具身操作体验，感悟度量本质

胡晓英

［摘 要］从长度到面积再到体积的学习过程代表了从一维到二维再到三维的度量概念的逐渐升级，这是学生认知上的重要飞跃。教学“长方体和正方体的体积”时，通过知识迁移、动手操作、对比分析， 让学生亲身经历从“不知所以然”走向“融会贯通”的过程，从而累积“量”的学习与活动经验，让学生的量感顺势而生。

［关键词］知识迁移；操作体验；量感；本质

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）29-0048-04

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，“图形的认识”和“图形的测量”被整合为“图形的认识与测量”主题。这个主题包括图形的认识以及图形长度、角度、周长、面积和体积的测量和计算。“图形的认识与测量”具有内在的联系，教师应强调从整体角度认识图形和测量，通过使用统一的度量单位来理解概念。这样可以帮助学生真正体会到统一度量单位的重要性和一致性，并能够通过度量单位来理解图形的长度、角度、周长、面积和体积，凸显度量的本质关联，形成知识链。

在小学阶段的“图形与几何”领域中，“长方体和正方体的体积”通常被视为相对较难的内容。然而，教材普遍将这一内容分为两个阶段来编排。一年级上册的教学主要是初步认识，侧重于直观感知和辨认，让学生能够理解基本概念。而五年级下册的教学则是再认识，着重系统教授长方体和正方体的相关知识，同时培养学生的空间想象能力。（如图1-1、1-2）

长方体和正方体是小学数学中最常见、最基本的立体图形。学习“长方体和正方体的体积”之前，学生对此已经具有一定的整体感知和直观形象的认识体验，并掌握了体积的概念和常用的体积单位（如图1-3）。因此，这一节课旨在让学生进一步探究和掌握长方体和正方体的体积计算方法，学会使用体积公式计算这些立体图形的体积，从而不断深化对体积概念和体积单位的理解，同时为下一阶段的圆柱、圆锥的体积计算学习奠定基础。

五年级的学生已经具备了一定的推理能力和空间想象能力，已经学习了长方体和正方体的特征、展开图，理解了体积的含义，认识了体积单位，还会计算这些立体图形的表面积。然而，他们尚未建立起关于立体图形体积计算的模型，因此在推导体积公式和建立不同知识点之间的联系方面可能存在难度。在这个阶段，学生的思维发展正逐渐从形象思维转向抽象思维，他们正在逐渐具备从抽象层面思考问题的能力。然而，对于长方体的体积公式的推导和不同知识点之间的联系，学生可能需要更多的指导。

