图形表征：培养学生数学运算素养的有效途径

陈姗姗

摘要：图形表征所具有的直观性使得其在表征数学对象中具有无可替代的优势.因此，可以借助图形表征，如实数轴、Venn图、象限角和坐标轴等，帮助学生明确运算对象、掌握运算法则、优化运算过程、设计运算程序，从而正确求出运算结果.

关键词：图形表征；数学运算；集合

基金项目：广东省教育科学规划2022年度中小学教师教育科研能力提升计划项目一般课题——基于数学表征的高中生运算素养培养实践研究（2022YQJK554）.

数学运算素养的培养是一个常谈常新的问题，更是让师生头疼的问题.影响学生数学运算能力的因素有很多，且难以构建行之有效的问题解决策略.图形表征是指用具有一定结构的直观图形（如小棒图、数轴图、线段图等）表示数量或数量关系.由于图形表征的直观性，使得其在表征数学对象中具有无可替代的优势.

集合知识在高中数学中属于预备知识，虽然在教材中所占篇幅较少，但是在后续的学习中却发挥了重要的作用.然而，部分学生却在理解集合的概念、梳理集合间的基本关系，以及进行集合的基本运算时感到困难，这会影响学生之后的数学学习.事实上，无论是集合的概念、集合间的基本关系，还是集合的交、并、补运算，都可以转化为图形的形式进行探究.例如，实数的集合可以用数轴呈现，点的集合可以用坐标轴呈现，角的集合可以用象限角呈现，集合的交、并、补运算则可以用Venn图呈现.通过图形可以实现明确运算对象、掌握运算法则、优化运算过程、设计运算程序的目的，从而促使学生快速、准确地求出运算结果.

一、实数轴：理解概念本质，明确运算对象

集合间的关系确定和集合运算离不开数轴，但是刚进入高中的学生用图意识还不强烈，解题思维还停留在纯粹的代数运算上.高中阶段数形结合思想的渗透最初就是从数轴开始的，而数轴的画法也是所有图形中最简单的.从简单的图形入手，培养学生的识图和作图意识，是有效开展后续数学教学的重要保障.图形所具有的直观性是文字和符号无法替代的，尤其在新定义运算中，陌生的表述会让学生不知所措，不能理解概念，无法明确运算对象，但是通过数形结合的方式则可以促进学生对题意的有效理解.

由于实数与数轴上的点存在一一对应关系，故数的问题可以转化为数轴的问题进行解决.利用数轴可以帮助学生清晰地理解新定义的符号的含义，明确运算对象的本质.对于刚接触高中数学的学生而言，数形结合主要体现在与数轴、Venn图和二次函数的图象有关的内容上，教师在授课时要注意强化图形的应用，帮助学生掌握数形结合思想.

二、Venn图：明晰求解目标，掌握运算法则

函数运算、向量运算或数列运算都与加、减、乘、除四则运算紧密相连，而集合运算主要反映的是集合间的基本关系，这是集合运算与其他运算之间最大的区别.在一些复杂的集合情境中，学生很难利用列举法或描述法解决问题.而借助Venn图则可以清晰、直观地表示集合间的关系，尤其对于集合间的交、并、补运算，Venn图更是展现了巨大的优势.

例2某班45名学生参加植树节活动，每名学生都参加了除草、植树两项劳动.依据劳动表现，将学生评定为“优秀”“合格”2个等级，结果如表1所示.

若在两个项目中都被评定为“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都被评定为“优秀”的人数最多为（）.

（A）5（B）10（C）15（D）20

分析：此题的求解目标是求在两个项目中都被评定为“优秀”的人数的最大值.与常规的集合运算问题不同，这是一道求最值问题，较为少见.利用Venn图可以清晰地表示在两个项目中都被评定为“优秀”的人数和在两个项目中都被评定为“合格”的人数之间的关系，进而有效解决问题.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中对集合的基本运算提出以下要求：（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.由此不难看出，借助Venn图解决集合运算是学生应该掌握的基本技能.借助Venn图，学生能够直观理解集合间的基本关系，根据集合间的关系明晰求解目标，进而掌握集合的运算法则.

三、象限角：避免分类讨论，优化运算过程

解無定法，源于观察.对于此题，也可以从代数运算的角度进行分析，此时则需要对k的取值进行分类讨论，进而将集合N中的角的表示化成与集合M中的角的表示相近的形式.

分类讨论是学生在高中数学学习过程中需要掌握的重要思想，也是学生理解的难点.而对奇、偶数的分类讨论更是一个难点，部分学生会出现理解上的困难.因此，要尽量避免分类讨论，这是简化数学运算过程的一个重要途径.既然是象限角，不妨利用坐标轴画出两个集合所表示的角，集合M表示的角的终边落在坐标轴和第一、三象限的角平分线上（如图3）；集合N表示的角的终边落在坐标轴以及第一、三象限和第二、四象限的角平分线上（如图4），由此可以快速确定答案.

通过作图分析，在避免分类讨论的同时提高了解题效率，极大简化了运算过程.因此，教师在教学过程中要注意数形结合思想的渗透，强化学生的作图意识.

四、坐标轴：转换问题视角，设计运算程序

以函数为载体的数学问题是教学中的重点也是难点，学生往往基于代数运算的角度理解函数，而缺乏数形结合的转换意识，尤其是对于比较抽象或复杂的运算，如果仅从代数运算的角度进行求解，会出现较为复杂的运算程序.因此，借助图形表征转换问题视角，不仅有利于提高运算的正确率，而且有利于设计简洁、科学的运算程序.

根据题意，可知以原点为起点，以图象上的点为终点的两个向量互相垂直，简单理解就是图象上总能够找到两个以原点为起点的向量互相垂直，即以原点为起点且互相垂直的两个向量的终点落在函数图象上.而两坐标轴上的点刚好满足以原点为起点，且互相垂直.因此，互相垂直的向量可以借助两个坐标轴呈现，然后旋转两个坐标轴，探究两个坐标轴与图象的交点情况.如果将两个坐标进行旋转，当图象上任意一点落在一个坐标轴上时，一定有另外一个点落在另一个坐标轴上，则说明图象对应的集合就是“互垂点集”.

故答案選BD.

经过两次转化问题的视角，即先转化为向量的垂直问题，再转换为图象与两个坐标轴交点的问题，将符号表征下的数学运算问题转化成了对函数图象和两个坐标轴交点情况的判断，优化了运算程序，同时加深了学生对新定义的理解.

五、结束语

章建跃教授认为，数学运算是有“技术成分”的，会算而且知道怎样算更准更快，这是运算素养的基本要求.图形表征的直观性可以起到简化数学运算的效果，如实数轴、Venn图、象限角和坐标轴等，这些常见的数学图形简单易画，如果灵活运用则能帮助学生明确运算对象、掌握运算法则、优化运算过程、设计运算程序，为培养学生的数学运算素养奠定扎实的基础.

参考文献：

[1]刘京莉，王倩，李佳，等.多元表征视域下揭示数学运算本质[J].中小学教师培训，2017（7）：63-66.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.