例析比较大小问题的八种基本策略

摘" 要：比较大小问题，需要细心观察试题中表达式的潜在特征，思悟内在本质，才能找到解决此类问题的最佳路径.以各地模考试题为例，分类介绍解决这类问题的若干优化策略.旨在拓宽学生的解题思路，提高学生的解题能力，进一步提升学生的数学核心素养.

关键词：例析; 比较大小; 基本策略

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0008-05

收稿日期：2024-03-05

作者简介：李春林（1978.1—），男，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

比较大小问题是近年高考的热点题型，并且难度呈上升的趋势.数值比较大小问题可以将函数、导数、数列、不等式等内容有机结合，综合考查数学建模、转化与化归、数形结合等数学思想，有效反映学生的直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养水平［1］，有效考查考生分析与解决问题的能力.

1" “基本策略”例析

1.1" 临界值比较

例1" 设a=log54，b=log154，c=0.5-0.2，则a，b，c的大小关系是（" ）.

A.alt;blt;c""" B.blt;alt;c

C.clt;blt;aD.clt;alt;b

解析" 因为0=log51lt;log54lt;log55=1，

所以0lt;alt;1.

因为b=log154=log5-14=-log54，

所以-1lt;blt;0.

又因为c=0.5-0.2gt;0.50=1，

所以blt;alt;c.

故选B.

点评" 根据对数函数的单调性和对数的运算可得到0lt;alt;1，-1lt;blt;0；根据指数函数的单调性得到cgt;1，从而可得出答案.

例2" 已知a=3，b=234，c=log2e，则a，b，c的大小关系为（" ）.

A.agt;cgt;bB.agt;bgt;c

C.bgt;agt;cD.bgt;cgt;a

解析" 因为a=3，b=234，

所以a4=9，b4=8.

可知agt;b.

又由b4-（32）4=8-8116=4716gt;0，

得bgt;32.

又由e2lt;8，有elt;22=232.

可得log2elt;32.

即clt;32.

故有agt;bgt;c.

故选B.

点评" 先求出a4，b4，即可判断agt;b，再利用作差法判断b4gt;（32）4，即可得到bgt;32，再判断clt;32，即可得解.

1.2" 差比法与商比法

例3" 已知实数a，b，c满足a=613，b=log23+log64，5b+12b=13c，则a，b，c的关系是（" ）.

A.bgt;agt;cB.cgt;bgt;a

C.bgt;cgt;aD.cgt;agt;b

解析" 因为a=613lt;813=2，

b=log23+log64=log23+21+log23，

b-2=log23·log23-11+log23gt;0，

所以bgt;2.

因为13c=5b+12bgt;52+122=132，所以cgt;2.

因为13c-13b=5b+12b-13b

=52·5b-2+122·12b-2-132·13b-2

lt;52·12b-2+122·12b-2-132·13b-2

=12b-2（52+122）-132·13b-2

=132（12b-2-13b-2）lt;0，

所以bgt;c.

综上，bgt;cgt;a.

故选C.

点评" 利用幂函数的性质知alt;2，利用对数的运算性质及作差法可得b-2gt;0，再构造13c-13b，根据指数的性质判断其符号，即可知b，c的大小.

例4" 已知a=0.8-0.4，b=log53，c=log85，则（" ）.

A.alt;blt;cB.blt;clt;a

C.clt;blt;aD.alt;clt;b

解析" 因为bc=log53log85=ln3·ln8ln25lt;（ln3+ln8）24ln25=ln224ln25lt;1，所以blt;c.

因为clt;1lt;a=0.8-0.4，

所以blt;clt;a.

故选B.

点评" 应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得bc=ln3·ln8ln25lt;（ln3+ln8）24ln25，可知b，c的大小，再结合指对数的性质可知a，c的大小.

1.3" 利用对数运算分离常数比大小

例5" 已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e-13，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（" ）.

