基于普氏理论的圆形隧道竖向土压力计算方法

邱岳峰

(中国电建集团中南勘测设计研究院有限公司,湖南 长沙 410014)

20世纪80年代以来,伴随着我国城市化进程的持续推进和交通需求的日益增长,以公路隧道、铁路隧道为典型代表的中国隧道及地下工程事业迎来了蓬勃发展。历经40余年的快速发展,现如今,我国已是世界上隧道及地下工程数量最多、发展速度最快、工程地质环境最复杂、断面及结构形式最繁多的国家。据统计,截至2022年底,我国隧道总里程已近5万千米[1],领先于世界其他国家。

隧道及地下工程破土开挖后,围岩内部将形成一个自由变形的空间,围岩朝着该空间位移,引起围岩应力重分布和变形,并对隧道支护结构产生作用。由此可见,隧道围岩压力与变形计算是支护结构进行合理设计和隧道安全施工的前提。长期以来,隧道围岩压力与变形计算受到国内外研究人员的广泛关注[2-4]。当前,隧道竖向土压力的理论计算方法主要包括3种,即全土柱理论[5]、普氏压力拱理论[6]以及太沙基松弛土压力理论[7]。其中,全土柱理论并没有考虑到土体的抗剪强度,其假定竖向土压力为全部覆土重量;后面两种土压力计算理论则考虑了土体的抗剪强度和潜在滑移面,更符合隧道工程实际特点。仅从计算公式上来看,普氏压力拱理论较太沙基松弛土压力理论要简洁得多,应用起来较为方便,其自1907年由俄罗斯学者普罗托奇雅阔诺夫首次提出以来,被诸多学者加以应用和改进[8-10]。

尽管普氏压力拱理论相关研究成果颇丰,但值得注意的是,普氏压力拱理论最初是普罗托奇雅阔诺夫在研究矿山巷道支护荷载时提出的,而矿山巷道的断面形式多为马蹄形,对于圆形隧道,该如何应用普氏压力拱理论计算竖向土压力,当前鲜有人讨论。为此,本文基于普氏压力拱理论,对松散地层隧道竖向土压力进行了分析论证,在此基础上,结合圆形隧道开挖后土体潜在滑裂面的实际情况,对经典普氏理论进行了合理的改进,推导并建立了适用于圆形隧道条件下的隧道竖向土压力的计算公式,并通过一个具体的算例,与经典普氏压力拱理论计算结果进行对比分析。

1 经典普氏压力拱理论

俄罗斯学者普罗托奇雅阔诺夫于1907年提出围岩分类,并给出了松散地层隧道围岩压力的计算方法,即普氏压力拱理论,又称普氏平衡拱理论。该理论认为,地下硐室开挖后,由于围岩应力的重新分布,在硐室上方将形成一个抛物线形状的压力拱,也即平衡拱;与此同时,在硐室两侧壁处,沿与侧壁夹角为45°-φ/2的方向上,也即与水平方向夹角为45°+φ/2的方向上,将形成两个滑动面;该平衡拱与两滑动面所形成的范围本质上就是围岩可能发生破坏的范围,该范围内围岩的重量即硐室顶部所受到的围岩压力,如图1所示。

普罗托奇雅阔诺夫通过分析平衡拱拱轴线的静力平衡以及拱脚处的力矩平衡,推导出硐室顶部围岩竖向压力的表达式:

(1)

其中,σv为硐室顶部竖向压力;γ为围岩容重;h为平衡拱高度;B为平衡拱半跨度;b为硐室半跨度;h0为硐室高度;φ为围岩计算摩擦角;f为普氏围岩坚固系数(类似摩擦系数),可按式(2)计算:

(2)

