应用基本不等式，破解三角形最值

利用基本不等式破解三角形中的角、边、周长、面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题，一直是高考命题中的一个重点与难点，交汇点多，综合性强，难度较大，灵活多样，备受各方关注.本文中结合实例，合理通过基本不等式的巧妙放缩，得以确定相应的最值.

1 角的最值问题

利用基本不等式求解三角形中角的最值问题，是高考的一个考点.解决这类问题的关键是，利用正、余弦定理及基本不等式求出三角形中相应内角的某一三角函数值的取值范围或进一步利用三角函数的单调性求出角的最值等.

例1在△ABC中，已知0lt;Alt;π2，0lt;Blt;π2，2sin A=cos（A+B）sin B，则tan A的最大值为.

解析：由2sin A=cos（A+B）sin B=－cos Csin B

及正弦定理和余弦定理，可得2a=－a2+b2－c22ab×b，化简可得5a2+b2=c2.而tan2A=sin2Acos2A=1cos2A－1，又A为锐角，可得cos A＞0，tan A＞0，

因此只要求出cos A的最小值，就可求得tan A的最大值.

结合基本不等式，利用余弦定理有cos A=b2+c2－a22bc=3b2+2c25bc≥23b2×2c25bc=265，当且仅当3b2=2c2，即c=62b时等号成立，

所以tan2A=1cos2A－1≤12652－1=124，解得tan A≤612，

则tan A的最大值为612.

点评：解决本题的关键是利用正弦定理、余弦定理化角为边的关系式，并结合基本不等式与余弦定理求出角A的余弦值的取值范围，然后利用三角关系式的变形与转化，以及不等式的性质来确定角A的正切值的平方的最值，进而获解.

2 边的最值问题

求解三角形中边（或对应的线段长度等）的最值问题是高考的一个基本考点，解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边，然后利用基本不等式或三角形的三边关系等条件求出边的最值.

例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acos C－asin C=3b.

（1）求角A的大小；

（2）若D为BC的中点，且AD=2，求a的最大值.

解析：（1）由3acos C－asin C=3b，

结合正弦定理，可得3sin Acos C－sin Asin C=3sin B=3sin（A+C），

整理可得－sin Asin C=3cos Asin C，即tan A=－3.

又A∈（0，π），所以A=2π3.

（2）由于D为BC的中点，可得2AD=AB+AC，

式子两边同时平方，有4AD2=AB2+2AB·AC+AC2，

又AD=2，所以16=c2+b2+2bccos A=c2+b2－bc，即b2+c2=16+bc.

而结合余弦定理，可得a2=b2+c2－2bccos A=b2+c2+bc=16+2bc.

由基本不等式，可得2bc≤b2+c2=16+bc，解得bc≤16，当且仅当b=c时等号成立，所以2bc+16≤48，

即a2=16+2bc≤48，解得a≤43，当且仅当b=c，即△ABC为等腰三角形时，等号成立.

所以a的最大值为43.

点评：利用平面向量的线性关系的两边平方处理以及余弦定理的应用，用b2+c2及bc的线性关系式表示出a2是解决本题的关键，同时注意利用基本不等式来合理放缩b2+c2与bc之间的不等关系，为确定边的最值奠定基础.

3 三角形周长的最值问题

三角形周长的最值问题是高考的一个热点与常见题型，这类问题一般可以求出一条边（或已知一边），然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式，最后利用基本不等式求出周长的最值.

例3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos Bab+cos Cac+2cos Abc=0.

（1）求A；

（2）若a=23，求△ABC周长的取值范围.

解析：（1）由cos Bab+cos Cac+2cos Abc=0及正弦定理，可得cos Bsin Asin B+cos Csin Asin C+2cos Asin Bsin C=0.

整理得sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos A=0，即sin（B+C）=－2sin Acos A.

在△ABC中，sin（B+C）=sin A≠0，所以可得cos A=－12，而A∈（0，π），可得A=2π3.

（2）由（1）及余弦定理可得a2=b2+c2－2bccos A=（b+c）2－2bc+bc=（b+c）2-bc，

合理变形并结合基本不等式，可得（b+c）2=a2+bc≤a2+b+c22，当且仅当b=c时等号成立，

所以（b+c）2≤43a2=43×（23）2=16，解得b+c≤4.

又利用三角形的基本性质有b+cgt;a=23，即b+c∈（23，4＼〗.

所以△ABC周长的取值范围为（43，4+23＼〗.

点评：涉及三角形周长的最值问题，经常在已知或已求得其中一边的基础上，通过另外两边之和的最值转化来综合，而这时往往需要借助基本不等式来合理放缩与应用，同时也离不开三角形的基本性质等.

4 三角形面积的最值问题

三角形面积的最值问题一直是高考命题的一个热点，解决这类问题的关键是找出两边（这两边的夹角往往已知或可求）之积满足的不等关系式，借助基本不等式合理放缩，再利用三角形面积公式解决问题.

例4在△ABC中，D，E分别是线段AC，BD的中点，∠BAC=120°，AE=4，则△ABC面积的最大值为.（323）

解析：略.

点评：解决本题的关键是利用余弦定理，或利用平面向量中的线性运算，或利用坐标运算等表示出b，c满足的关系式，然后利用基本不等式求出bc满足的不等关系，最后利用三角形面积公式解决问题.

5 涉及角或边的代数式的最值问题

关于三角形中的边长或角的代数式的最值问题是新课标高考的一个新趋向，创新新颖，变化多端，解决这类问题的关键是消元——消边或消角，对元素进行统一化处理，然后利用基本不等式求出最值即可.

例5记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

解析：（1）利用二倍角公式，可得cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B=2sin Bcos B2cos2B=sin Bcos B，

则有sin B=cos Acos B－sin Asin B=cos（A+B）=－cos C=－cos 2π3=12，

而0lt;Blt;π3，所以B=π6.

（2）由（1）可得－cos C=sin Bgt;0，则知cos Clt;0，则有C∈π2，π，

于是有B=C－π2，可得

sin A=sin（B+C）=sin2C－π2=－cos 2C.

结合基本不等式，利用正弦定理可得

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C

=cos22C+cos2Csin2C

=（1－2sin2C）2+（1－sin2C）sin2C

=4sin4C－5sin2C+2sin2C

=4sin2C+2sin2C－5

≥24sin2C×2sin2C－5

=42－5，

当且仅当4sin2C=2sin2C，即sin C=142时，等号成立.

所以a2+b2c2的最小值为42－5.

点评：解决本题中涉及边的代数式的最值问题的关键在于利用正弦定理化边为角，结合诱导公式与二倍角公式的转化，综合三角关系式的恒等变形，利用基本不等式来确定相应的最值问题.

当然，除了巧妙利用基本不等式的放缩来确定三角形中的角、边、周长、面积以及相应的代数式等的最值及其综合应用，还可以利用平面几何图形的直观性质、三角函数的有界性、函数与方程的基本性质以及导数等相关知识来解决.而这当中基本不等式的放缩与应用是最简单有效的一种方法，也是最常见的，要结合问题的实质加以合理转化，巧妙构建“一正、二定、三相等”的条件，为利用基本不等式来处理三角形最值问题提供条件.