一维谐振子薛定谔方程含时演化非级数解析解

摘 要 1926年薛定谔找到了一个一维谐振子薛定谔方程含时演化解析解。这个解并不是能量本征态波函数级数求和形式。这可以让我们从新的角度理解量子系统的随时间演化行为。本文主要对该含时演化解析解进行了分析，给出了两种推导方法，然后继续推广得到了更多的含时演化非级数解析解，找到了这些解析解的递推关系，最后讨论了这些解析解的教学意义及应用。

关键词 薛定谔方程;谐振子;含时演化;解析解

一维简谐振动是物理学中简单却极其重要的物理问题之一。这是因为在自然界中广泛存在着简谐振动。任何物体在平衡位置处的小振动，如分子振动、晶格振动等，在适当选择坐标系之后，一般都可以分解为独立的一维简谐振动。简谐振动还往往是复杂运动的初步近似，简谐振动的解也是求解复杂问题的出发点。在量子力学中，由简谐振子问题求解而产生的算子代数、产生和湮灭算符是量子力学形式体系的基本内容，也是表述量子力学的重要手段，特别在相对论量子场论中，谐振子自由场的产生和湮灭是进一步表达场相互作用的基础。谐振子系统也是物理学理论中少有的能够有严格解析解的物理系统。经典力学的简谐振动方程，量子力学的谐振子波函数，以及路径积分解析形式对理解谐振子及其相关物理机制有着重要意义，因此谐振子问题的探讨是经典力学、量子力学以及量子场论的重要内容。