概念视角下数学跨学科主题学习的实践研究

摘要 数学跨学科主题学习要围绕数学/跨学科概念展开，在基于真实情境的问题解决中引发对数学/跨学科概念的深度理解，在任务导向的循证实践中发展数学/跨学科素养。具体教学中可以从真实性主题的确立到双线并进的目标厘定，从数学/跨学科的结构化内容整合到融入全程评价的递进式任务推进，展开数学跨学科主题学习的校本实践样态。

关  键  词 数学 跨学科 主题学习 概念理解 真实情境 递进式任务 全程评价

引用格式 庄治新.概念视角下数学跨学科主题学习的实践研究[J].教学与管理，2023（35）：49-53.

埃里克森认为，概念为本的教学要在事实性层面上能“知道”，在概念性层面上能“理解”，在技能和过程层面上能“做”，即要利用事实性的、概念性的和激发性的问题来使学生协作（有时候是独立的）去探究有趣的、相关的或要求的问题，发展学生的思维[1]。也就是说，在组织教学活动时，至少要关注两个维度：事实性层次和概念性层次，因为只有在事实性层次和概念性层次的相互作用下，才能引发对学科/跨学科概念的深层次理解以及迁移能力的发生。

作为综合与实践活动的重要内容之一，跨学科主题学习是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）提出的新的学习方式，需要学生面对现实背景，从数学的角度发现并提出问题，综合运用数学和其他学科的知识与方法，分析并解决问题[2]。由此可见，数学跨学科主题学习既重视现实背景中真实情境问题的解决，具有实践性；又强调要从数学学科本身的视角出发审视问题，具有学科性；更关注数学与其他学科的概念整合，具有综合性。学生在参与数学跨学科主题学习的过程中需要围绕数学/跨学科概念展开系列探究活动，即要从数学/跨学科概念的视角去发现问题、提出问题、分析问题并解决问题，从而达成对数学/跨学科概念的深度理解和灵活迁移。下面笔者就以五年级跨学科主题“‘坊小绿化面积”为例（以下简称“绿化”），谈谈概念视角下的数学跨学科主题实践样态。

一、主题确立：数学学科与真实情境整体考量

《课标》指出，跨学科主题学习要设计情境真实、较为复杂的问题，要引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题。也就是说，数学跨学科主题的确立至少要重点关注两个维度：学科特征和真实情境。首先，跨学科主题要着重关注学科中的大概念，以某个大概念或者核心议题为靶心，主动关联其他学科中相近或相关内容的解读，促成学生对大概念持续性、综合性的理解[3]。由此可见，数学跨学科主题必须承载数学学科的核心内容并辅以其他学科的相关知识，主题的确立要体现数学学科的本质，可以是对教材现有内容的改编，也可以围绕数学核心概念进行创编，但无论哪种形式，都需要围绕数学概念分析、解决问题。其次，跨学科主题学习解决复杂问题的特性决定了真实情境是跨学科主题学习基本要素[4]。这里的真实情境，既指符合逻辑的、合情合理的、具有典型性和教育性的学习活动的真实，又指反映原型的、经过教育的提取与加工的生活问题与情境的真实，更指根植于学科发展史、概念发展史或问题发展史的学科脉络的真实。无论哪种真实情境，必定是具有现实意义的，蕴含真实的专家思维的，是复杂的、开放的，具有挑战性的。因此，数学跨学科主题的确立既要重视以数学概念为内核的学科引领地位，又要关注真实情境的现实价值。

如“绿化”主题的确立，就是以与苏教版《数学》五年级上册第二单元“多边形的面积”配套的综合与实践“校园绿地面积”为蓝本进行的创编：一是重组教材内容，围绕多边形的特征进行单元整体设计，辅以美术、科学、语文的相关知识，将多边形面积的学习融于跨学科主题学习中，确保学生将所学知识与自身经验联结和内化，在系列任务的逐层推进中促进概念理解；二是扩大研究范围，校园的占地面积是固定的，而用于绿地的面积更是有限的，因此从“绿化”的视角来推进校园环境的优化建设更为合理。基于教材内容的整合和学校环境的现状，确定了五年级的数学跨学科主题：“坊小”绿化面积，旨在从数学学科的视角审视校园现有的绿化面积，辅以美术、科学、语文的相关知识与技能，全面、科学地了解学校现有的绿化情况，并根据国家规定的相关标准及学校现状，以“‘坊小绿化员”的身份提出可行性建议。