A.p＜n＜mB.m＜n＜p

C.n＜m＜pD.n＜p＜m

解析" 由题意得，

m=log4ππ=lgπlg4π=lgπlg4+lgπ=1-lg4lg4+lgπ，

n=log4ee=lgelg4e=lgelg4+lge=1-lg4lg4+lge.

因为lg4＞lgπ＞lge＞0，

则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge.

所以1-lg4lg4+lg4gt;1-lg4lg4+lgπgt;1-lg4lg4+lge.

所以nlt;mlt;12.

而p=e-13=13egt;12，

所以n＜m＜p.

故选C.

点评" 根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，12的大小关系，再由指数的性质有p=e-13gt;12，即知m，n，p的大小关系.

1.4" 构造函数

例6" 设a=4-ln4e2，b=1e，c=ln22，则a，b，c的大小关系为（" ）.

A.alt;clt;bB.clt;alt;b

C.alt;blt;cD.blt;alt;c

解析" 设fx=lnxx，则

f ′x=（1/x）·x-lnxx2=1-lnxx2.

当x∈1，e，f ′xgt;0，则fx单调递增，

当x∈e，+SymboleB@，f ′xlt;0，则fx单调递减.

因为a=4-ln4e2=2lne2-ln2e2=ln（e2/2）（e2/2）=f（e22），

b=1e=lnee=fe，

c=ln22=f2，

所以b=fe最大.

又因为c=f2=f4，elt;e22lt;4，

所以a=f（e22）gt;f4=c.

所以bgt;agt;c.

故选B.

点评" 设fx=lnxx，利用导数判断单调性，利用对数化简a=f（e22），b=fe，c=f2=f4，再根据单调性即可比较a，b，c的大小关系.

例7" 已知实数a，b，满足a=log56+log2625，3a+4a=5b，则关于a，b下列判断正确的是（" ）.

A.a＜b＜2B.b＜a＜2

C.2＜a＜bD.2＜b＜a

解析" a=log56+log2625

gt;log56+log3625

=log56+log6252

=log56+log65

=log56+1log56

gt;2log56·1log56=2.

构造函数fx=（35）x+（45）x-1，x∈R，

易知函数fx是R上的减函数，且f2=0，由agt;2，

可知fa=（35）a+（45）a-1lt;0.

所以3a+4alt;5a.

又3a+4a=5b，所以5blt;5a.

则agt;b.

又因为5b=3a+4agt;32+42=25，所以bgt;2.

所以agt;bgt;2.

故选D.

点评" 先根据a=log56+log2625判断a接近2，进一步对a进行放缩，agt;log56+log3625，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断agt;2；根据b的结构，构造函数fx=（35）x+（45）x-1，x∈R，得出函数的单调性和零点，进而得到a，b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.

1.5" 合理放缩

例8" 若a=log23，b=log34，c=log45，则a，b，c的大小关系是（" ）.

A.alt;blt;cB.blt;clt;a

C.blt;alt;cD.clt;blt;a

解析" 由题意，log23gt;log22=1，

log34gt;log33=1，

log45gt;log44=1，

即agt;1，bgt;1，cgt;1.

因为c=log45=log225=12log25=log2512=log25，

而a=log23gt;log25，

所以agt;cgt;1.

因为a=log23gt;log222=32，

而b=log34lt;log333=32，

即agt;32gt;bgt;1.

又因为54=log3354=log3435，

b=log34=log3444，

而44gt;35，

则log3444gt;log3435.即bgt;54.

因为54=log4454=log4445，

c=log45=log4454，

而45gt;54，

则log4445gt;log4454.

即54gt;c.

综上，agt;32gt;bgt;54gt;cgt;1.

所以clt;blt;a.

故选D.

点评" 根据对数函数的性质可得agt;1，bgt;1，cgt;1，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出a，c的大小关系，a，b分别与中间值32比较，得出agt;32gt;bgt;1，b，c分别与中间值54比较，得出bgt;54gt;c，综合上述情况，即可选出答案.

