深度学习视域下“用分数除法解决问题”教学探析

程彦

［摘 要］深度学习是以课堂为主阵地，在检视学生浅表性学习的基础上，引导学生深度参与的课堂学习。“用分数除法解决问题”的教学，通过连接分数的意义，构建对应的问题模型，学生在利用直观图形厘清数量关系的过程中真正理解分数除法解决问题的要素，从而促进思维的发展，达到深度学习的状态，逐步实现知识、经验、能力的融合。

［关键词］深度学习；结构化；分数除法；解决问题

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）29-0069-03

一、问题的提出

2005年，研究者黎加厚将深度学习概念引入国内。2006年，郭元祥教授提出并开展深度教学的理论和改革实践研究，研究团队在前期工作中，提出深度学习与深度教学的关联性与一致性，深度即内涵，在于价值与目标、知识的理解与转化、学习的过程与方法。因此，深度教学是指向学生素养的意义性教学、理解性教学和生成性教学。

通过梳理、歸纳文献，发现关于数学深度学习概念的界定，多以安富海和郭华的深度学习定义为基础，即数学深度学习是指基于数学本质理解，关注学生的数学应用与分析能力，培养学生的创造性思维和核心素养。在教学过程中，数学深度学习是学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与有意义的数学学习的过程，以数学核心素养为目标，凸显学生的思维发展和学生对数学整体性的理解。

将深度学习理论应用于数学学科，需要教师深入解读教材，在理解教学目标的基础上设计教学方案，开展教学实践。用分数除法解决问题需要对分数相关知识进行综合运用。另外，从整数到分数，数系得到了拓展，分数既可以表示具体的量，又可以表示分率，用分数除法解决问题有其自身的抽象性。因此，为了达成深度学习，学生对分数除法解决问题的认识不能停留在浅层上，还要通过问题中的数量关系掌握解决问题的一般方法。

二、“用分数除法解决问题”的教学分析及现状

在分数问题中有三个因素非常重要：标准量、分率和对应量。可以根据求标准量、求分率、求对应量将六年级的分数问题分为三类（如图1）。

在以往“用分数除法解决问题”的教学中，教师通常是引导学生建立解决问题的模式：一找关键句（含分率）；二定单位 “1”；三列算式，单位“1” 已知时用乘法，单位“1”未知时用除法。依照上述模式，学生只需机械记忆并套用公式。由于没有达到理解层次，学生在解决综合问题时不能准确找出单位“1”，遇到不能直接套用公式的问题时就无法正确解答。

表1给出的“用分数除法解决问题”共有四个类型，前两个类型是“用分数乘法解决问题”类型的逆向问题，二者具有同样的数量关系，但单位“1”不同（已知的和未知的）。

在教学中，应找出分数乘、除法问题的对应与联系，让学生在观察、比较、沟通中理解“两个部分量的差”与“其中的一个量”进行比较，感受它们之间的异同和数量之间的联系，从而体会、内化这个差异和联系是“用分数除法解决问题”的基础和关键。

三、“用分数除法解决问题”多重属性

1.链接相关知识，找到解题关键

在用分数除法解决问题的过程中，如果过分强调机械记忆和建立简单模型，忽略模型背后的数学本质，就会使得学生对分数除法问题的核心知识达不到理解的程度。为了促进学生思维的发展，教师需要理顺思路，将知识进行串联、整合、类比，通过一道题延伸出一类题，构建对应的问题模型，活化知识的同时使知识结构化，找到用分数除法解决问题的关键。有题组如下：

（1）足球有20个，篮球的个数是足球的[25]，篮球有多少个？

（2）足球有20个，足球的个数是篮球的[25]，篮球有多少个？

（3）足球有20个，比篮球少[15]，篮球有多少个？

（4）足球有20个，比篮球多[14]，篮球有多少个？

以上题组的题目形式相近、知识联系密切，具有一定的对比性和层次性。通过比较，可以发现：列式时需要找到标准量，即单位“1”。标准量已知的，可以用乘法计算，即“标准量×具体的分率”；标准量未知的，可以用除法计算，即“具体量÷对应的分率”。通过比较，学生会发现不管单位“1”是已知还是未知，都可以用乘法数量关系式解决这些问题。“求一个数的几分之几是多少”和“求比一个数多或少几分之几的数是多少”这两种题的解题策略是一致的。在教学“用分数除法解决问题”的过程中要以“意义”为本，在学生理解的基础上进行知识建构，促使学生建立符号表征、逻辑形式和意义系统的三维知识结构观。

2.注重数量关系，进行整体建构

数量关系是两个或两个以上的数（或表达式）之间的关系。对于加减乘除运算，无论是一步计算还是混合运算，学生解题的正确率都比较高，然而在解决问题时，经常出现错误。原因在于学生建立数量关系模型时，缺少教师的引领。因此，在解决问题教学中，教师要注重引导学生分析数量关系，培养学生分析问题和解决问题的能力。学生遇到数量关系稍复杂的问题时，便能够从数量关系入手，正确建构思维框架。

