问题引路 手脑协同 数学发现 思理融通*——“探索图形变换与坐标变化的规律”实践课的教与思

吴智勇

⦿ 江苏省东台市实验中学教育集团 西藏拉萨市第一中学(援藏)

社会的进步、技术的发展对数学的教学方式提出了新要求,以初中生数学学习方式的转变为核心目标,基于数学实验,构建实现数学学习方式转变的探索发现课堂正在形成,数学实验融入课堂已经成为常态.本文中通过一节数学实践课的教学实录,提出笔者在实施数学综合与实践活动方面的一些教学思考.

1 教学实录

教师(以下简称师):同学们,前面我们研究了在直角坐标系中,任意一点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标特点.如果把对称轴、对称中心进行适当的平移,那么这些对称点的坐标又会有什么样的变化呢?让我们共同来探索吧!

1.1 复习提问

问题1在平面直角坐标系中,任意一点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标是______.

学生(以下简称生):平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标是P′(-a,b).

板书:点P(a,b)关于y轴的对称点是P′(-a,b).

追问:为什么呢?

生:根据轴对称的性质,点P(a,b)与其对称点P′到y轴的距离相等.

1.2 问题引导

师:当我们改变对称轴的位置时,对称点的坐标怎样变化呢?有没有规律?

问题2如图1,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-4,1),B(-3,4),C(-1,3).直线l1经过点(1,0),并且与y轴平行,在图中画出△ABC关于直线l1对称的△A1B1C1,并填写表1.

图1

表1

学生活动:学生在学案上动手画图操作,完成后在平板上用几何画板验证.

生:原来对称轴是y轴,向右平移1个单位长度得到直线l1,其相应的关于y轴的对称点的横坐标要加2个单位长度,纵坐标不变.

生:平面直角坐标系中,任意一点P(a,b)关于直线l1的对称点的坐标是P′(-a+2,b).

板书:点P(a,b)关于直线x=1对称的点的坐标是P′(-a+2,b).

师:改变对称轴的位置,你有什么发现?

学生活动:在平板上用几何画板平移对称轴直线x=n,观察思考,小组合作,交流讨论.

发现:

点P(a,b)关于直线x=2对称的点的坐标是P′(-a+4,b).

点P(a,b)关于直线x=-2对称的点的坐标是P′(-a-4,b).

板书:点P(a,b)关于直线x=n对称的点的坐标是P′(-a+2n,b).

追问:为什么呢?

生:根据轴对称的性质,点P(a,b)与其对称点P′(x,y)到直线x=n的距离相等,所以有x-n=n-a,y=b,即x=2n-a,y=b.故点P(a,b)关于直线x=n的对称点坐标是P′(-a+2n,b).

布置课后探索任务:若直线l′经过点(0,m),并且与x轴平行,任意一点P(a,b)关于直线l′的对称点的坐标是P′(a,-b+2m).

问题3直角坐标系中,任意一点P(a,b)关于原点的对称点的坐标______.

生:直角坐标系中,任意一点P(a,b)关于原点的对称点的坐标是P′(-a,-b).

板书:点P(a,b)关于原点的对称点的坐标是P′(-a,-b).

问题4在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-4,1),B(-3,4),C(-1,3).在图2中,画出△ABC关于点(0,1)对称的△A1B1C1,并填写表2.

图2

表2

学生活动:学生在学案上动手画图操作,完成后在平板上用几何画板验证.

生:对称中心由原点向上平移1个单位长度到点(0,1),相应的对称点的纵坐标增加2个单位长度,而横坐标不变.

生:平面直角坐标系中,任意一点P(a,b)关于点(0,1)的对称点坐标是P′(-a,-b+2).

建筑电气的使用容易受到外界雷雨天气的影响，因此，在建筑电气施工过程中，必须选择合适的防雷措施。目前，建筑的防雷措施一般都是在建筑上安装避雷针和冷却塔等，但是由于这些防雷设备具有很强的导电性，反而安全程度很低。此外，很多建筑企业的施工人员在安装防雷设备时并没有按照相应的规范标准进行操作，导致防雷设备无法正常发挥其性能，起不到避雷的作用[5]。因此，在设计建筑电气的工作中，为了确保建筑内的电气能够安全使用，必须要选择合适的防雷设备。

板书:点P(a,b)关于点(0,1)的对称点坐标是P′(-a,-b+2).

教师:改变对称中心的位置,你有什么发现?

学生活动:在平板上用几何画板平移对称中心的位置,观察思考对称点的变化,小组合作,交流讨论.

