滤波辨识(8): 类多变量输出误差ARMA系统的滤波辅助模型递阶广义增广参数辨识

丁 锋, 万立娟, 栾小丽, 徐 玲, 刘喜梅

(1.江南大学 物联网工程学院, 江苏 无锡 214122;2.青岛科技大学 自动化与电子工程学院, 山东 青岛 266061)

滤波辨识理念是针对有色噪声干扰(即相关噪声干扰)随机系统辨识提出的,通过对观测数据进行滤波,使得有色噪声干扰的系统转化为一个白噪声干扰的辨识模型。它不仅可用于有色噪声干扰的标量系统、多变量系统、线性系统、非线性系统辨识方法的研究,而且可以结合辅助模型辨识思想、多新息辨识理论、递阶辨识原理等[1-7],以及梯度方法、最小二乘方法、牛顿方法,研究和提出系列递推辨识方法和迭代辨识方法。《青岛科技大学学报(自然科学版)》上的连载论文将滤波辨识理念与梯度方法和最小二乘方法相结合,研究了有限脉冲响应滑动平均系统、方程误差自回归系统、输出误差自回归滑动平均系统滤波递推辨识方法和滤波迭代辨识方法[8-14]。最近的连载论文研究了类多变量方程误差自回归滑动平均(M-EEARMA-like)系统的滤波递阶广义增广参数辨识方法,即类多变量受控自回归自回归滑动平均(M-CARARMA-like)系统的滤波递阶广义增广参数辨识方法[15]。

本研究利用滤波辨识理念、辅助模型辨识思想、递阶辨识原理、多新息辨识理论,研究类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统,即类多变量Box-Jenkins (M-BJ-like)系统的滤波辅助模型递阶广义增广递推参数辨识方法。相关工作参见文献[2,7,16-27]。

1 类多变量输出误差ARMA 系统

考虑类多变量输出误差自回归滑动平均模型(multivariable output-error ARMA-like model,MOEARMA-like模型),即类多变量Box-Jenkins(MBJ-like)模型描述的多变量系统[2,7]:

其中y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T∈ℝm为m维观测输出向量,u(t)∈ℝr为r维观测输入向量,v(t)=[v1(t),v2(t),…,vm(t)]T∈ℝm为m维白噪声向量,α(z)和γ(z)为单位后移算子z-1的多项式,Q(z)和N(z)为单位后移算子z-1的多项式矩阵, 它们定义为

定义模型参数向量ϑ和参数矩阵θ如下:

定义无噪输出向量

进一步可以等价写为

其中无噪输出信息矩阵ψx（n,t）和输入信息向量φu(t)定义如下:

定义输出信息矩阵ψy(t)和输入信息矩阵ψu(t):

用γ(z)N-1(z)作为滤波器,定义滤波无噪输出向量xf(t),滤波输出向量yf(t)和滤波输入向量uf(t):

定义滤波无噪输出信息向量φxf(t),滤波输出信息向量φyf(t)和滤波输入信息向量φuf(t):

进一步可以等价写为

上式两边左乘γ(z)N-1(z)可得

将式(8)和(7)代入上式可得

由此可以得到类多变量输出误差ARMA 系统(1)的滤波递阶辨识模型:

其中信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t)定义如下:

对于类多变量输出误差ARMA 系统(1),系统输入输出数据为{u(t),y(t)},在滤波递阶辨识模型(11)中,只有信息矩阵ψ(t)中的输出信息矩阵ψy(t)是已知的,而无噪输出信息矩阵ψx(n,t)和ψx(nγ,t)是未知的,信息向量φ(t)中输入信息向量φu(t)是已知的,而滤波输出向量φyf(t)和φxf(t)是未知的。这是辨识的困难所在。因此必须借助辅助模型辨识思想,滤波辨识理念和递阶辨识原理,利用系统的观测数据{u(t),y(t):t=1,2,3,…},通过对未知滤波输入向量uf(t),滤波输出向量yf(t)和xf(t),以及无噪输出x(t)进行估算,研究M-OEARMA-like系统的滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广随机梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广递推梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广最小二乘辨识方法,来估计系统参数向量ϑ和参数矩阵θ。

