小学数学影资源的增值化开发

摘要 影子是一种常见的生活现象，影内容也散布于小学各科教材中。影子的生活化开发价值和跨学段、跨学科的整合需求不容小视。在现有小学数学教材内容结构基础上，整体挖掘、架构、开发影内容，层阶设定影资源开发的目标，紧扣影资源开发的创新实施，在“影”“物”互联、“形”“数”转化和“手”“脑”合创中展开影资源的增值化开发。

关  键  词 小学数学 影资源 学科整合 增值化开发

引用格式 刘玉勇.小学数学影资源的增值化开发[J].教学与管理，2023（35）：54-58.

对处于三维空间的人来说，影子将三维物体降至二维，具有神秘感和挑战性。贴合小学阶段孩子们的观察特点，影子可以激发出学生对生活与数学的探索欲望。因此，影子的知识也成为了小学教材的必选内容。如，苏教版《数学》在六年级下册安排了综合与实践课“大树有多高”；有关数学文化和数学史的“日晷”知识也在多个版本教材中有穿插；2022年版数学新课标中，“土圭之法”以主题活动形式对影子予以了呈现，也将会编写在新教材中。

对数学资源的开发，以往比较重视地域资源的实践利用[2，3]，相对而言，对教材内容资源整体和深度的关注还不足，对影资源的整体开发还没有。为此，依据2022年新课标精神，需要对影内容进行整体构架，协调并融入各科影资源，进行对小学数学影资源的大视野、全学科关注，以此推动小学生数学核心素养的再提升。因此，对影资源的增值化开发，是指通过对影资源内容和教学的整合、创生，以达到学生数学核心素养的再提升。

一、影资源增值化内容架构

1.影资源的形成分析

小学阶段教学影子的形成方式一般有两种：一种是物体和投影面垂直，另一种是物体和投影面平行，前者在室外阳光投影下常见，是一种实境影资源，后者于课堂教学投影演示中常见，是一种实验影资源。两种成影方式互补，形成了丰富的、显隐兼具的影教学资源。

2.影资源的设计原则

由于影子形成过程中环境变量比较多，因此，结合学生知识储备和学习兴趣，小学影问题的设计要遵循生活、适切、整合、递进和适用的原则。对光源特点（平行光源，点光源）暂不做介绍和区分，设计应重视如下几个问题：物体是怎样的？影子是怎样的？物体和影子的各种关系（如方向、长短等属性关系）是如何的？物和影的关系带来什么样的应用价值？

3.影资源的整体架构

小学阶段影教学资源的增值化开发内容有：借助游戏和实践，通过操作形成静态或动态的奇妙影子；通过观察和想象，以静态或动态影子构造物体寻找实物；基于量值和建模，进行影和物体之间量值属性关系计算；利用现象和信息，对数学问题进行生活或数理上的综合决策。

图1整体结构了影资源开发的基本策略和核心内涵。其中，“形成影子”是通过游戏和实践，实现对生活中影子的初步感知与发现，可以用作低年级幼小衔接；“寻找实物”是通过观察、思考和想象，实现数学中影子的生活化理解，利于低中年级学生理解数学中的影子；“度量计算”是通过量值和建模，立足影子和实物的关系分析，实现中高年级学生规律性关系的运算、推理和验证；“综合决策”是利用现象和信息呈现，立足问题综合解决和策略深度优化，达到高年级小初衔接的进阶发展。影资源的整体内容结构从感性到理性，从现象导向到问题导向，从抽象、推理到思维建模，持续推进并不断增值。

图1 影资源的内容整体构架

二、影资源增值化目标定位

对照上述对影资源内容增值开发的架构，与影子教学有关的整体教学目标设定如下：

目标1：通过实操或体验，掌握“物到影降维”的策略。在小学阶段，这部分内容是教学的重点和奇趣点，也是影子问题走向数学化经验的基点。例如，通过设计和玩手影游戏，提升学生立体图形平面化的能力，让学生在實践中用数学的眼光观察现实世界。

目标2：通过想象和构造，形成“影至物升维”的能力。通过影子逆向猜想重构物体原来的空间形态，并用自己喜欢的方式表达和呈现。例如，根据静态投射出的影子，猜测被投影物、图形的多维空间状态。

