“强基计划”视域下玻尔氢原子理论考点例析

徐烈剑

【摘要】自2020年始，“强基计划”列入高校基础学科招生计划，物理学科试题难度超越高考．在近代物理学的考查中，玻尔氢原子理论考题频出．为此拓展相关知识点，通过分析考题、研究解题方略，以期为复习备考提供助益．

【关键词】玻尔氢原子理论；高中物理；解题

自2020年始，“强基计划”列入高校基础学科招生计划．“强基计划”校测命题难度高于高考．在近代物理学的考查中，玻尔氢原子理论考题频出．那么如何分析这方面的考题呢？

1 两点拓展

1.1 拓展1 轨道量子化条件

原子的不同能量状态对应于电子的不同运行轨道，由于原子的能量状态是不连续的，因此电子的轨道可能是不连续的，即电子不能在任意半径的轨道上运行，只有满足下列条件的轨道才是可能的．轨道半径r跟电子的动量mv的乘积等于h/2π的整数倍，即mv·r=nh/2π  （ n=1，2，3，…），式中，n是正整数，叫做量子数[1]．

1.2 拓展2 氢原子轨道半径、能级公式

1.2.1 轨道半径公式

设电子电荷量为e，质量为m，电子绕核运动的轨道半径rn，运行速率为vn．

由牛顿运动定律，有 ke2/r2n=mv2n/rn.

结合玻尔轨道量子化条件，解得rn=n2r1（ n=1，2，3，…）式中，r1為基态轨道半径．

1.2.2 能级公式

取无穷远处电势为零，氢原子系统具有的电势能Ep=－ke2/rn．

电子和氢原子核系统具有的总能量（能级）为

En=1/2mv2n－ke2/rn=－1/2ke2/rn，

将rn代入上式中，有

En=－π2mk2e4/n2h2=－13.6/n2eV（ n=1，2，3，…）.

2 考题分析

2.1 通过能级图及光电效应，考查理解能力

例1 （2019年中科大试题）一群氢原子由n=3的能级向低能级跃迁发出光子．若发出的光子打到金属钠的表面上打出了光电子，已知钠的逸出功为2.29eV，求能从钠表面打出光电子的入射光的最小频率？

解析 发生光电效应时，入射光子的能量必须大于钠的逸出功．氢原子从n=3的能级向低能级跃迁，共产生3种不同频率的光子，结合氢原子能级图可以判断，由n=2的能级向基态跃迁时，在能发生光电效应的前提下所辐射光子的频率最小，即 ν=E2－E1/h=13.6－3.4×1.6×10－19/6.63×10－34Hz≈2.46×1015Hz．

点评 考查氢原子能级图的理解及光电效应发生的条件，主要考查考生的理解能力．

2.2 通过原子碰撞跃迁，考查推理能力

例2 （2008年上海交大试题）根据玻尔的氢原子理论，可以推出原子的能级公式为E=－13.6/n2eV（n取正整数）．求用动能为12.6eV的电子流去轰击氢原子气体，则从发光光谱中可能观测到多少条谱线？

解析 由氢原子能级公式可得第1，2，3，4条轨道的能量分别为E1=－13.6eV，E2=－3.4eV，E3=－1.51eV，E4=－0.85eV．

根据玻尔的氢原子理论，氢原子发生能级跃迁时吸收或辐射的能量等于各能级之差．如前所述，当高能量的电子与氢原子发生碰撞时，电子的动能可以全部或部分地被氢原子所吸收，因此，只要电子的动能大于或等于两能级之差，氢原子就能发生跃迁．

由于ΔE12=10.2eV<12.6eV，

ΔE13=12.09eV<12.6eV，

ΔE14=12.75eV>12.6eV，

所以氢原子能从基态吸收电子的部分能量跃迁至n=3的激发态，共发出3条谱线．

点评 理解电子流轰击氢原子，使氢原子发生跃迁的条件，会用氢原子能级公式求两能级之差．

2.3 通过氢原子模型，考查模型建构能力

例3 （2019年北大博雅计划）在氢原子能级中，从n=4能级跃迁到n=1能级发出的电磁波及氢原子的反冲速度为（）（已知氢原子质量为m， 里德伯常量为RH，普朗克常量为h）

解析 从n=4能级跃迁到n=1能级发出的谱线系是莱曼系，在紫外线区域．设氢原子的反冲速度大小为v，由动量守恒定律，有 0=h/λ－mv；

由频率条件，有 E4－E1=hc/λ，

解得 v=15/16RHh/m．选项 （B） 正确．

点评 考查氢原子能级图与谱线的关系、跃迁满足的频率条件、动量守恒定律、里德伯常量等知识点，要求能综合应用玻尔氢原子理论处理问题．

2.4 通过奇特原子，考查模型建构与创新能力

例4 （2012清华保送生测试）物理学家在微观领域发现了“电子偶素”这一现象．所谓“电子偶素”就是由一个负电子和一个正电子绕它们的质量中心旋转形成的相对稳定的系统．已知正、负电子的质量均为m，电荷量大小均为e，普朗克常量h，静电力恒量k．用玻尔模型推算“电子偶素”的基态半径．

解析 由牛顿运动定律，有 ke2/2rn2=mv2n/rn．

由玻尔轨迹量子化条件，有

点评 正、负电子及μ±，τ±，π±介子等粒子分别取代普通原子中的电子、原子核或取代两者通过电磁作用形成的原子，该类原子被称为奇特原子，其中原子核被取代的又称为粒子素[3]．本题中的“电子偶素”属粒子素．因奇特原子结构与氢原子相似，玻尔的氢原子理论同样适用．

3 结语

综上，“强基计划”视域下，涉及玻尔氢原子理论方面的试题，除了掌握课本要求的内容之外，还必须掌握文中所述的两点拓展内容．从能力视角看，主要考查推理论证能力．文中所选例题，一定程度上折射出在近代物理学方面命题的方向，因此，对于今后的复习备考具有一定的引领与导向作用．

参考文献：

[1]杨福家.原子物理学[M]．北京：高等教育出版社，2004：27－38．

[2]王文涛，黄晶.名牌大学学科营与自主招生考试绿卡 物理真题篇 第2版[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，2018：241－242．

[3]陈熙谋.大学物理通用教材 近代物理[M]．2版.北京：北京大学出版社，2011：74．