针对以上情况，笔者把教学重点和难点放在探究为什么“长方体体积=长×宽×高”上，找准单位度量“承重墙”，打通不同领域、不同维度之间的“隔断墙”。

【教学目标】

1.经历探索长方体、正方体的体积计算方法的推导过程，理解并掌握长方体、正方体的体积公式，以及体积公式的推导方法，能运用体积公式解决一些生活中简单的实际问题。

2.通过观察猜测、具身操作、小组验证和辨析归纳等数学活动，积累数学活动经验，发展空间观念和类比推理的能力，感悟度量的本质。

3.在探索、合作活动中，学会与人交流、合作，形成乐于探索新知的思维品质。

【教学重点】理解并掌握长方体和正方体的体积计算方法。

【教学难点】探究为什么“长方体体积=长×宽×高”。

【教学设计】

一、激活经验，提出想法

1.勾连长度、面积，理解“度量”的意义

师（出示图2）：这条线段的长度有多少米？你是怎么知道的？

师（出示图3）：小正方形的面积是１平方厘米，长方形的面积是多少？

師：要想知道长方体的体积，你有什么好建议？

师：线段的长度是它含有的“长度单位”的数量，平面图形面积的大小是它含有的“面积单位”的数量，那立体图形体积的大小是不是它含有的“体积单位”的数量呢？

【设计意图：通过长度、面积的铺垫，学生能想到“利用边长为1厘米的小正方体摆出长方体，从而测量出长方体体积”的方法。】

2.探究长方体的体积与长、宽、高的关系

师：猜想长方体的体积大小与长方体的长、宽、高之间有什么关系。

师：猜测影响长方体体积大小的是什么因素。数学是一门以严谨著称的学科，光有猜想可不够呢，还得进一步验证才行。

二、逐级探究，明确算理

1.初探：实践操作，充分感悟

出示小组合作活动要求：

A.动手操作：  用1立方厘米的小正方体摆一摆、拼一拼，得出3个不同的长方体。

B.观察记录：  边摆边数，把3个不同长方体的相关数据填入学习单（略）中。

C.总结讨论：  拼成的长方体所含体积单位的个数可能等于多少？长、宽、高与拼成的长方体的每行个数、每层行数、层数之间有什么关系？长方体的体积和长方体的什么有关？有怎样的关系？

2.再探：汇报展示，沟通难点，理解本质

生1：每一排都有4个小正方体，共有２排，列式为4×2=8，从而知道每一层都有8个小正方体，共有2层，8×2=16，拼成的长方体由16个小正方体组成，体积是16立方厘米。我们组发现长方体的体积与长、宽、高之间的关系是长方体的体积等于长×宽×高。

生2：每行个数相当于长，每层行数相当于宽，层数相当于高，小正方体数量等于“每行个数×每层行数×层数”，那么体积就等于“长×宽×高”。

师（动画呈现拼长方体过程）：长方体的长相当于每行个数，宽相当于每层行数，“长×宽”表示一层的个数，高表示层数。因为长方体所含体积单位的数量（即小正方体的数量）就是长方体的体积，而“小正方体的数量=每行个数×每层行数×层数”，所以“长方体的体积= 长×宽×高”。

【设计意图：现场统计学生的实践数据，利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题“长方体的体积为什么等于长×宽×高”的思路。这一环节培养了学生的几何直观与数据意识。】

3.迁移认知，再学新知

师（出示图形转化的视频）：正方体就是比较特殊的长方体，它的长、宽、高的长度都相等，也就是棱长长度相同。类比推理得出“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”。

生3：V=a×a×a=a?。

师：a?怎样读，它表示什么？

生4：三个a连续相乘，写成a?，读作a的立方。

4.归纳统一体积公式

师：长方体的体积也能用底面积乘高来计算。用字母S表示底面积，h表示高，用字母表示为V=Sh。

师：长方体的这两个体积公式有什么联系呢？

【设计意图：练习环节有层次，既考查了学生对公式的灵活运用，又考查了学生是否仔细审题。最后的拓展题，是鼓励学生用多种方法解决问题，而分层练习，能让不同层次的学生体会到成功的快乐，从而保持旺盛的学习热情。】

三、沟通三维，构建体系

师：有人说长度、面积和体积的测量方法是一样的，你觉得呢？

师：测量，就是通过观察数一数、通过动手量一量，再计算有多少个这样的测量单位。

【设计意图：度量的本质是度量单位个数的累加，这个环节让学生沟通了三者的联系，即长度是一维图形的度量，面积是二维图形的度量，体积是三维图形的度量。从长度到面积再到体积的测量方法来进行系统的分析总结，度量的本质并没有发生改变，充分体现了空间与几何大单元教学理念中从线到面再到体的空间观念的发展规律。】

四、适时小结，兴趣延伸

师：这节课你有什么收获？

师：先估计家里的一个长方体物品的体积或者一个房间的容积，再测量并计算。

【设计意图：实践作业让数学知识回归生活。让学生利用身边常见的长方体进行合理的估算，并做出合理的判断，不仅给每位学生动手实践、学以致用的机会，而且培养了学生的数感和空间想象能力，提高了学生解决问题的能力。】