二、目标厘定：概念理解与素养提升双线并进

1.数学/跨学科概念的理解

威金斯指出，理解是关于知识迁移的，即要学习用大概念和迁移策略来解决问题[5]。概念理解作为数学跨学科主题学习的主要目标，包括三个方面的内容：一是掌握基本的知识和技能，即解决问题所必备的事实性知识。这里既指数学学科的知识，包括规则图形的面积计算方法（如长方形和正方形的面积、三角形和梯形的面积、圆的面积等）和不规则的组合图形的计算方法，还指科学、美术学科的知识，如基本的测量、绘图技能等。二是要理解意义，即达到概念性的理解。这里指的是学生要理解数学/跨学科的概念，如“图形的切割要根据所测物体的实际形状进行”“同一个组合图形可以通过不同的割补法计算面积”“数据的获得要根据图形的特征来确定”等。三是灵活迁移，即能将数学/跨学科概念运用于新的情境中。这里是指学生要学会将“图形特征的数据的获取”及“数据是确定环保方案的重要指标”等观念，在類似甚至不同的情境或主题中灵活迁移和运用。

2.数学/跨学科素养的提升

数学跨学科主题学习要关注素养的提升，这里的素养既指数学素养，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界；也包括跨学科素养，如科学思维、艺术表达、与同伴协作、学会交流、批判性思考等。在“绿化”中，数学素养体现在：学生会用数学的眼光去观察花坛、草坪等实际物体的形状特征，会用数学的思维去分析并采用最合理的方式测量不同组合的绿地面积，会用数学的语言有条理地阐述规则花坛和不规则花坛在测量过程中的不同解决方案等；跨学科素养体现在：会从科学的视角去理解空间与平面的联系，会运用线条与形状等造型元素去绘制平面图，会服从团队的分工安排并主动与同伴合作进行实地测量，会与同伴讨论协商后获取最佳割补方案，对同伴提出的观点能欣赏接纳或合理质疑等。

三、内容梳理：数学概念和跨学科概念结构整合

1.学科內关联视角

数学跨学科主题学习要围绕数学概念展开。数学概念是有逻辑的结构体系，从纵向视角看，每一个概念的呈现都是从易到难螺旋上升的，贯穿整个小学阶段，学生对同一体系数学概念的理解在不同学段可以得到递进式的逐层深化；从横向视角看，每一个数学概念都不是孤立存在的，不同数学概念之间有机融合、互相影响，学生对有联系的不同数学概念的理解在同一跨学科主题中达成结构化的认知。

如在“绿化”中，从纵向看，对平面图形的认知发展贯穿整个小学阶段（如图1），其中学生对规则图形的认识是主题推进的基础，学生在对草坪、花坛等校园绿地面积的测量中形成对组合图形的初步感悟：每一个不规则图形都是由若干个规则图形组成的。由此提炼出解决组合图形面积的基本方法——割补法。

从横向看，解决组合图形的面积问题时，几何直观与运算能力、数据意识不可分割（如图2），测量与计算是主题推进的关键要素。组合图形切割后的面积计算，不仅需要根据图形的特点测量出相应的数据，还需要根据实际情况采用合适的计算方法，包括运用面积公式的精准计算以及根据图形特点的合理估算，如看成近似的规则图形进行估测、用面积单位拼接测量等。

图2 “组合图形的面积”横向概念结构图

2.跨学科关联视角

数学跨学科主题学习解决的是真实情境中的问题，其挑战性强、开放性大的特征决定了问题的解决仅凭数学概念是无法达成的，必然要从整合跨学科的视角展开。跨学科概念的介入可以更好地促进学生对数学概念的理解。如在“绿化”中，学生需要将现实世界中的花坛抽象成平面图形，并根据其特征绘制成相应的示意图，这就需要运用美术构图的概念来绘制相对精准的示意图，从而帮助学生准确分析图形的特征，并确定合适的割补方法计算面积；各个图形中关键数据的获取、测量工具的选择及使用等又涉及科学测量的范畴，工具使用越恰当，数据测量越精准，学生计算出的绿化面积就越接近真实数据。