目标3：通过推理和计算，促进影思维的有效迁移。在计算物体实际长度或影的长度时，感受影资源数量间量的变与不变，形成数形模型。例如，“大树有多高”一课，通过影和实物的比例关系求出大树高度，用影知识迁移出学生解决这一类问题的思考，并融合比例尺知识的理解，形成数学化的问题解决策略。

目标4：通过化整和优化，实现影信息的提取利用。将所挖掘的影子信息和其他信息整合，跨学科解决更多的综合性问题。例如，通过影子的变形和深浅，判断阳光下水管的漏水点位置，融合数学、科学与劳动知识，提升学生问题的综合分析和综合判断能力。

以上目标设定从直观到抽象，从跨学段到跨学科，充分体现整体性和进阶性；将数学思维和数学实验结合，实现育人价值转化的多重意蕴[3]。同时，小学阶段对影资源的开发，要结合年级段，针对学生的生活经验和各科已学的知识经验及技能储备，形成适合学生的内容结构序列，让影资源开发和实施有统筹、有层次、有融合。

三、影资源增值化实施的实践策略

1.设计与影相关的感性素材，培养小学生“影” “物”互联能力

由于投影中物体和影子都具有直观的特点，因此，内容设计和教学实施当然都要重点抓好两者“形”的关系，要关注“影”与“物”在空间维度上的升和降；还要关注要求上的深与浅。教学中，要重视提高学生观察、想象、猜想、验证等能力，真正提升学生“物找影”与“影猜物”的空间维度转化能力。

（1）猜想影子“降维”前的物体形状

通过影子的呈现猜想原来的物体是什么形状，这是影子的最神秘和诱人之处。学生遇到影子，首先会想：这是什么物体的影子呢？为此，我们可以从静态和动态两个角度开发和解读影教学资源。

①一个静态影子的多元判断。静态影子是课堂常见的影资源。例如，图2从是正面投影得到的多边形影子。教师让学生通过影子的形状猜测物体原来的样子，通过二维影像推测二维或三维物体原来的样子，可以充分激活学生的空间想象力。

图2 静态：正视一影猜多物

以图2教学为例，教师可以问：“这影子的背后藏着的可能是什么样的物体呢？”除上述部分复原呈现的形体外，学生的猜测还有很多，也没有唯一答案，这或许就是影资源带来的思维发散之妙。学生可能回答：可能是门窗一类的实际物体，也可能是平面类的物体，还可能是立体状的形体……学生的想象在此可以多“飞”一会儿。从观“影”到猜物，当然还需要验证，可以组织学生通过动手剪、拼，或者用可塑形材料（萝卜、土豆、橡皮泥、面团等）制作立体物体。“物找影”验证，也可以通过绘制二维或者三维透视图进行空间想象推理，还可以让学生用数学语言描述或补充。之后，继续追问：“为什么不同物体的影子都是一样的？”学生分别投影展示作品，再进行理性分析，分享和争鸣。学生验证自己投射的影子是否和原来影子“一样”时，也蕴含着对初中“相似”概念的生活化启蒙。

影子的呈现不一定是二维的面，还可能是一维的线（直线、曲线）或线条结构的二维面的框架（此时的面类似透明或半透明状态）。线条间的组织结构可以是多样的，除了基本形体框架，也可以随机弯曲，可以是上下、前后或左右穿插的线条，甚至可以是有趣的线条人等造型。如图3所示，投影出现了框架线条（这里因空间距离远近产生投影上的深浅、透视变形暂不考虑），那么，这个物体可能是二维平面的框架图形，也可能是三维立体的框架，此处可供想象和挖掘的空间特别巨大。

图3 静态：线条影子的多元猜想

②多个关联影子的动态猜想。影子的运动可以让学生对数学产生新认知。当一个平面物体的影子朝一个方向動态变化，其实也蕴含着很多数学中的奇妙。例如，图4是一个很小的平面的正十二边形，拉动光源，让影子产生大小变化。教师问：“看了三个影子，你有什么发现？”学生会认为最小的正十二边形很像一个圆。这时，正十二边形的边逐步缩小，好像一个个靠着的点，正十二边形就接近圆的样子，这里不仅体现出极限思想，让学生感受到圆的曲线其实是一个个点靠近组成的，还能感悟出“点”是构成几何图形的基本元素，贯穿点动成线（直、曲）的原理，在逐步逼近圆时也融入了微积分思想。对于多边形的外角和，则可以将多边形投影缩小为一个小点（近似于角的顶点），延长外角边线，而所有外角所形成的图形就是一个周角。

