巧思维展开，妙技巧应用：一道最值的探究

在实际的数学解题过程中，如果充分剖析题设条件与所求结论以及二者之间的联系，多思维视角切入，多方法技巧应用，总会有一些收获与体会，总能积累解题经验，提升解题能力.

1 问题呈现

问题已知正数x，y满足3x+4y=4，则y1xy+3+12xy+1的最小值为.

2 问题破解

2.1 思维视角1：基本不等式思维

方法1：基本不等式法1.

解析：根据题意，可得y1xy+3+12xy+1=yxy+3+y2xy+1=1x+3y+12x+1y，且x+3y+2x+1y=3x+4y=4.

利用基本不等式，可得y1xy+3+12xy+1=14x+3y+2x+1y＼51x+3y+12x+1y=142x+1yx+3y+x+3y2x+1y+2≥1422x+1yx+3y×x+3y2x+1y+2=1，当且仅当x+3y=2x+1y，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y1xy+3+12xy+1的最小值为1.

故填：1.

点评：根据所求代数式的恒等变形与转化，视x+3y，2x+1y为元，结合题设条件确定其“定和”，利用乘“1”的恒等变形，并结合关系式的转化，构建“定积”关系，进而利用基本不等式确定相应的最值.合理的配凑与转化，确定“定和”或“定积”，是借助基本不等式破解最值问题的关键所在.

方法2：基本不等式法2.

解析：由3x+4y=4，得3x=4－4y=4y－4ygt;0，则ygt;1，xy=4y－43.

利用基本不等式，可得y1xy+3+12xy+1=y14y－43+3+12×4y－43+1=y34y+5+38y－5=14（4y+5+8y－5）14y+5+18y－5=148y－54y+5+4y+58y－5+2≥1428y－54y+5×4y+58y－5+2=1，当且仅当8y－54y+5=4y+58y－5，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y1xy+3+12xy+1的最小值为1.

故填：1.

点评：根据条件关系式的转化，代入所求代数式进行消元处理，视4y+5，8y－5为元，结合关系式的配凑与转化，构建“定积”关系，进而利用基本不等式来确定相应的最值.从条件入手进行消元处理，往往是解决双元代数式最值问题中比较常用的思维视角，合理联系所求代数式的结构特征，对比分析，借助基本不等式来应用.

方法3：换元法.

解析：令xy=kgt;0，则xk=1y，代入3x+4y=4，可得x=4k3k+4，所以y=kx=3k+44.

利用基本不等式，可得y1xy+3+12xy+1=3k+441k+3+12k+1=14（k+3）+（2k+1）＼51k+3+12k+1=142k+1k+3+k+32k+1+2≥1422k+1k+3×k+32k+1+2=1，当且仅当k+3=2k+1，即k=2，亦即x=45，y=52时，等号成立.

所以y1xy+3+12xy+1的最小值为1.

故填：1.

点评：根据条件关系式的结构特征，把两参数的乘积作为一个整体进行换元，进而结合条件构建对应的参数方程，结合所求代数式的变形与转化，通过关系式的配凑与变形，构建“定积”关系，进而利用基本不等式来确定相应的最值.乘积换元法是利用代数式的结构特征加以整体化思维，合理消元，为进一步的分析与应用提供条件.

方法4：等差中项法.

解析：由3x+4y=4，可知3x，2，4y构成一个等差数列.设3x=2－d，4y=2+d，d∈（－2，2），则x=2－d3，y=42+d.

利用基本不等式，可得y1xy+3+12xy+1=42+d12－d3×42+d+3+12×2－d3×42+d+1=12126+5d+122－5d=14（26+5d）+（22－5d）＼5126+5d+122－5d=1422－5d26+5d+26+5d22－5d+2≥14222－5d26+5d×26+5d22－5d+2=1，当且仅当26+5d=22－5d，即d=－25，亦即x=45，y=52时等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值为1.

故填：1.

点评：根据条件关系式的结构特征可知，对应参数之间构成等差数列，利用等差中项的性质引入参数，进而结合条件构建对应的参数方程，结合所求代数式的变形与转化，通过关系式的配凑与变形，构建“定积”关系，进而利用基本不等式来确定相应的最值.等差中项的数据特征，为引入参数提供了条件，进而利用参数方程来处理与转化问题.

2.2 思维视角2：导数思维

方法5：导数法.

解析：由3x+4y=4，得3x=4－4y=4y－4ygt;0，则ygt;1.

由y＞1，可以得到y1xy+3+12xy+1=y14y－43+3+12×4y－43+1=y34y+5+38y－5=36y2（4y+5）（8y－5）.

设函数f（y）=36y2（4y+5）（8y－5），ygt;1.

求导，有f′（y）=360y（2y－5）（4y+5）2（8y－5）2.

令f′（y）=0，解得y=52.

当y∈1，52时，f′（y）lt;0，函数f（y）单调递减；当y∈52，+∞时，f′（y）gt;0，函数f（y）单调递增.

所以f（y）min=f52=1，即y1xy+3+12xy+1的最小值为1.

故填：1.

点评：根据条件关系式的转化，代入所求代数式进行消元处理，化双元为单元，并确定对应元的取值范围，借助函数的构建，利用求导处理，结合导函数的零点求解并通过函数单调性的确定来求解对应函数的最值，即所求代数式的最值.利用导数法求解最值问题，有时运算量比较大，细心计算，问题往往可以得以有效解决.

3 教学启示

3.1 方法归纳，目标转化

解决双元最值问题，最常用的方法就是“消元”处理，将双元问题转化为单元问题，或引参代换，或三角换元，或变换主元，或整体思维等，利用“消元”借助单元最值问题来处理，可以通过基本不等式、函数与方程等来解决，是处理此类问题时最为常见的基本思维方式.

3.2 发展思维，一题多得

合理挖掘条件内涵，深入理解题意实质，通过分析与综合，巧妙利用与转化，合理开拓思维，实现“一题多解”，从不同思维视角切入，挖掘巧技妙解，利用不同的技巧方法来分析与处理，举一反三，灵活变通，进而真正达到融会贯通，从数学知识、数学能力、数学思维等层面融合，形成数学知识体系，转变为数学能力，得以创新拓展.