2 计算未知量的辅助模型

根据信息矩阵ψx(n,t)定义式的结构,用辅助模型的输出向量定义无噪输出信息矩阵ψx(n,t)的估计:

根据信息向量φxf(t)定义式的结构,用滤波辅助模型的输出向量定义滤波无噪输出信息向量φxf(t)的估计:

根据信息向量φyf(t)定义式的结构,用滤波辅助模型的输出向量定义滤波输出信息向量φyf(t)的估计:

根据信息向量φuf(t)定义式的结构,用滤波辅助模型的输出向量定义滤波输入信息向量φuf(t)的估计:

根据式(12),用信息矩阵ψx(n,t)和ψx(nγ,t)的估计和,以及输出信息矩阵ψy(t)定义信息矩阵ψ(t)的估计:

根据式(13),用输入信息向量φu(t),以及滤波输出信息向量φyf(t)和φxf(t)的估和定义信息向量φ(t)的估计:

根据式(3)的结构,用参数估计向量,参数估计矩阵,信息矩阵和信息向量φu(t)定义估算x(t)的辅助模型:

可认为是x(t)的估计。根据定义式(7)的结构,用参数估计向量和,参数估计矩阵和,信息矩阵和,以及信息向量φu(t)和定义估算xf(t)的辅助模型:

可认为是xf(t)的估计。根据定义式(8)的结构,用参数估计矩阵,参数估计向量,滤波输出信息向量和输出信息矩阵ψy(t)定义估算yf(t)的辅助模型:

可认为是yf(t)的估计。根据定义式(9)的结构,用参数估计矩阵,参数估计向量,滤波输入信息向量和输入信息矩阵ψu(t)定义估算uf(t)的辅助模型:

可认为是uf(t)的估计。

因为滤波递阶辨识模型中涉及一些未知变量,如噪声向量v(t-i),滤波输入向量uf(t-i),滤波输出向量yf(t-i),所以辨识方案需要采用递推算法或迭代算法来交替估计参数向量和参数矩阵,以及涉及的未知变量。

3 滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度辨识方法

基于滤波递阶辨识模型(11),定义准则函数

未知信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t)用其估计和代替,联立式(14)～(19)和辅助模型(20)～(24),以及式(4)～(6),可以得到辨识类多变量输出误差ARMA 系统(1)对应的滤波递阶辨识模型(11)参数向量ϑ和参数矩阵θ的辅助模型滤波递阶广义增广随机梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HGESG 算法),或滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HGESG 算法)[7,20-21]:

从F-AM-HGESG 辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶随机梯度辨识算法。

1)当nγ=0和nn=0,即γ(z)=1和N(z)=1时,F-AM-HGESG 辨识算法(25)～(48)退化为类多变量输出误差(M-OE-like)系统的辅助模型递阶随机梯度算法(auxiliary model hierarchical stochastic gradient algorithm,AM-HSG 算法)[20]。

2)当nγ=0,即γ(z)=1时,F-AM-HGESG 辨识算法(25)～(48)退化为类多变量输出误差滑动平均(M-OEMA-like)系统[25]的滤波辅助模型递阶增广随机梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical extended stochastic gradient algorithm,FAM-HESG 算法) 或辅助模型滤波递阶增广随机梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical extended stochastic gradient algorithm,AM-FHESG 算法)[7,20]。

3)当nn=0,即N(z)=1时,F-AM-HGESG 辨识算法(25)～(48)退化为类多变量输出误差自回归(M-OEAR-like)系统[16]的滤波辅助模型递阶广义随机梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,F-AMHGSG 算法), 或辅助模型滤波递阶广义随机梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,AM-F-HGSG算法)。

4)读者可以写出类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统[21,23,36]的加权滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度(W-F-AM-HGESG)算法或加权辅助模型滤波递阶广义增广随机梯度(W-AM-F-HGESG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度(FF-F-AM-HGESG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度(AM-F-FF-HGESG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度(W-FF-F-AMHGESG)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度(W-AM-F-FF-HGESG)算法。

F-AM-HGESG 算法(25)～(48)计算参数向量和参数矩阵的步骤如下。

1)初始化: 令t=1,设定初值。

2)采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(36)～(38)构造输入信息向量φu(t),输出信息矩阵ψy(t)和输入信息矩阵ψu(t)。