图4 动态：运动影子的极限变化

静态的影子可以猜想出众多的“源”物体，多个相关联的连续的影子可以提供更多的信息，可以更准确地构建出原来物体的样子。物体在连续旋转投影时，影子也跟随变化，学生自主选择几桢关键影子，记忆组合，逐步推想出该投影物体的样子，很具挑战性。例如，可以有序慢慢旋转一张纸并投影，影子出现的可能是线，也可能出现面，学生通过变化的影子逐步构造出长方形纸的更精准的样子，再让学生将这个长方形画出来，重点关注长宽之间的关系。当然了，教师可以将纸资源增值，用同样的纸加厚，变成一沓纸，继续这样的游戏，还可以将长方形硬纸快速旋转，感受平面在转换成立体过程中影子的动态变化，培养学生空间想象能力和数感、量感的融合力。

（2）利用影子呈现特点协助关联判断

①利用影子促进线、面融合能力提升。不透明实心物体的投影，一般视觉上会优先关注面；而框架型物体的投影则会优先关注于边。实际上对影资源抽象分析时，要形成“面中有线，线中有面”的观察习惯。线是构成面和体的基础，作为框架结构立体图形，线、面沟通中，线的分析更为重要。例如，从影子向三维框架物体的复原中，用空间想象给影子加上前后有纵深感的虚、实线，就可以构造形成三维线条结构的形体。再如，由一个由七巧板组成的“鹅”形投影（如图5），学生根据原始七巧板内部图形特点和内部图形数量，通过空间想象利用补线就可以逐步解决。

图5 七巧板还原

②利用影子提高方向和位置的辨识力。利用影子可以将一些有类似形态特点的物体进行快速区分。如苏教版《数学》二年级上册的“观察物体”一课：四个小朋友分别站在猴子的前、后、左、右四个不同方位，为小猴子各拍了一张照片。请将拍摄的照片和对应的拍摄者用线连起来？笔者认为，如果像图6这样将猴子实物的投影呈现出来，让学生进行辨识是从哪个角度投影的，更能帮助学生从整体出发捕捉到所观察物体的线、面特征，提升他们快速抓住特点观察物体的能力。

图6 “观察物体”的教材资源创新

③利用影子让生活与数学结合更紧密。上述对影子的观察都是基于课堂的，实际上，生活中一些小问题也能体现影子辅助判断的价值，如“拇指测影法”是居住在西藏一些偏僻牧区的人们测时间的方法。生活中的“影”稍加改造和数学化就能形成如图7这样的问题，结合生活经验，将影子与时间的判断融合，通过影子的长短和角度得出大概时间。若将此影资源再挖掘，可追问：“如果你就是这个观察者，站在同一地点，观察同一棵树，你能大概确定观察者此刻面对的大概方向吗？”可以如图8这样，上午观察并标注影子一段时间内的顶点位置（分别是西、东），连线“西”“东”两点，并画出它的垂线，上面则为北、下面为南，由此确定出四个方向。若将图7和图8结合，那么就可以引发更多的思考。

图7 利用影子估计时间

图8 利用影子确定方向

2.设计与影相关的理性问题，培养小学生“形” “数”转化能力

（1）运用影子计算解决生活对策问题

进入小学高年级，在学习、掌握基本图形和比例等知识后，学生对影子的认识将进入图形化和数理化阶段，在模型建构的基础上，对影子感性的解读也逐步走向抽象和理性。如苏教版《数学》六年级下册安排了“大树有多高”综合与实践课，让学生通过分组测量、记录，再利用“同一时间、同一地点，物体长和对应影子长的比值一定”计算出大树的高度。当然，也可以继续挖掘这里的影子资源，例如，“树靠墙比较近，造成影子一部分投在地面，一部分投在墙上”，教师再给出必要的数据，要求算相关长度。这样的“影”问题师生都可以提出和开发，可以作为自主探索的主题作业进行实践。类似的复杂问题会在初中的“相似测高”“斜坡影子问题”中再进行深入探讨。

