删失分布在眼镜店库存设置中的应用

文 范会川

长期以来，眼镜行业库存管理面临着诸多难题，相关财务报表显示，以生产制造为主营业务的眼镜企业，其存货约占流动资产数额的一半以上，对存货进行合理管理的重要性毋庸置疑[1]。库存作为眼镜企业的重要资产具有举足轻重的作用，而库存管理则是门店日常运营中的重要环节[2]——库存多了，缺货率减少，能够提升服务水平，但库存成本是一大考验；库存少了，库存资金占用成本和管理成本可控，但缺货多了可能引起消费者不满。所以，眼镜店需要在库存成本和库存服务水平之间取得平衡，科学有效的库存管理尤为重要且紧迫。本文通过对眼镜店存在的现实进货量库存管理问题进行分析，建立眼镜店需求删失分布数学模型，从而得到真实需求的概率分布及最优进货量，以期为从业者提供参考。

现实生活中，眼镜店都普遍面临这样一个现实问题：每周进货53副某款眼镜，过去1年平均1周能卖出50副眼镜，45%的周数刚好卖完53副眼镜。如果只想有最多10%的周数缺货，眼镜店应该每周最少进多少副眼镜？

解决该问题的方法是在库存量少的情况下（最少每周进货量）维持一定的服务水平（最多10%的缺货率）。一般情况下，计划员会将过去1年实际卖出的眼镜副数进行统计分析，得出需求的平均值和方差，再用正态分布来确定10%缺货率条件下对应的库存量。需要注意的是，由于每周库存进货量是53副眼镜，即使超过了实际需求，从数据上也只能看到53副眼镜，如果按此来分析需求的平均值和标准差就会产生误差，这也被称为删失分布[3]。计划员应通过删失分布的统计推断来得到真实的需求分布，才能做好后续的眼镜门店库存设置工作。为了不失一般性，可以做如下变量设定：

Q：眼镜每周供应量，即每周最大销量；

Stock_out：实际需求量超过Q后的缺货概率；

X：未经删失的镜片需求量，服从正态分布；

FΧ(x)：X的累积分布函数；

fΧ(x)：X的概率密度函数；

μ：未经删失的镜片需求分布的平均值；

δ：未经删失的镜片需求分布的标准差；

Φ(y)：标准正态分布的累积分布函数；

φ(y)：标准正态分布的概率密度函数；

P：概率值。

推导计算每周平均销量的X公式中会使用到一些变换方法。

b.标准正态分布的累积分布函数：

两边同时对y求导，得到

根据定义计算每周平均销量：

随后得到3个变量的3个方程式：

再看最开始提出的眼镜店存在的现实问题，从眼镜店的实际销售数据中得到以下数据：

眼镜店每周卖完的比例Stock_out=45%，

眼镜店每周平均销量X=50，

眼镜店每周进货数量Q=53，

从而得到：

由1-Φ(z)=45%，

得到z=0.1257，φ(z)=0.3958，

求解得到μ=52.1889，σ=6.4525，根据计算结果进行未经删失的镜片库存备货。

如果眼镜店只想最多有10%的周数缺货，那么最少备货量Q'应满足FX（Q'）=100%-10%=90%，在Excel中利用正态分布函数公式进行计算：NORM.INV（90%，52.1889，6.4525）=60.4581，向上取整得到最少备货量Q'=61副。