2024届高考数学(新高考Ⅰ卷)模拟卷

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0098-04

收稿日期：2024-03-05

作者简介：李鸿昌（1991.10—），男，贵州省凯里人，本科，中学二级教师，从事高中数学解题研究.

基金项目：2022年贵州省教育科学规划课题重点课题“大概念视角下高中数学大单元作业设计原理及案例研究”（课题编号：2022A052）.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合M={-1，1，2，3}，N=x|x2-4≥0，则M∩N=（" ）.

A.{2，3}""""" B.{1，3}

C.{-1，1，2，3}D.{-1，1}

2.已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2024=（" ）.

A.i""" B.-i""" C.0""" D.1

3.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为（" ）.

A.2""" B.1""" C.14""" D.18

4.已知a，b为非零向量，且|a|=|b|=r（rgt;0），lt;a，bgt;=π3，若|a+tb|的最小值为3，则r2+t2的值为（" ）.

A.52""" B.94""" C.4""" D.174

5.设a=log23，b=log35，c=log58，则（" ）.

A.alt;blt;c""" B.clt;blt;aC.alt;clt;bD.clt;alt;b

6.已知A（-3，0），B（0，3），设C是圆M：x2+y2-2x-3=0上一动点，则△ABC面积的最大值与最小值之差等于（" ）.

A.12" B.62" C.6""" D.32

7.设数列an的前n项和为Sn，设甲：an是等比数列；乙：存在常数c，使{Sn+c}是等比数列.已知两个数列的公比都不等于1，则（" ）.

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.“拟柱”是这样一个多面体，它的所有顶点在两个称为底的平行平面上，它的侧面不是三角形便是梯形，两底间的距离叫作高，与两底平行且等距的截面称为中截面.棱柱、棱锥、棱台都是“拟柱”的特例.设“拟柱”两底面积为S，S1，中截面面积为M，高为h，则（" ）.

A.6V=h（2S+3M+2S1）

B.3V=h（2S+3M+2S1）

C.6V=h（S+4M+S1）

D.3V=h（S+6M+S1）

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知a，bgt;0，且ab=a+b+3，则（" ）.

A.ab≥9""""" B.a+b≤6

C.1a+1b≥23D.a2+b2≥18

10.已知f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=ex，则（" ）.

A.f（x）是增函数B.g（-2 023）lt;g（2 024）

C.f（2x）=2f（x）g（x）D.g（2x）=［f（x）］2-［g（x）］2

11.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（" ）.

A.直径为0.4m的球体

B.底面边长为0.5m，高为0.4m的正三棱柱

C.底面直径为0.01m，高为1.1m的圆柱体

D.底面直径为0.25m，高为0.45m的圆柱体

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（x2+1x）6的展开式中的常数项为.

13.设x∈［0，π2］，则函数y=sinx+cosx的最大值为.

14.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦点，B为C的上顶点，直线BF1与C的另一个交点为A.若AF2·BF2=0，则C的离心率为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为2/3，且每次跳高相互独立.

（1）记甲在这次比赛中跳的次数为X，求X的分布列和数学期望；

（2）已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.

16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，

BC=4，AA1=5，点E，F，G分别在棱AA1，DD1，CC1上，AE=2，DF=3，CG=1.

（1）证明：B，E，F，G四点共面；

（2）点P在棱CC1上，当平面EFP与平面EFA的夹角的余弦值为4/13时，求C1P.

17.已知函数f（x）=a（ex+a2）-x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当agt;0时，f（x）≥4lna+2.

18.已知双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），虚轴长为2，点A（-4，-1）在双曲线C上.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点（0，1）的直线交双曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴交于M，N两点，求证：MN的中点为定点.

19.已知正项数列an的前n项和为Sn，且a31+a32+…+a3n=S2n.

（1）求a1和a2的值，并求出数列{an}的通项公式；

（2）设bn=1an，求［b1+b2+…+b2 024］的值（其中［x］表示不超过x的最大整数）.

参考答案

1.A" 2.C" 3.D" 4.D" 5.B" 6.B" 7.A

8.C" 9.ACD" 10.ABC" 11.ABD

12.15" 13.234" 14.55

15.记Ai表示“第i次跳过该高度”，i=1，2，3.

（1）X的可能取值为1，2，3，且

P（X=1）=P（A1）=23，

P（X=2）=P（A1A2）=（1-23）×23=29，

P（X=3）=P（A1A2）=（1-23）2=19.

所以X的概率分布为

X

1

2

3

P

23

29

19

所以X的数学期望为E（X）=1×23+2×29+3×19=139.

（2）记B表示“甲同学挑战成功”，则

P（B）=1-P（A1A2A2）=1-（1-23）3=2627，

P（A2B）=P（A1A2）=（1-23）×23=29，

由条件概率公式知

P（A2|B）=P（A2B）P（B）=313.

所以甲挑战成功，且第二次跳过该高度的概率为313.

16.（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz.