1.6" 综合利用函数奇偶性和单调性等

例9" 已知fx为R上的奇函数，gx=xf（x），若gx在区间-SymboleB@，0上单调递减，a=g2π，b=g23，c=g1，则a，b，c的大小关系为（" ）.

A.alt;blt;cB.clt;blt;a

C.blt;alt;cD.blt;clt;a

解析" 因为gx=xf（x）定义域为R，fx为奇函数，

所以g-x=-xf（-x）=-x［-f（x）］=

xf（x）=g（x）.

所以gx为偶函数.

又gx在区间-SymboleB@，0上单调递减，故gx在0，+SymboleB@上单调递增.

又2πgt;23gt;1，所以g2πgt;g23gt;g1.

所以agt;bgt;c.

故选B.

点评" 判断gx为偶函数，且在0，+SymboleB@上单调递增，又2πgt;23gt;1，根据单调性即可判断.

1.7" 三角函数值比较大小

例10" 三个数cos32，sin110，sin74的大小关系是（" ）.

A.cos32gt;sin110gt;sin74

B.cos32gt;sin74gt;sin110

C.cos32lt;sin110lt;sin74

D.sin74gt;cos32gt;sin110

解析" cos32=sinπ2-32，

sin74=sinπ-74.

因为π2-32≈0.07，110=0.1，π-74≈1.39，

所以π2gt;π-74gt;π2-32gt;0.

又因为y=sinx在（0，π2）上单调递增，

所以cos32lt;sin110lt;sin74.

故选C.

点评" 诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小.

1.8" 数值逼近

例11" 已知a=1101，b=e-99100，c=ln101100，则a，b，c的大小关系为（" ）.

A.alt;blt;cB.alt;clt;b

C.clt;alt;bD.blt;alt;c

解析" 设fx=ex-x-1，则f ′x=ex-1.令f ′x=0，解得x=0.x∈-SymboleB@，0，f ′xlt;0，

fx单调递减，x∈0，+SymboleB@，f ′xgt;0，fx单调递增.

所以fx≥f0=0.

即ex-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.

所以exgt;x+1x≠0.

故b=e-99100gt;-99100+1=1100gt;1101=a.

即bgt;a.

设gx=lnx-x+1，

g′x=1x-1=1-xx，

令g′x=0，解得x=1.

所以x∈0，1，g′xgt;0，gx单调递增，x∈1，+SymboleB@，g′xlt;0，gx单调递减.

所以gx≤g1=0.

即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.

所以lnxlt;x-1x≠1.

所以c=ln101100lt;101100-1=1100.

又因为bgt;1100，所以bgt;c.

又因为-lnxgt;-x+1x≠1，

所以c=ln101100=-ln100101gt;-100101+1=1101=a.

即cgt;a.

综上bgt;cgt;a.

故选B.

点评" 设fx=ex-x-1，利用导数得到exgt;x+1x≠0，从而得到b=e-99100gt;-99100+1=1100gt;1101=a，

设gx=lnx-x+1，利用导数得到lnxlt;x-1x≠1，从而得到bgt;c和cgt;a，即可得到答案.

2" 结束语

“比较大小”题作为高考的热点与难点，考查形式多变，难度较大，尤其是近几年在全国卷的高考试题中， 以幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等基本初等函数为载体的比较大小题，频频出现.解决这类问题，需要细心观察试题中表达式的潜在特征，思悟内在本质，才能找到解决此类问题的最佳路径［2］.除了利用不等式的基本性质和基本不等式以外，还需要牢牢掌握以上八种解题策略，达到能深入理解、灵活应用，尤其要重视函数性质在“比较大小”问题中的应用，这是新高考的一个方向，不过难度会有所降低.

参考文献：

［1］

张建军.例析构造函数比较大小［J］.中学生数学，2023（03）：11-13.［2］ 刘瑞秀.浅谈用构造函数法比较大小问题［J］.数理天地（高中版），2022（24）：2-3.

［责任编辑：李" 璟］