4)用式(28)计算r(t),用式(26)计算新息向量e(t),用式(25)刷新参数估计向量,用式(27)刷新参数估计矩阵。

5)从式(43)的中读出参数估计向量和,从式(46)的中读出参数估计矩阵和。用式(39)～(42)计算辅助模型的输出,滤波辅助模型的输出,和。

4 滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度方法

设p为新息长度。基于F-AM-HGESG 算法(25)～(48),根据多新息辨识理论[6,28],按照式(59)～(64)定义堆积输出向量Y(p,t),堆积输出矩阵Y1(p,t),堆积信息矩阵Φ(p,t),堆积信息向量Φ1(p,t),堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),将式(25)中信息矩阵扩展为堆积信息矩阵Ψ(p,t),新息向量e(t)扩展为一个大新息向量E(p,t),得到

将式(27)中信息向量扩展为堆积信息矩阵Φ(p,t),新息向量e(t)扩展为新息矩阵E1(p,t),得到

将式(28)中信息矩阵扩展为堆积信息矩阵Ψ(p,t),信息向量扩展为堆积信息矩阵Φ(p,t),得到

联立式(49)～(53)和式(29)～(48),就得到辨识类多变量输出误差ARMA 系统(1)参数向量ϑ和参数矩阵θ的辅助模型滤波递阶多新息广义增广随机梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-GESG 算法),或滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-GESG 算法)[7,20]:

从F-AM-HMI-GESG 辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶多新息随机梯度辨识算法。

1)当nγ=0和nn=0时,F-AM-HMI-GESG 辨识算法(54)～(80)退化为类多变量输出误差(MOE-like)系统的辅助模型递阶多新息随机梯度算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation stochastic gradient algorithm,AM-HMISG 算法)[7]。

2)当nγ=0 时,F-AM-HMI-GESG 辨识算法(54)～(80)退化为类多变量输出误差滑动平均(MOEMA-like)系统的滤波辅助模型递阶多新息增广随机梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-ESG 算法),或辅助模型滤波递阶多新息增广随机梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-ESG算法)[7]。

3)当nn=0 时,F-AM-HMI-GESG 辨识算法(54)～(80)退化为类多变量输出误差自回归(MOEAR-like)系统的滤波辅助模型递阶多新息广义随机梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-GSG 算法),或辅助模型滤波递阶多新息广义随机梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-GSG 算法)。

4)读者可以写出类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统的加权滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度(W-F-AM-HMIGESG)算法或加权辅助模型滤波递阶多新息广义增广随机梯度(W-AM-F-HMI-GESG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度(FF-F-AM-HMI-GESG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度(AM-F-FFHMI-GESG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度(W-FF-F-AM-HMIGESG)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度(W-AM-F-FF-HMI-GESG)算法。

F-AM-HMI-GESG 算法(54)～(80)计算参数向量和参数矩阵的步骤如下。

1)初始化: 令t=1,设定新息长度p,初值。

2)采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(72)～(74)构造输入信息向量φu(t),输出信息矩阵ψy(t)和输入信息矩阵ψu(t)。

4)用式(59)和(60)构造 堆积输出向量Y(p,t)和堆积输出矩阵Y1(p,t),用式(61)和(62)构造 堆积信息矩阵Φ(p,t)和堆积信息向量Φ1(p,t),用式(63)和(64)构造堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(58)计算r(t),用式(55)计算新息向量E(p,t),用式(54)刷新参数估计向量,用式(57)计算新息矩阵E1(p,t),用式(56)刷新参数估计矩阵。

6)从式(79)的中读出参数估计向量和,从式(80)的中读出参数估计矩阵和。用式(75)～(78)计算辅助模型的输出,滤波辅助模型的输出和。

5 滤波辅助模型递阶广义增广递推梯度辨识方法

根据类多变量输出误差ARMA 系统(1)的滤波递阶辨识模型(11),定义准则函数。

仿照递阶梯度算法的推导[5,7],使用梯度搜索,极小化准则函数J2(ϑ,θ),未知信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t)用其估计和代替,联立式(29)～(48),便得到辨识类多变量输出误差ARMA 系统(1)参数向量ϑ和参数矩阵θ的辅助模型滤波递阶广义增广递推梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended recursive gradient algorithm,AM-F-HGERG 算法),简称为滤波辅助模型递阶广义增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended gradient algorithm,F-AM-HGEG 算法)[7,14]:

从F-AM-HGEG 辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶递推梯度辨识算法。

1)当nγ=0 和nn=0 时,F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化为类多变量输出误差(M-OElike)系统的辅助模型递阶梯度算法(auxiliary model hierarchical gradient algorithm,AM-HG 算法)[7]。

2)当nγ=0 时,F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化为类多变量输出误差滑动平均(M-OEMA-like)系统的滤波辅助模型递阶增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical extended gradient algorithm,F-AM-HEG 算法),或辅助模型滤波递阶增广梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical extended gradient algorithm,AM-F-HEG算法)[7]。

3)当nn=0 时,F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化为类多变量输出误差自回归(M-OEARlike)系统的滤波辅助模型递阶广义梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized gradient algorithm,F-AM-HGG 算法),或辅助模型滤波递阶广义梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized gradient algorithm,AM-FHGG 算法)。

4)读者可以写出类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统的加权滤波辅助模型递阶广义增广梯度(W-F-AM-HGEG)算法或加权辅助模型滤波递阶广义增广梯度(W-AM-FHGEG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广梯度(FF-F-AM-HGEG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广梯度(AM-F-FF-HGEG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广梯度(WFF-F-AM-HGEG)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广梯度(W-AM-F-FF-HGEG)算法。

F-AM-HGEG 辨识算法(81)～(104)计算参数估计向量和参数估计矩阵的步骤如下。

1)初始化: 令t=1,设定新息长度p,初值i=1,2,…,p+max[n,nγ,nn],p0=106。给定参数估计精度ε。

2)采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(96)～(98)构造输入信息向量φu(t),输出信息矩阵ψy(t)和输入信息矩阵ψu(t)。

4)用式(82)计算r1(t),用式(83)计算向量ξ1(t),用式(84)计算矩阵R1(t),用式(81)刷新参数估计矩阵ϑ1(t)。

5)用式(86)计算r2(t),用式(87)计算向量ξ2(t),用式(88)计算矩阵R2(t),用式(85)刷新参数估计矩阵θ1(t)。

6)从式(103)的ϑ1(t)中读出参数估计向量和,从式(104)的θ1(t)中读出参数估计矩阵和。用式(99)～(102)计算辅助模型的输出,滤波辅助模型的输出,和。

6 滤波辅助模型递阶多新息广义增广递推梯度方法

设正整数p为新息长度。基于F-AM-HGEG算法(81)～(104),根据多新息辨识理论[6,28],按照式(113)～(118)定义堆积输出向量Y(p,t),堆积输出矩阵Y1(p,t),堆积输入信息矩阵Φ(p,t),堆积输入信息向量Φ1(p,t),堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),将式(81)～(84)中新息向量y(t)-扩展为一个大新息向量Y(p,t)-,输出信息矩阵扩展为堆积输出信息矩阵Ψ(p,t),得到式(105)～(108),再将式(85)～(88)中新息向量扩展为新息矩阵,输入信息向量扩展为堆积输入信息矩阵Φ(p,t),得到式(109)～(112),联立式(89)～(104),能够得到辨识类多变量输出误差ARMA 系统(1)对应的滤波递阶辨识模型(11)参数向量ϑ和参数矩阵θ的辅助模型滤波递阶多新息广义增广递推梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended recursive gradient algorithm,AM-F-HMI-GERG 算法),简称为滤波辅助模型递阶多新息广义增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended gradient algorithm,F-AMHMI-GEG 算法)[7,14]:

从F-AM-HMI-GEG 辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶多新息梯度辨识算法。

1)当nγ=0和nn=0时,F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化为类多变量输出误差(M-OElike)系统的辅助模型递阶多新息梯度算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation gradient algorithm,AM-HMIG 算法)[7]。

2)当nγ=0时,F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化为类多变量输出误差滑动平均(M-OEMA-like)系统的滤波辅助模型递阶多新息增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multiinnovation extended gradient algorithm,F-AMHMI-EG 算法),或辅助模型滤波递阶多新息增广梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended gradient algorithm,AM-F-HMI-EG 算法)[7]。