可得E（4，0，2），F（0，0，3），G（0，3，1），B（4，3，0）.

所以EF=（-4，0，1），BG=（-4，0，1）.

所以EF∥BG.

所以B，E，F，G四点共面.

（2）设P（0，3，a），0≤a≤5，则FP=（0，3，a-3）.

设n=（x，y，z）是平面EFP的法向量，

则

n·EF=0，n·FP=0，所以-4x+z=0，3y+（a-3）z=0.

取x=3，则z=12，y=4（a-3）.

故n=（3，4（a-3），12）.

又因为平面EFA的法向量为m=（0，1，0），所以

|coslt;m，ngt;|=|m·n||m|·|n|

=4|3-a|153+16（3-a）2=413.

平方整理，得

16×153+162（3-a）2=169×16（3-a）2.

化简，得（3-a）2=1.

解得a=2或a=4.

所以当a=4时，平面EFP与平面EFA的夹角为钝角，舍去.

综上，a=2，即C1P=3.

17.（1）f（x）的定义域为（-

SymboleB@ ，+∞），

f ′（x）=aex-1.

若a≤0，则f ′（x）lt;0.所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递减.

若agt;0，则由f ′（x）=0得x=-lna.

当xlt;-lna时，f ′（x）lt;0；当xgt;-lna时，

f ′（x）gt;0.

故f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在

（-lna，+∞）上单调递增.

（2）当agt;0时，由（1）知，当x=-lna时，f（x）取得最小值.

所以f（x）≥f（-lna）=a3+1+lna.

从而f（x）-（4lna+2）=a3-3lna-1.

设g（x）=x3-3lnx-1（xgt;0），则

g′（x）=3x2-3x=3x3-3x.

当0lt;xlt;1时，g′（x）lt;0；当xgt;1时，g′（x）gt;0.

所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.

故当xgt;0时，g（x）≥g（1）=0.

当agt;0时，a3-3lna-1≥0，即f（x）≥4lna+2.

18.（1）因为虚轴长2b=2，所以b=1.

又因为点A（-4，-1）在双曲线上，

所以16a2-1b2=1，

解得a2=8.

故双曲线C的方程为x28-y2=1.

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为y=kx+1.

联立y=kx+1，x2-8y2=8，得

（1-8k2）x2-16kx-16=0.

所以x1+x2=16k1-8k2，x1x2=-161-8k2.①

所以

y1+y2=（kx1+1）+（kx2+1）

=21-8k2，②

y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=1.③

直线AP的方程为y=y1+1x1+4（x+4）-1.

令y=0，得点M的横坐标为

xM=x1+4y1+1-4.

同理可得点N的横坐标为xN=x2+4y2+1-4.

所以xM+xN=x1+4y1+1+x1+4y1+1-8

=x1y2+x2y1+x1+x2+4（y1+y2）+8（y1+1）（y2+1）-8

=2kx1x2+2（x1+x2）+4（y1+y2）+8y1y2+y1+y2+1-8.

将①②③式代入上式，并化简得到

xM+xN=8+8（1-8k2）2+2（1-8k2）-8=4-8=-4.

所以MN的中点的横坐标为

x=xM+xN2=-2.

故MN的中点是定点（-2，0）.

19.（1）由题意，当n=1时，a31=a21，所以a1=1.

当n=2时，1+a32=（1+a2）2，所以a22-a2-2=0.解得a2=2.

因为a31+a32+…+a3n=S2n，

则当n≥2时，有a31+a32+…+a3n-1=S2n-1.

两式相减，得

a3n=S2n+1-S2n=（Sn+1+Sn）（Sn+1-Sn）

=（Sn+1+Sn）an+1=（2Sn+an+1）an+1.

又因为angt;0，所以a2n+1=2Sn+an+1.

故2Sn=a2n+1-an+1，2Sn-1=a2n-an（n≥2）.

两式相减，得

2an=a2n+1-an+1-a2n+an.

所以（an+1+an）（an+1-an-1）=an+1+an.

因为an+1+angt;0，

所以an+1-an=1（n≥2）.

又因为a1=1，a2=2，

所以对n∈N*，有an+1-an=1，

故an是等差数列，因此an=n.

（2）由（1）知，bn=1n.

则［b1+b2+…+b2 024］=

［1+12+13+…+12 024］.

由k+1-k=1k+1+klt;12k，知

1kgt;2（k+1-k）.

故1gt;2（2-1），12gt;2（3-2），…，12 024gt;2（2 025-2 024）.

所以1+12+13+…+12 024gt;2（2 025-1）=

2（45-1）=88.

又由k+1-k=1k+1+kgt;12k+1，知

1k+1lt;2（k+1-k）.

故12lt;2（2-1），13lt;2（3-2），…，12 024lt;

2（2 024-2 023），

所以1+12+13+…+12 024lt;1+2（2 024-1）lt;1+

2（45-1）=89.

故［1+12+13+…+12 024］=88.

即［b1+b2+…+b2 024］=88.

［责任编辑：李" 璟］