【教后反思】

一、抓住“量”的本质，实现知识迁移

量感是人们对外部事物大小属性的感知和直觉。小学生在没有使用测量工具的情况下，可以根据经验合理估计某个量的大小。

培养量感首先需要学生具备度量的意识，也就是用数学的眼光观察现实世界，尤其是观察日常生活中的事物。其次，需要在真实情境中提出测量问题，引導学生用数学思维来思考现实世界，从而进行合理的估测。学生的猜测是他们对体积的初步感知，通过观察和想象，学生逐渐将头脑中的形象思维转化为抽象思维。学生通过观察一个长方体的长、宽、高的变化引起的体积变化，就能够理解长方体的体积与这些因素之间的因果关系。教师还可以提出关键问题，例如“体积与长、宽、高有什么关系”，引导学生将思维从二维领域的“面”转到三维领域的“体”。最后，通过动手摆弄和拼接来验证学生的猜测。这个过程将体积的度量与长、宽、高的度量紧密结合，对帮助学生理解长方体体积的度量具有实际意义。通过“观察—猜测—验证—得出结论”的过程，学生逐步推导出了长方体的体积公式。同时，将估测和猜测相结合，能使学生真实地体验量的形成过程。

二、动手操作，培养空间观念

建立度量单位的概念是培养量感的基础。度量单位是测量物体数学属性的统一标准，只有统一的标准才能确保测量结果的一致性和统一性。培养量感的关键在于学会识别数量属性，并能够“创造”或选择适当的度量单位来量化这些属性，而不仅仅是知道用已有的度量单位来测量。在培养学生量感的过程中，可以通过复习旧知、深化理解，从学生已有的知识出发建立学习路径。这个过程包括以下步骤：①复习旧知。通过回顾学生已经学过的知识，帮助他们感受度量知识的衍生性和其与旧知之间的联系。②变量刻画。引导学生将数量属性与数学变量联系起来，感知量的大小。③深度体验。通过实际的操作和观察，让学生深入体验“几个单位”累加的感觉。④沟通三维。引导学生进一步理解三维度量，构建度量单位的体系。在这个过程中，学生通过亲身操作和探究，建立了长方体的长、宽、高与体积之间的联系。他们经历了从一维测量（长度）到二维测量（面积）再到三维测量（体积）的过程，将“数”与“量”有机结合起来。最终，他们通过观察和推导得出了长方体的体积计算公式。这个过程不仅是度量体积的过程，还是培养量感的过程，有助于发展学生的空间观念。

培养量感是数学教学中的重要一环，通过实际操作和观察，让学生深刻理解数量属性和度量单位的关系，从而更好地理解和运用数学知识。这种学习方式能让数学学习更加生动和有趣。

三、对比分析，聚焦测量本质

量是可以通过测量得出的。测量体积的本质是使用体积单位进行测量，然后计算该物体所含体积单位的总数量；实际上是学生通过一定的计算得出这些体积单位的总数，用以描述测量对象的体积。在教学中，教师应侧重让学生经历从“组合体积”“填写数据”“数体积”到“计算体积”的过程，帮助他们理解体积与长、宽、高之间的关系。在解决日常生活中的简单问题时，教师要强调度量的本质，从而将知识延伸和拓展到圆柱、圆锥的体积，以及容积概念，帮助学生能够积累数学学习的基本经验，提升量感。

课始通过长度和面积测量方法的引导，使学生不局限于解决长方体的体积问题，而是能理解长度、面积和体积之间的知识关系。这一过程有助于他们认识到数学图形度量的本质是一致的：首先要使用相应的测量单位进行度量，然后计算测量单位的总数量，从而得出图形的长度或大小。课程结束时，引导学生再次聚焦在“单位”这一测量的数学本质上，帮助学生在深度思考中厘清测量长度、面积和体积之间的经验和联系，即长度——一维图形的度量，面积——二维图形的度量，体积——三维图形的度量。学生在学有所获的同时，也能理解体积的测量本质是从长度和面积测量中延伸出来的，度量的本质是一脉相承的，进一步丰富了度量的内涵。

（责编 金 铃）