3)当nn=0时,F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化为类多变量输出误差自回归(M-OEARlike)系统的滤波辅助模型递阶多新息广义梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,F-AMHMI-GG 算法),或辅助模型滤波递阶多新息广义梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,AM-F-HMI-GG 算法)。

4)可以写出类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统的加权滤波辅助模型递阶多新息广义增广梯度(W-F-AM-HMI-GEG)算法或加权辅助模型滤波递阶多新息广义增广梯度(WAM-F-HMI-GEG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广梯度(FF-F-AM-HMI-GEG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广梯度(AM-F-FF-HMI-GEG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广梯度(W-FF-F-AMHMI-GEG)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广梯度(W-AM-F-FF-HMI-GEG)算法。

F-AM-HMI-GEG 辨识算法(105)～(134)计算参数估计向量ϑ︿(t)和参数估计矩阵θ︿(t)的步骤如下。

1)初始化: 令t=1,设定新息长度p,初值。给定参数估计精度ε。

2)采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(126)～(128)构造输入信息向量φu(t), 输出信息矩阵ψy(t)和输入信息矩阵ψu(t)。

4)用式(113)和(114)构造 堆积输出向量Y(p,t)和堆积输出矩阵Y1(p,t),用式(115)和(116)构造堆积信息矩阵Φ(p,t)和堆积信息向量Φ1(p,t),用式(117)和(118)构造堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(106)计算r1(t),用式(107)计算向量ξ1(t),用式(108)计算矩阵R1(t),用式(105)刷新参数估计向量ϑ1(t)。

6)用式(110)计算r2(t),用式(111)计算向量ξ2(t),用式(112)计算矩阵R2(t),用式(109)刷新参数估计矩阵θ1(t)。

7)从式(133)的ϑ1(t)中读出参数估计向量和,从式(134)的θ1(t)中读出参数估计矩阵和。用式(129)～(132)计算辅助模型的输出,滤波辅助模型的输出,和。

7 滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘辨识方法

根据滤波递阶辨识原理,令J2(ϑ,θ)分别对ϑ和θ的偏导数为零,未知信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t)用其估计和代替,联立式(89)～(104),便得到辨识类多变量输出误差ARMA 系统(1)参数向量ϑ和参数矩阵θ的辅助模型滤波递阶广义增广最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended least squares algorithm,AM-F-HGELS算法),或滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended least squares algorithm,F-AM-HGELS算法)[7,20]:

从F-AM-HGELS辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶最小二乘辨识算法。

1)当nγ=0和nn=0时,F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化为M-OE-like系统的辅助模型递阶最小二乘算法(auxiliary model hierarchical least squares algorithm,AM-HLS算法)[7,19-20]。

2)当nγ=0 时,F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化为M-OEMA-like系统的滤波辅助模型递阶增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical extended least squares algorithm,FAM-HELS算法),或辅助模型滤波递阶增广最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical extended least squares algorithm,AM-F-HELS 算法)[7,20]。

3)当nn=0 时,F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化为M-OEAR-like系统的滤波辅助模型递阶广义最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized least squares algorithm,FAM-HGLS算法),或辅助模型滤波递阶广义最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized least squares algorithm,AM-F-HGLS 算法)。

4)读者可以写出类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统的加权滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘(W-F-AM-F-HGELS)算法或加权辅助模型滤波递阶广义增广最小二乘(WAM-F-HGELS)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘(FF-F-AM-HGELS)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广最小二乘(AM-FFF-HGELS)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘(W-FF-F-AM-HGELS)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广最小二乘(W-AM-F-FF-HGELS)算法。

F-AM-HGELS辨识算法(135)～(157)计算参数估计向量和参数估计矩阵的步骤如下。

1)初始化: 令t=1,设定初值。

2)采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(149)～(151)构造输入信息向量φu(t), 输出信息矩阵ψy(t)和输入信息矩阵ψu(t)。

