数形结合在函数与方程中的应用

函数与方程是高中数学的重要组成部分，也是高考的核心考点，二者既相互联系又相互区别.它们与其他知识点也有着密切的联系，学好这部分知识点对学生提高数学水平、提升数学能力都有着非常重要的意义.方程与函数相结合的题目比较灵活，学生解题时常常因为找不到合适的切入点而望而却步.数形结合作为一种重要的思想方法，其在解决函数与方程问题中有着重要的应用.日常教学中，教师应让学生充分体会函数与方程的转化关系，重视启发学生借助图象的直观来解决一些抽象的方程、不等式、函数单调性等问题，以此提高解题效率.下面笔者结合实例谈谈自己在这部分知识教学时的一些心得体会，若有不足，请指正.

1 利用数形结合思想研究一元二次方程的根的分布问题

方程的根与函数的零点既是高中数学的重点，也是难点.在这部分知识教学中，教师应重视基础知识的讲解，让学生理解并掌握二者之间的等价关系，并学会用数形结合思想方法解决问题，感悟数形结合思想方法在解决此类问题中的价值，发展数学素养.

1.1 探寻基础，沟通联系

在函数与方程的教学中，教师应重视引导学生将方程中的相关结论用函数图象来表达，以此将方程的根与函数的零点建立联系，通过数形结合，让学生深刻理解二者的等价关系，从而为后期的应用奠基.

设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，且x1≤x2，有以下重要结论.

结论1：x1gt;0，x2gt;0Δ≥0，agt;0，f（0）gt;0，blt;0或Δ≥0，alt;0，f（0）gt;0，bgt;0.

根据结论1，结合二次函数图象得到函数零点的分布情况，如图1.

结论2：x1lt;0，x2lt;0Δ≥0，agt;0，f（0）gt;0，bgt;0或Δ≥0，alt;0，f（0）gt;0，blt;0.

同理，结合结论1的研究经验，根据结论2可以得到对应的二次函数图象，如图2.

结论3：x1lt;0lt;x2calt;0.

结论4：x1=0，x2gt;0c=0且balt;0；x1lt;0，x2=0c=0且bagt;0.（对应图象如图3、图4）

“数”与“形”建立联系，为研究方程的根的分布情况带来了便利，促进了学生高阶思维能力的发展.

1.2 灵活应用，深化认知

例1假设x2－2（m－1）x+2m+6=0.

（1）如果方程有两个根均大于0，求实数m的取值范围；

（2）如果方程的两个根一个比1大，一个比1小，求实数m的取值范围；

（3）如果方程的两个根均大于1，求实数m的取值范围.

问题给出后，教师让学生独立完成.教师巡视，发现大多学生选择运用初中所学的方程知识来求解.有的因为运算复杂而望而却步，有的因为漏解最终导致结果错误，解题效果一般.在解决此类问题时，教师要引导学生运用数形结合思想，借助图形的直观去研究已知，探寻未知，有效避免错误的发生.

教学中，教师选择了一些典型性解答过程进行展示，以下是学生给出的解问题（3）的解答过程.

生1：根据Δ=4（m2－4m－5）≥0，（x1－1）（x2－1）gt;0，

可得m≥5或m≤-1.

生2：由Δ=4（m2－4m－5）≥0，x1+x2gt;2，x1x2gt;1，得m≥5.

生1按照解决问题（1）的思路求解，解得m≥5或m≤-1；而生2按照解决问题（2）的思路求解，解得m≥5.可以看出，大多学生习惯性地利用根的判别式和韦达定理来求解此类问题.对于简单的问题，此种方法确实一个好的解题策略，该方法虽然运算上略显复杂，但是学生易于理解和接受.不过，对于复杂的问题，若依然采用该方法求解可能会陷入误区.教学中，教师让学生思考：“上述问题（3）的两种解法正确吗？你能否举例验证呢？”在问题的引导下，学生积极思考，很快就发现了问题.对于生1给出的（x1－1）（x2－1）gt;0这一条件，学生给出这样一个反例：若x1=－3，x2=－1，虽满足（x1－1）（x2－1）gt;0，但却不满足“方程两根均大于1”这一条件.对于生2给的条件，同样也给出了反例：若x1=4，x1=12，同样满足x1+x2gt;2，x1x2gt;1，但却不满足“方程两根均大于1”这一条件.显然利用解决问题（1）和问题（2）的策略来研究问题（3）是行不通的.此时，教师不妨引导学生分析函数的零点，借助函数图象寻找解决问题的突破口.

由y=x2－2（m－1）x+2m+6的图象（此处略），可得

Δ=4（m2－4m－5）≥0，2（m－1）2gt;1，f（1）gt;0，

所以m≥5.

在此基础上，教师可以引导学生运用函数零点分布的知识重新思考问题（1）和问题（2），以此通过对比分析发现不同解法的优缺点.以上问题求解后，教师还应引导学生向一般转化，思考这样几个问题：已知方程ax2+bx+c=0（agt;0）有两个根.若方程有两个正根，此时应满足什么条件？若方程两根都比m大，又应满足什么条件呢？若方程一个根比m大，另一个根比m小呢？由此通过由特殊到一般的转化，帮助学生总结二次函数零点分布的解法，提高学生解题技能.

在数学教学中，不应仅将目光聚焦于问题解决上，还应思考问题解决过程中涉及的数学思想方法，让学生学会从整体、全局的角度去思考问题，通过深入探究提高学生分析和解决问题的能力.

2 利用数形结合思想解方程和不等式

函数是方程与不等式的扩展，三者相互沟通、相互转化.谈起解方程，大家脑海中大多浮现的是解一元一次方程、一元二次方程（组），其实方程的类型远不止于此，有些方程直接求解可能很难找到合理的切入点，需要将其转化为函数，利用函数思想求解往往可以事半功倍.其实，在研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些特殊形式的函数时，都会要求学生画出这些函数的图象，然后运用一些特殊方程与函数的交点问题来研究方程的根.

3 利用数形结合思想研究函数的单调性

函数单调性是高中数学教学的一个难点内容.之所以难是因为函数单调性的概念比较抽象，部分学生直接应用定义法研究函数单调性时容易遇到障碍，从而影响解题效果.其实我们在学习新函数时，都会研究其图象，然后根据函数图象研究函数的相关性质.因此，在研究初等函数或者由初等函数复合而来的函数的单调性问题时，可以结合函数图象来分析，以此借助“形”的直观让问题更加形象，消除学生的畏难情绪，提高解题信心.

例2求函数y=x|x|－2|x|的单调区间.

分析：在解决此类含绝对值的函数问题时，首先要引导学生去掉绝对值符号，然后结合函数图象研究其性质.根据绝对值的定义去掉绝对值，可得y=x2－2x，x≥0－x2+2x，xlt;0，然分别画出y=x2－2x（x≥0）和y=－x2+2x（xlt;0）的函数图象，问题即可迎刃而解.

数形结合在研究函数与方程问题中有着重要的应用，若在教学中合理加以利用可以淡化数学的抽象性，帮助学生更好地理解知识、解决问题，提高解题信心.因此，在课堂教学中，教师不仅要讲授知识，还要渗透思想与方法，以此提高教学质量和学生数学素养.