其中,Rc为围岩单轴饱和抗压强度;φ为围岩内摩擦角;c为围岩黏聚力。

由式(1)和式(2)不难看出,采用普氏压力拱理论计算竖向压力,关键是要先确定平衡拱宽度2B。

2 普氏压力拱理论的分析与改进

2.1 圆形隧道平衡拱半跨度B计算分析

根据前面的叙述可知,普氏压力拱理论的基本假定之一是硐室开挖后,硐室侧壁两侧滑动面与硐室侧壁(即竖直方向)的夹角为45°-φ/2。由于硐室断面形状为马蹄形,侧壁竖直,从图1可以直观地看出,侧壁两侧滑动面从平衡拱拱脚处延伸至侧壁底部。

对于圆形隧道而言,其开挖断面为圆形,假设其半径为R,若直接采用普氏理论计算隧道顶部竖向土压力,即根据图1,当地下硐室断面形状为圆形时,可取硐室半跨度b=R,硐室高度h0=2R,则根据式(1)可求得圆形隧道平衡拱的半跨度B为:

(3)

本文在研究分析普氏压力拱理论时,通过分析圆形隧道平衡拱的范围,发现采用式(3)直接计算圆形隧道的平衡拱半跨度B时,将出现较为明显的误差。这是因为,对于圆形隧道而言,由于其侧壁并非竖直,当隧道外围岩处于极限平衡状态时,两个滑动面应产生于与侧壁相切并与水平方向呈45°+φ/2夹角的两个方向上,如图2所示。此时,侧壁两侧滑动面应由平衡拱拱脚处延伸至与隧道侧壁相切的位置,而不是隧道底部。圆形隧道的这种破坏模式得到很多学者的认可,相关文献[11-12]有所论述。

此时,根据图2所示几何关系,可确定圆形隧道平衡拱半跨度B的计算表达式为:

(4)

2.2 圆形隧道平衡拱高度h计算分析

在分析平衡拱受力时,普罗托奇雅阔诺夫将平衡拱在拱脚处的受力分解为一个水平推力F′和一个竖向反力N′,如图3所示,考虑到平衡拱的对称性,此处仅示意一半。

图3中,q为由拱轴线上部围岩自重产生的均布荷载;T为平衡拱拱顶截面的水平推力。由于拱轴线静力平衡,则图3中拱轴线所受水平方向、竖直方向上的合力均为0,即:

(5)

同时,由于拱轴线不能承受拉力,因此在拱轴线上任意一点,外力的合力矩应为零,取拱脚处作为分析点,则存在:

(6)

在分析F′和N′时,普罗托奇雅阔诺夫先将F′取为F′=f×N′,后为了安全起见,又将F′取为F′=f×N′/2,最终求得平衡拱的高度计算表达式为:h=B/f。

本文在分析平衡拱受力时,结合滑动面的实际位置,将平衡拱拱脚处的受力分解为一个沿滑动面的摩擦力F和一个垂直于滑动面的支撑力N,如图4所示。

这样分解的优点是结合了滑动面,从力学意义上来讲更加清晰直观。这是因为在拱脚处的围岩微分单元体,因处于极限平衡状态,将产生沿滑动面方向向下滑动的趋势。此时滑动面上的支撑力和摩擦力之间的关系更易清晰表达。

类似上述分析,根据图4,通过分析平衡拱拱轴线静力平衡条件可知:

T-Fsinα-Ncosα=0

(7)

qB+Fcosα-Nsinα=0

(8)

其中,α为滑动面与水平方向的夹角,即α=45°+φ/2。

同样,平衡拱不能承受拉力,则由外力在拱脚处的合力矩为零可知:

(9)

将式(7)除以式(8)可得:

(10)

将式(9)代入式(10)中可得:

(11)

1)对于无黏性土,当抗剪强度充分发挥时,根据摩尔库仑强度准则可知,作用于滑动面上的支撑力N和摩擦力F之间存在如下关系:

F=N×tanφ

(12)

将式(12)代入到式(11)中可得:

(13)

结合式(4),式(13),可求得平衡拱高度h的表达式为:

(14)