有了用影子测算大树的经验，师生也可以“仿制”或开发出类似的影资源。例如测算金字塔高度：可以先测定与金字塔同一时间、同一地点的人和此人影子的高度及长度，再测出同样时间金字塔影子的长度，就可以通过正比例求解金字塔高度。其实，这里的计算思路就是初中阶段相似（全等、位似）等知识的经验基础。到此处，对影资源的价值开发已经从解决问题走向策略整合，可以利用影子进行测算，进而设计成相关主题活动或项目化作业。

（2）运用影子列举复原趣味分率问题

整合多种数学知识的影问题，显得很有趣，更能抓住学生探究思考的兴趣。如“一根绳子投影后的影子如图9，它有三处交点，但无法判断出是穿过了绳圈还是在绳圈下面，从这个绳圈形状来看，如果将两端拉紧，可能会让绳子打结。请问这根绳子打结的可能性是多少？”通过实践操作或画图一一列举对投影物体进行复原，以右端绳子所处位置为准不难发现有八种可能，能打结的有两种（圈画的方框内）。小小的影子中藏着的却是多种数学知识的关联。

图9 绳结影子中的分率探索

从面到线，从规则的直线、射线、线段和曲线，再到无规则的乱线，其投影后线的影资源都具有潜藏开发价值。如同上述绳结影问题，如果将影子和其他知识融合也可以创生出各类具有综合性、挑战性和趣味性的问题，还可以衍生出更多的问题链。

3.设计与影相关的主题作业，培养小学生“手” “脑”合创能力

影资源的开发和利用可以渗透在生活、游戏和学习中，是感性和理性的融合，可利用微实践[4]进行综合化。基于整合和增值需求，结合数学新课标的“三会”理念，可以将影资源的开发蕴藏在丰富多彩的创新作业中。

（1）感性积累的趣味游戏作业

影子方面的作业可倾向于综合性和趣味性，融入“物找影”的实践，贴近儿童情趣；影作业可以是跨学科的，可以是跨课堂的主题化作业、个性化的作业。与影子有关的数学作业若设计得有趣，更能成为孩子学习的内驱动力。可以进行融合数学、美术、音乐、勞动的剪影制作、手影设计和皮影创作等方面的作业。通过数学课堂、生活实践或校本研修等多途径、多角度实施上述趣味作业。

剪影，美术教材比较常见。剪影除了剪人像（轮廓），也可以剪“囍”字一类的轴对称的字。通过这样的剪纸训练和再创新，融入对称知识，同步提升学生数学素养和审美素养。

手影，不只是静态展示，也可以配合故事动态连续呈现，形成动态的“手影剧”。若再给手影剧配上声音、衬上背景，能激发更多学生的“影”创作兴趣，而学生则可以充分感受三维不透明物体的二维影像创造方法，提升“物找影”的能力。

皮影是二维的，是多层次透明平面造型的活动性叠加，它的影子是“多层次透明的彩色影像”。皮影的透明特性，也为未来初中学习投影和相似知识打下生活经验的基础。像皮影这一类特殊的透明影资源，生活中很普遍，可为CT技术打下影像理解基础，融合未来初中一次方程组知识，可以开发出数学化的“医影”资源。

（2）理性思考的多元表征作业

深度化和结构化是影资源开发的目标。根据小学生的年龄特点和个体差异，应该让学生将探索、学习影子的感想，进行多层次、多角度地表达和分享。交流的内容可以是收获和发现，也可以是疑难和困惑，还可以是拓展和创新。例如，让学生和老师一同寻找影资源，编写“影”手账作业；请学生用手抄报的形式，将与影子相关的内容进行思维导图结构化的收集、整理和分析，形成学习分享的手册和说明书；结合实践，形成探“影”主题活动小方案；编写与影子有关的“秘影寻踪”数学小论文、数学小日记、数学小作文……以多主体和多式样的作业方式，过程性和综合性地呈现影的增值历程。

参考文献

[1] 彬彬，孔凡哲.地域性课程资源开发利用中的教师智慧：基于小学数学典型案例的个案分析[J].数学教育学报，2014，23（06）：36-40.

[2] 孙露，项明寅.小学数学地域性课程资源开发与利用的思考：以徽州文化为例[J].数学教育学报，2016，25（06）：56-60.

[3] 陈美华.小学数学实验育人价值转化的“三重意蕴”[J].教学与管理，2020（32）：40-42.

[4] 戴子.小学数学微实践作业设计思考[J].教育理论与实践，2023，43（08）：59-61.

[责任编辑：陈国庆]