四、任务推进：学习实践与循证理解螺旋递进

1.设计层级任务，在持续推进中分解难点

数学跨学科主题是一个内涵丰富的问题域而不是一个单向度的知识命题[6]，其复杂性和挑战性决定了学生无法轻易找到问题解决的方法，这就需要围绕主题设计多个有关联的任务链，每个任务都对应一个关键问题，在持续的任务推进中不断探寻问题解决的路径，从数学/跨学科概念的视角去求证解决方案的可行性和科学性。如“绿化”中设计了递进性任务（见表1），任务一重在发现、提出问题，从“‘坊小绿化师”的视角引发思考：校园绿化面积是否达到了绿化标准？并以此为学习主题商定学习活动方案；任务二重在分析、解决问题，以小组协作的方式展开学习实践，通过实地观测，选择合适的方法测量并获取数据，结合图形的特点选择合理方法计算面积，学生在讨论质疑、辩论反思中引发对数据与图形的协同理解；任务三重在方案落实，从数据的视角思考并提出可行性方案，用宣讲的方式将倡议方案进行全校性的推广。

2.提供学习支撑，在思维可视中深化理解

普利斯里等人认为，支架是根据学生的需要为他们提供帮助，并在他们能力增长时撤去帮助。作为一种辅助性工具，学习支架成为主题学习任务推进过程中不可或缺的可视化思维支撑，不同的学习支架具有不同的功能，在恰当的时候提供学习支架，可以引发学生对数学/跨学科概念的深度理解。如在“绿化”中，根据任务推进的需要，提供了以下图表类学习支架。

（1）知识梳理单（见表2）。帮助学生整理、筛选、组织和记录信息。可用于学习开始之前的知识梳理，这是确保任务顺利开展的重要举措，学生能清楚地知道自己已经掌握了哪些知识和能力；也可在学习过程中随时记录收获，这是一种增值性的知识增长，让学生清楚学到了什么。如在做“绿化”之前，学生已经了解了长正方形、三角形、梯形的面积计算方法，而在任务开展的过程中，他们学到了圆的面积计算方法、不规则图形的测量、小数加减法的计算等，当任务结束后，部分学生又对扇形面积、圆周长等有了新想法。

表2 “‘坊小绿化面积”知识梳理单

已知 新知 未知

学习前，我们已经了解到平面图形的知识 学习中，我们又了解到平面图形的知识 学习后，我们还想了解关于平面图形的哪些方面

（2）问题记录单（见表3）。主要记录学生在学习实践过程中碰到的问题以及解决的方法，帮助学生深入思考问题并将解决路径可视化，从而引发对概念的深度理解。如在测量花坛的过程中，学生记录的问题是：有一个图形是缺了一个小弧度的，不知道怎么测量。他们的解决方法是：把缺的两条边连接起来，就可以作为长方形计算面积。学生记录的问题包括绘图的问题、测量的问题等，而解决的方法也是多样的，既可以向有经验人员的请教，也可以查阅资料等。

（3）任务探究单（见表4）。主要用于记录学生在探究过程中发现的问题以及是如何运用数学概念来解决的。如有的小组的任务是测量花坛面积，但学生发现花坛是不规则图形，而且还有弧度，他们的探究过程是先运用割的方法分出一个长方形，再用补的方法看成近似的长方形，最后多出来的一小块用面积单位去量。他们的探究成果就是将探究的过程用示意图画出来，使探究过程可视化。

