（x+y）3（x+y）4的计算结果为（  ）

A.7（x+y）（x+y）

B.（x+y）12

C.（x+y）7

D.12（x+y）

本题对同底数幂乘法法则的形式做了进一步推广：底数由单个字母（单项式）变为字母运算形成的代数式（多项式），考查学生对同底数幂乘法法则一般性的深度理解。

学生答题后，平台统计得到的正确率为70%，出错的学生选择A、B、D选项的都有。选择A选项的学生仍然是混淆了同底数冪相乘与同类项相加，选择B选项的学生仍然是执行了指数相乘，选择D选项的学生则在运算类型与法则结构的认知上都存在问题。对此，笔者引导学生认清运算类型和法则结构，重点是认识到：同底数幂乘法法则中的底数a具有极强的一般性，可以表示三类情况：单纯的数字、次数是1的单个字母（次数高于1的单个字母的情况是幂的乘方，多个字母相乘的情况是积的乘方，留作后两节课的预设）、含有多个字母（可能包含数字）的多项式。进而明确：只要底数完全一样，即可运用同底数幂的乘法法则。

四、指向统一底数形式的学情检测与错误化解

笔者设计的第6道法则运用习题如下：

6.（-3）3×36等于（  ）

A.（-3）9

B.39

C.33

D.318

本题是底数互为相反数的幂的乘法，属于底数需要统一（即化为同底数）的情况。根据以前的经验，这类问题考查学生对法则的灵活运用，是学生容易出错的。

学生答题后，平台统计得到的正确率为55%，出错的学生接近一半选择了B选项，其他的选择C、D选项的都有，还有没有提交答案的。选择A选项的学生没有对是否为同底数进行辨析，选择C或D选项的学生对法则结构的认知存在问题，没有提交答案的学生可能完全不知道应该运用什么法则。对此，笔者首先引导学生发现底数不同，需要通过变换变得相同，接着引导学生思考互为相反数的两个底数应该变换哪个、如何变换。学生发现：当幂的指数为偶数时，其底可以直接换为原底的相反数；当幂的指数为奇数时，其底变为原底的相反数后要在幂的前面加负号。从而明确：应该首先尝试换掉指数是偶数的幂的底数，因为可以减少一次符号的判断，提高解题的正确率。最后，笔者针对这个难点给出了几道补偿练习：

计算：

（1）24×（-2）7；

（2）（a-b）3×（b-a）2；

（3）33×81。

这三道补偿练习逐层递进：（1）底数是互为相反数的数，即上述习题的简单变式；（2）底数是互为相反数的代数式，且是多项式；（3）不同的底数不互为相反数，而拥有乘方关系。

五、指向逆向运用法则的学情检测与错误化解

笔者设计的第7、第8道法则运用习题如下：

7.填空：（1）a2·a（  ）=a8；（2）a4·    ·a2=a10；（3）若a4·am=a10，则m=    ；（4）若xm·xm=x16，则m=    。

8.已知am=5，an=3，求am+n的值。

这两题都是同底数幂乘法法则的逆向运用：要把am+n还原为am·an，即把一个指数拆分为两个指数的和，并注意两个同底数幂的相乘关系。其中，第7题给出了幂的相乘关系和一个作为加数的指数，要求另一个作为加数的指数，比较简单，能够为同底数幂除法法则的学习做铺垫；第8题给出了指数的相加关系和两个幂的值，要求指数和的幂的值，有一定的难度，需要在逆用法则的基础上注意幂的相乘关系以及进行整体代换。

学生答题后，平台统计得到：第7题的正确率为95%，个别学生第（4）小题出错，给出的答案是4；第8题的正确率为65%，出错的学生给出的答案是8，有一些学生没有给出答案。出错的学生是因为在逆向运用法则时混淆了法则的结构特征：把指数相加变成相乘或把幂相乘变成相加。没有给出答案的学生则可能还缺乏整体代换的意识，看到这种不能求出每个字母的值却要求出字母式子值的问题有些慌乱。对此，笔者引导他们再回顾同底数幂乘法法则的结构特征，注意底数相同以及幂相乘、指数相加，从而自主纠正错误；同时，强调法则运用的灵活性，即不仅可以正用、局部用，而且可以逆用、整體用。

总的来看，这样的教学不仅符合变式理论（通过丰富的变式深刻地理解知识），而且符合因材施教理念（以学生为主体，教在需要教的地方）。

参考文献：

［1］刘东升.代数解题教学：重视“代”和“变”，培养结构感——从常见误区说起［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2023（2）：64.