4)用式(136)计算新息向量e(t),用式(137)计算增益矩阵L1(t),用式(138)计算协方差矩阵P1(t),用式(135)刷新参数估计向量,用式(140)计算增益矩阵L2(t),用式(141)计算协方差矩阵P2(t),用式(139)刷新参数估计矩阵。

5)从式(156)的中读出参数估计向量和,从式(157)的中读出参数估计矩阵和。用式(152)～(155)计算辅助模型的输出,滤波辅助模型的输出,和。

8 滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘方法

设p为新息长度。根据多新息辨识理论[6,28],基于F-AM-HGELS 算法(135)～(157),按照式(170)～(175)定义堆积输出向量Y(p,t),堆积输出矩阵Y1(p,t),堆积输入信息矩阵Φ(p,t),堆积输入信息向量Φ1(p,t),堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),将式(135)中新息向量e(t)扩展为一个大新息向量E(p,t),得到

将式(139)中新息向量e(t)扩展为新息矩阵E1(p,t),得到

式(137)～(138)中信息矩阵扩展为堆积信息矩阵Ψ(p,t),即式(164)～(165),式(140)～(141)中输入信息向量扩展为堆积输入信息矩阵Φ(p,t),得到式(168)～(169),联立式(158)～(161)和(65)～(80),便得到辨识类多变量输出误差ARMA 系统(1)参数向量ϑ和参数矩阵θ的辅助模型滤波递阶多新息广义增广最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended least squares algorithm,AM-FHMI-GELS算法),或滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended least squares algorithm,F-AM-HMI-GELS 算法)[7,20]:

从F-AM-HMI-GELS辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶多新息最小二乘辨识算法。

1)当nγ=0和nn=0时,F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化为M-OE-like系统的辅助模型递阶多新息最小二乘算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation least squares algorithm,AM-HMILS算法)[7,20]。

2)当nγ=0时,F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化为M-OEMA-like系统的滤波辅助模型递阶多新息增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,F-AM-HMI-ELS算法),或辅助模型滤波递阶多新息增广最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,AM-F-HMI-ELS算法)[7,20]。

3)当nn=0时,F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化为M-OEAR-like系统的滤波辅助模型递阶多新息广义最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,F-AM-HMI-GLS 算法),或辅助模型滤波递阶多新息广义最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,AM-FHMI-GLS算法)。

4)读者可以写出类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统的加权滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘(W-F-AM-HMIGELS)算法或加权辅助模型滤波递阶多新息广义增广最小二乘(W-AM-F-HMI-GELS)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘(FF-F-AM-HMI-GELS)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广最小二乘(AM-F-FFHMI-GELS)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘(W-FF-F-AM-HMIGELS)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广最小二乘(W-AM-F-FF-HMI-GELS)算法。

F-AM-HMI-GELS辨识算法(162)～(191)计算参数估计向量参数估计矩阵的步骤如下。

1)初始化: 令t=1,设定新息长度p,初值106。给定参数估计精度ε。

2)采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(183)～(185)构造输入信息向量φu(t),输出信息矩阵ψy(t)和输入信息矩阵ψu(t)。

4)用式(170)和(171)构造堆积输出向量Y(p,t)和堆积输出矩阵Y1(p,t), 用式(172)和(173)构造 堆积信息矩阵Φ(p,t)和堆积信息向量Φ1(p,t),用式(174)和(175)构造堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(163)计算新息向量E(p,t),用式(164)计算增益矩阵P1(t),用式(165)计算协方差矩阵L1(t),用式(162)刷新参数估计向量。

6)用式(167)计算新息矩阵E1(p,t),用式(168)计算增益矩阵L2(t),用式(169)计算协方差矩阵P2(t),用式(166)刷新参数估计矩阵。

7)从式(190)的中读出参数估计向量和,从式(191)的中读出参数估计矩阵和。用式(186)～(189)计算辅助模型的输出,滤波辅助模型的输出,和。

9 结 语

针对类多变量输出误差自回归滑动平均(MOEARMA-like)系统,利用辅助模型辨识思想,滤波辨识理念和递阶辨识原理,研究和提出了滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广随机梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)递推广义增广递推梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广最小二乘辨识方法。这些滤波辅助模型递阶广义增广辨识方法可以推广到其它有色噪声干扰下的线性和非线性多变量随机系统中[30-44]。