3.组织探究活动，在循证探究中解决问题

循证探究是数学跨学科主题学习深入推进的重要活动方式，包括观察现象、查找信息、制订研究计划，根据实验证据对已有的结论作出评价，使用工具收集数据、分析数据、预测及交流结果等。无论哪一项探究活动都需要指向对数学/跨学科概念的理解，并为问题解决提供相关数据和最佳证据。如“绿化”中涉及到多项探究活动：调查活动，学生通过统计、问询等方式获得关于全校人数的第一手资料，理解数据的准确性会影响方案的设计；测量活动，学生对长方形草坪进行整体观测，测量四条边或两条边，甚至用只测量一块瓷砖，再乘瓷砖块数的方法，都可以获取长方形草坪相关边的数据，理解数据的获取可根据图形特点灵活测量；计算活动，学生对绘制的平面图形进行研究，可以用割或者补的方法将不规则图形转化成规则图形进行计算，也可以将不规则图形看成近似的规则图形来估算，或者用面积单位（1平方分米的纸片）量较小的不规则图形等，理解需要根据图形的特点灵活选择计算方法；汇报点评活动，各小组将测量计算过程中碰到的问题及解决办法进行交流，其他小组在质疑评估中引发更深入的思考，理解问题解决的多样性以及数据与方案的相关联性。

五、评价管理：过程发展与结果呈现全程融入

1.重视及时的交流评价，引发高阶思维的发展

维果茨基认为，所有的知识都始于可视化的社会交互，然后慢慢被学习者内化并形成想法[7]。因此，学习者之间的对话、协作是非常关键的，跨学科主题学习中要强调将学生的内隐认知外显化，而及时点评、对话交流作为重要的一种即时性评价方式，既可以对学生的学习行为进行有效的调控与管理，更能通过层层递进的对话引发学生对数学/跨学科概念的深入思考，发展高阶思维。如“绿化”中在测量不规则花坛时，教师连续追问：你认为图3分割出来的每一条边都需要测量吗？中间这一条边不方便直接测量，你们认为可以怎么解决？这种分割法是最方便的吗？有没有更合理的分割方法？在图4中，把这条弯曲的边看成近似的直线后，相差的面积又是怎么处理的……学生在不断思考中理解不同的切割方法会影响数据的获取，数据的获取又取决于实际情况，既要考虑准确性，更要关注合理性。

2.制定适切的评价量规，关注概念的灵活迁移

厄尔提出评价的三种类型：学习性评价、学习的评价和学习式评价。在数学跨学科主题学习中，需要有以进度报告、学习日记等为主要表现形式的学习性评价，在嵌入的过程中推进学习；还需要有以任务清单、学习合约等为表现形式的学习式评价，在全程参与的自评和他评中学会评价；更需要有以档案袋、评价量规等为主要表现形式的学习的评价，在真实性的评定中评估学习水平。从评价量规的制定来看，既包括对作品的评价，又包括对能力的评价。不同的学习任务需要制订不同的学习量规，但无论是哪一种类型的评价量规，都必须指向对学科/跨学科概念的理解及学科/跨学科素养的提升，并在活动前就提供给学生，使学习实践有据可依。如“绿化”面积测量环节中，活动前与学生协商可从五个维度设计量规（见表5），包括围绕平面图形面积测量与计算的数学/跨学科概念、运算能力、数学表达等指向学科概念的维度，还包括团队合作、学习状态等指向跨学科素养的维度。学生在具体的学习实践中围绕这五个维度展开探究活动，在自省、互评中引发对概念的深度理解，有效促进核心素养的发展。

总之，数学跨学科主题学习需要基于概念的视角展开，学生在问题解决的过程中不断形成对数学/跨学科概念的深度理解；在对真实问题情境的探究中不断积累活动经验，感悟思想方法；在持續的学习实践中深入体会数学与其他学科、现实生活的联系，促进数学/跨学科素养的提升。

参考文献

[1] 埃里克森，兰宁.以概念为本的课程与教学：培养核心素养的绝佳实践[M].鲁效孔，译.上海：华东师范大学出版社，2018：128.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：42.

[3] 张鸿儒，王小莲.跨学科主题学习之主题选择的“五项原则”[J].中小学管理，2023（05）：17-19.

[4] 程龙.重申跨学科学习的学科立场[J].全球教育展望，2023，52（03）：25-34.

[5] 威金斯，麦克泰格.追求理解的教学设计[M].闫寒冰，宋雪莲，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2018：43.

[6] 唐磊.理解跨学科研究：从概念到进路[J].国外社会科学，2011（03）：89-98.

[7] 夏雪梅.以学习为中心的课堂观察[M].北京：教育科学出版社，2017：94.

[责任编辑：陈国庆]