点P(a,b)关于点(0,2)的对称点坐标是P′(-a,-b+4);

点P(a,b)关于点(0,-1)的对称点坐标是P′(-a,-b-2);

点P(a,b)关于点(0,n)的对称点坐标是P′(-a,-b+2n).

板书:点P(a,b)关于点(0,n)的对称点坐标是P′(-a,-b+2n).

追问:为什么呢?

生:根据中心对称的性质,对称中心是对称点连线段的中点,用中点公式可验证说明.

生:平面直角坐标系中,任意一点P(a,b)关于点(m,0)的对称点坐标是P′(-a+2m,-b).

生:平面直角坐标系中,任意一点P(a,b)关于点(m,n)的对称点坐标是P′(-a+2m,-b+2n).

1.3 解决问题

问题5若先将△ABC向上平移m个单位长度,再作该三角形(平移后的三角形)关于直线l(直线l经过点(n,0),并且与y轴平行)成轴对称的图形,记为△A1B1C1,根据解决上述问题所获得的经验,你能写出△A1B1C1三个顶点的坐标吗?

问题6已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-4,1),B(-3,4),C(-1,3),如图2,在坐标平面中有一点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形,请写出所有符合要求的点P的坐标.

学生活动:学生在学案上动手画图操作,并在平板上用几何画板验证,完成后交流.

1.4 活动收获,能力升华

在本次活动中,我们加深了对平面直角坐标系的认识,进一步体会了直角坐标系中图形的变换(平移、旋转、翻折)与图形上点的坐标变化之间的联系,完善了对图形变换的整体认识.同时,通过画图、观察、归纳、猜想、验证,进一步掌握由特殊到一般的科学学习方法.

学生畅所欲言,交流个人收获……

2 教学后记

2.1 技术让思想更先进

随着信息技术的发展,我们更深切地感受到信息技术对人类的学习观念和学习方式所产生的影响,会使我们更加主动、更加高效率地通过学习来发展自我,以应对时代带来的挑战.几何画板在数学教学中的应用是教学现代化的需要和趋势,也是实现教育手段现代化的必由之路.在数学课堂教学中使用几何画板做数学实验,学生能更好地发现数学规律,更快地掌握数学知识.例如,本课中通过几何画板的动态演示功能,改变三角形的位置,由特殊到一般,给学生以直观的形象,通过大量的数据反映规律,活化教学环境,充分调动学生数学学习的积极性,激发学习内驱力,培养创新及发散思维能力.

2.2 问题让探究学习有梯度

在教学过程中设置阶梯式的问题,启发学生思考,从而更好地锻炼学生的思维.本节课由关于y轴对称到关于平行于y轴的直线对称,由特殊的整数点位置的三角形到任意点位置的三角形,由数字到字母,问题是渐渐展开的.课堂上教师要关注每一个学生,目光不能仅被几个“优等生”给吸引.处于“边缘”的孩子对数学学习缺少兴趣,是因为他们没有体会到“会、懂、被表扬”的快乐,我们要学会倾听,让课堂给学生安全感,不管学生说的是对还是错,老师和同学都应该以包容的心态进行倾听.设置阶梯式的问题,即使处于”边缘“的学生也能体会到“我会、我行、我能做、做得对”的快乐,由此产生学习数学的兴趣.另外,教师要重视课堂的自然生成,发现学生提出的真问题,解构自己原先提出的问题,顺其自然的课堂才是真课堂.

2.3 建构让知识发生更自然

“知识不是被动接受的,而是认知主体积极建构的”,这是建构主义理论的核心.学生学习数学更多的是为培养良好的数学素养.这节课“从特殊到一般、再从一般到特殊”,知识的发生显得自然和谐.从特殊到一般的数学思想是归纳推理,从一般到特殊的数学思想是演疑推理,这二者都是最基本的数学思想方法.数学思想的领会通过教师在课堂的正确引导有效渗透到学生的数学学习中,这是提高学生综合数学素养的必然途径.从“不完全归纳得出的猜想”到“严格的演绎推理说明的结论”,无可厚非,从特殊到一般的数学思想起到了抛砖引玉的作用.“从特殊到一般”和“从一般到特殊”的思想看似平淡无奇却又无处不在,它更好地体现了数学来源于生活,又运用于生活.

2.4 数学实验变革学习方式

数学的学习是可以通过观察、实验、归纳、推理等过程实现的.本节课由探索整数的格点到自由变化的点的一般规律,让数学发现、推理论证等自然发生,几何画板是符合建构主义的理想的学习媒体,是建构主义实践的载体.董林伟[1]主导的江苏数学实验项目提出:数学学习应回归发现、论证、应用的本意,让学生在做数学中享受完整的学习过程,同时提出“手脑协同,启思明理”的教学主张和“做支架”的数学学习方式.