SIR传染病模型在网络信息传播中的应用

杨以恒

关键词：SIR传染病模型；动力学模型；网络信息传播；传播效果；传播机理

中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1006-8228（2023）11-68-03

0 引言

网络在人们的生活中扮演着越来越重要的角色。网络信息传播也越来越受到学者的重视并得到广泛的研究。目前，在对网络信息传播的研究中，有很大一部分是基于网络学的理论。如霍英等人[1]和崔增乐等人[2]分别使用Ucinet 和区块链技术进行分析，一定程度解决了网络信息传播的预测问题，但是在应用时受到节点数量的限制，难以应用到规模比较庞大的网络通信模型中；张凌等人[3]从情感角度出发，给出了不同情感类型的网络信息在传播时的不同特性，但是由于网络信息传播的复杂性，难以完全解释网络信息传播全部影响因素；范伟等人[4-5]利用卷积神经网络和随机森林等方法对网络信息传播进行研究，在用户信息转发和信息传播预测等方面得出了准确的结果，但是由于神经网络的黑箱性质，未能对网络信息传播的机理给出解释；方劲皓等人[6-9]从动力学角度出发，以SIR 等传染病模型为基础进行研究，解释了网络信息传播的机理，但是没有考虑到热度对于“传染因子”的影响，从而失去了一部分准确性。

由于网络信息传播的过程具有三个特点：①以计算机网络为载体，通过人与人之间进行网络上的接触进行传播；②人们对网络信息的兴趣会逐渐减小直到消失，当再次遇到相同的网络信息时不再产生兴趣；③热度更高的网络信息更容易被人们传播。因此网络信息传播过程与传染病传播的具有很高的相似性。

从传播方式来看，传染病的传播需要通过人与人之间物理意义上的接触来实现；而网络信息的传播也同样需要人与人之间在网络上的接触来实现。从感染的形式来看，传染病的感染者是指携带病毒的人群；网络信息感染者可以理解为对某一网络信息产生了兴趣。从感染人群的移出角度考虑，疾病传染时的移除者是康复者与死亡者之和；网络信息传播的移出者是指对网络信息的兴趣消失。并且网络信息传播和传染病传播的移出者都几乎不可能第二次成为感染者（传染病的移出者已死亡或产生抗体，大部分人群不会对同一信息产生二次兴趣）。

基于以上考虑，将SIR 传染病模型应用到网络信息传播的领域是完全可行的。本文在SIR 传染病模型基础上考虑了热度与“传染因子”之间的关系，得到了改进的网络信息传播模型。最后，本文通过实例进行验证，证明了改进模型的有效性。

1 SIR 传染病模型

1.1 模型假设

在本模型中，将所有人分为三类：易感者S（Susceptible），感染者I（Infected）和恢复者R（Removed）（恢复者中包括了死亡者）。显然SIR 三者的数量是随着时间变化而变化的。因此，可以建立S（t）、I（t）、R（t）三个关于时间的函数。

模型假设：⑴ 单位时间内，被感染人数与当前时刻易感者的数量正相关，与当前时刻感染者的数量也正相关。

⑵ 单位时间内，恢复的人数与当前时刻的感染者数量正相关，且恢复者不会二次感染。

1.2 模型原理

根据上述条件可以建立微分方程模型：

其中，α 称为“感染因子”，α 的值越大，说明该病毒的传播性越强；β 为“移出率”，β 的值为该传染病的死亡率与康复率之和。

在SIR 模型中，取S（0）=980，I（0）=20，α=0.001，β=0.01 时的各个人群的数量变化趋势如图1 所示。

当人群中最开始出现感染者时，由于易感者人群数量庞大，因此感染者人数会快速上升。随着易感人群人数的减少和移除人数增加，会导致感染者人数的增速逐渐减缓，直到同一时间被感染的人数与移出的人数相等，此时感染者的人数达到最大值。之后感染者人数开始减少，并且随着感染者的减少，减少的速度也逐渐放缓，直到感染者减少到零，此传染病的一轮传播结束。

2 基于SIR 的网络信息传播

想要对网络信息是如何传播的进行分析，首先要对网络信息传播过程的特性进行分析。我们发现，在SIR 模型中，网络信息传播的第三个特点没得到很好的体现，因此我们对原有模型加以修正。从特性出发，可以看出在网络信息传播模型中，感染因子α 的值应该是与感染者的数量正相关的。因此，我们将原有方程修正为：

下面以wordle 网站（https：//wordle-game.co/）2022年的数据（来自2023 年国际数学建模比赛C 题）为案例进行实例分析。该网站提供了358 条数据（2022 年1 月7 日到2022 年12 月31 日）。表1 为该数据集中的前五条，其中参与人数是指在对应日期在该网站提交结果的人数。

取S（0）=5 ×10⁶，I（0）=80630（为参考数据第一天的值），α₀=1.2 ×10^-6，β=1.4 ×10^-7时，可以得出模型结果如图2 所示。

改进后的SIR 模型生成的预测数据与真实数据的误差均值为13.37%，特别是在网络信息传播的后期（从第160 天以后直至结束），这一误差降低到5.46%，较为精准地对网络信息的感染人数进行了预测。

3 结束语

本文针对网络信息是如何进行传播的这一问题，提出了采用SIR 传染病动力学模型进行分析研究的方法，并且根据网络信息传播的特性对SIR 模型进行了一定的改良。得到的改进后的SIR 模型可以较好的预测网络信息的传播情况。该模型可以在谣言舆情的控制、网络通信系統信道建设等方向发挥作用。下一步，作者准备考虑不同类型的网络信息是如何对“感染因子”产生影响的，从而得出更加准确地对网络信息的传播做出预测。