学生在解决问题时，一般会经历如下过程：首先，从情境中寻找数学问题及解决问题所需的信息；接着，从复杂的信息中抽象出数量关系；最后，根据数量关系列式解答。例题：小明的体重是35千克，比爸爸轻[815]，小明爸爸的体重是多少千克？要真正理解“小明的体重比爸爸的体重轻[815]”，就要先弄清楚小明的体重是爸爸的几分之几。若将爸爸的体重平均分成15份，小明的体重相当于15份中的15-8=7（份），即小明的体重是爸爸体重的[715]。至此，问题转化成了“小明爸爸体重的几分之几是多少”。学生除了发现“小明的体重=爸爸的体重×（1-[815]）”，还发现了“小明的体重÷（1-[815]）=爸爸的体重”，即数量关系没有改变。

数学知识之间有密切的联系，是一个由浅入深、由简到繁、由易到难的结构。结构化教学能够将数学知识、数学思想与数学教学内容相结合，使学生将学习的内容视为一个整体，学生就能够在实际环境中提升自身的逻辑思维，全面理解数学知识。结构式教学的核心就是学生带着问题主动建构知识的过程。用“分数的意义”统领整个分数单元，将前后知识有机衔接，学生运用分数除法来解决问题时就能对“分数的意义”和“一个数乘分数的意义”达到理解的程度，从而将较复杂的分数问题转化为“一个数乘几分之几等于另一个数”的问题来解决。

3.利用图形直观，促进数学思考

合理运用线段图可促进学生的解题能力和数学思考力的提升。在“用分数除法解决问题”的学习中，学生经常会遇到一些不太符合基本结构特征、数量关系不是很清晰的问题，教师要引导学生画线段图来理解题意，帮助学生在数和形的转化中通过数量关系式找到突破口。

上述例题呈现了含有丰富信息的问题情境，学生在解题时，会遇到“把小明的体重平均分成15份”的情况。 线段图具有的直观属性，有助于学生逐步理解题中所传达的各种数学要素。从题目中可知爸爸的体重是单位“1”，将单位“1”平均分成15份，小明占其中的7份，而这7份所对应的量是小明的体重——35千克，用线段图表示爸爸的体重是35千克和剩余的8份之和，也就是单位“1”——15份。

学生通过线段图，明确了小明的体重是爸爸体重的（1-[815]），即“小明的体重=爸爸的体重×（1-[815]）”。

基础知识与思想方法是数学课堂教学中的两条主线。除了基础知识链这条明线，教师对数学思想方法链的构建也要重视。在建构知识的过程中，要引导学生用数学的眼光去分析各种数学问题，概括常用的数量关系，培养学生分析数量关系的意识和能力。学生在学习“用分数除法解决问题”的过程中，往往难以将具体量和分率对应起来，而线段图能诠释分数问题中的数量，从而轻松求解。

以上对“用分数除法解决问题”多重属性的分析与表达，也是“深度的教与学”在课堂中的具体呈现。教师只有具备结构化、立体化、多元化的教学思维，建立发展性的课程知识观，才能帮助学生获得整体性的知识，理解知识的本质属性。

综上，通过分析“用分数除法解决问题”教学中存在的问题，提出了结构化教学的优势和有效性，并强调了数量关系的重要性，以及通过图示促进学生的理解和思维的提升。在未来的教学中，可以进一步探索不同教学策略在分数问题教学中的优劣，以提升教师在学生深度学习过程中的引导和支持能力，推动学生数学素养的提升。

深度学习是以课堂为主阵地，在检视学生浅表性学习的基础上，引导学生走向深度参与的课堂学习，从而促进学生思维的发展，达到深度的学习状态，逐步实现知识、经验、能力的融合。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 何玲，黎加厚.促进学生深度學习[J].现代教学，2005（5）：29-30.

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[3] 安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究[J].课程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

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[5] 马云鹏，吴正宪.深度学习：走向核心素养（学科教学指南·小学数学）[M].北京：教育科学出版社，2019：10.

[6] 刘晓玫.数学深度学习的教学理解与策略[J].基础教育课程，2019（8）：33-38.

[7] 郭元祥，吴宏.论课程知识的本质属性及其教学表达[J].课程·教材·教法，2018（8）：43-49.

[8] 范新林.实施链式教学   促进教学高效[J].上海教育科研，2011（4）：75-76.

[9] 陈百峰.厘清数量关系是“解决问题”的关键：以“分数除法解决问题”为例[J].教学月刊小学版（数学），2011（6）：8-10.

【此文系广东省2023年规划课题（项目编号2023YQJK025）“‘结构·联系·迁移导向的小学数学单元主题教学实践研究”阶段性研究成果。】

（责编 黄 露）