依据α=45°+φ/2可将式(14)进一步化简为:

(15)

其中,θ=π/8+φ/4。

由此求得了无黏性土圆形隧道平衡拱高度h的计算表达式。

2)对于黏性土或岩石,可借鉴式(2)中关于f的计算公式,并取f=F/N,联立式(4)以及式(13)可求得平衡拱高度h的表达式为:

(16)

其中,β为与围岩坚固系数f有关的量,且满足tanβ=f,f仍可按式(2)进行计算。

至此,基于以上分析论述,对于无黏性土、黏性土或岩石,采用本文所提出改进的普氏压力拱理论,可求得圆形隧道拱顶竖向压力的计算表达式为:

(17)

其中,σv为圆形隧道拱顶竖向压力;γ为围岩容重;R为圆形隧道半径;φ为围岩摩擦角;α,θ均为中间角度计算参数,并可按下式计算:

(18)

3 算例分析

在论文前述部分,本文在经典普氏压力拱理论的基础上,通过分析圆形隧道开挖后围岩内滑移面的实际情况,对无黏性土、黏性土或岩石,分别建立了隧道拱顶竖向压力的计算表达式。从表达式可以看出,对于无黏性土圆形隧道,隧道拱顶竖向压力仅与隧道半径和围岩内摩擦角相关,形式较为简单。这里通过一个具体的算例,对比分析无黏性土圆形隧道条件下,分别采用经典普氏压力拱理论以及本文改进的普氏压力拱理论所得计算结果之差异。对于无黏性土圆形隧道,根据本文前述分析,分别直接采用经典普氏压力拱理论以及本文改进的计算方法,可求得相应隧道拱顶竖向土压力的计算表达式如下:

(19)

式中各计算参数的物理意义同前。

不失一般性,在式(19)中,取γ=20 kN/m3,R=5 m,可作出两种计算方法下,隧道拱顶竖向土压力与土体内摩擦角的关系曲线,如图5所示。

从图5中可以看出,两种计算方法下,隧道拱顶竖向土压力均随着土体内摩擦角的增大而减小,这是因为随着内摩擦角的增大,隧道两侧滑移面与水平线的交角增大,滑移面逐渐向竖直方向偏转,由此隧道两侧土体发生破坏的范围减小,相应的平衡拱的宽度和高度均减小。在图1,图2中,逐渐增加土体内摩擦角,并重新绘制平衡拱示意图,也能直观地发现这一规律。

相较于直接采用经典普氏压力拱理论,本文所提计算方法中竖向土压力与内摩擦角的关系曲线更为平缓。取φ=0°,采用本文所提计算方法,竖向土压力约为120 kPa,而经典普氏压力拱理论则无法计算,竖向土压力此时趋于+∞;取φ=20°,采用本文计算方法,所得竖向土压力约为67 kPa,相对应平衡拱的高度为3.35 m,采用经典普氏压力拱理论所得竖向土压力约为660 kPa,相对应平衡拱的高度为32 m。可以发现,二者计算所得结果相差近10倍,考虑到隧道半径仅为5 m,显然本文计算结果更为合理、可靠。进一步分析图5可以发现,随着土体内摩擦角的增大,两种计算方法所得竖向土压力之间的差值逐渐减小,当内摩擦角取极限值90°时,二者计算结果已基本一致。

4 结论

隧道拱顶竖向压力的计算是隧道支护结构设计的前提和依据,本文以普氏压力拱理论为基础,结合圆形隧道开挖后洞身两侧滑移面的实际情况,分析了圆形隧道开挖后平衡拱的范围及受力情况,推导了圆形隧道条件下平衡拱跨度和高度的解析表达式,并由此分别建立了无黏性土、黏性土或岩石圆形隧道拱顶竖向压力的计算公式。算例分析表明,相较于直接采用经典普氏压力拱理论,采用本文所提改进的计算方法,计算圆形隧道拱顶竖向土压力所得结果更为合理。