具有高阶色散和立方-五次非线性项的薛定谔方程的孤立波的保持性

高晓涵 李 威

(北京化工大学 数理学院, 北京 100029)

引 言

光纤信号传输在日常生活中有着广泛的应用,其传输特性主要利用非线性薛定谔方程(NLSE)[1-3]进行研究。 由于非线性薛定谔方程的光孤立波解能够长距离传播而不会衰减和改变形状,因此光孤立波的存在性一直是研究的热点问题。

Shao 等[4]比较了基于拆分型傅里叶技术的各种方案来求解NLSE。 Asvial 等[5]提出了一种新的方法来检测和分析光纤信号脉冲内发生的脉冲拓宽、振荡和光谱演化的现象。 Palacios 等[6]对于光纤信号的脉冲宽度低于10 fs 的短波脉冲,给出了高阶色散和立方-五次非线性项的NLSE

式中,E(z,t)是电场的慢变包络,β2是群速度色散的参数,β3和β4分别是三阶和四阶色散参数,γ1和γ2分别是三次和五次非线性项系数。 之后学者们通过雅可比椭圆函数法、改进的Fan-子方程法、Exp函数法、首次积分法等各种方法得到了该方程的精确解[7-9]。

事实上,信号传播不可能存在于理想环境中,光纤信号在实际传播过程中多少会受到外部影响。 在扰动干预时,很多非线性问题中可观测到混沌现象。Saha[10]研究了外部周期扰动Mew-Burgers 方程的分岔行为。 Li[11]研究了准周期扰动下的Sin-Gordon 方程,发现了同宿轨破裂产生的混沌。 Zhao等[12]利用Melnikov 方法和数值模拟研究了周期扰动和阻尼扰动下的NLSE。

周期扰动和阻尼扰动是现实中常见的两种干扰模式,光孤子在传播过程中势必也会受到此类模式干扰,因此光孤子在外部干扰下进行传播是否发生混沌现象是一个具有研究意义的课题。

受周期扰动和阻尼扰动的高阶色散和立方-五次非线性项的NLSE 为

式中,f(z,t) =α1cosμ(v0z-vt),参数α1,μ,α2＞0 分别为周期扰动幅度及频率扰动和阻尼扰动幅度,本文将分析方程(2)混沌发生的可能性,并给出孤立波的保持区域。

1 模型简化

假设方程(1)的行波解为

2 未扰动系统与扰动系统

2.1 未扰动系统

当ε=0 时,方程(6)为

方程(7)具有Hamilton 函数

H(ϕ,y) =y2-c2ϕ2-c4ϕ4-c6ϕ6=h

不妨设c2＞0,根据c4、c6、Δ=c24 -3c2c6的值将平面(c4,c6)分为4 个区域(图1(a)),对应的平衡点类型如下。

图1 (c4,c6)参数平面,区域Ⅲ所对应相图和|E|的三维波形图Fig.1 The parameter plane of (c4,c6), the phase portrait for region Ⅲand the three-dimensional waveform of |E|

区域Ⅰc4＞0,c6＞0 或c24 ＜3c2c6且c4＜0,平衡点及其类型:O(0,0)鞍点。

左边的轨线为

其中ξ∈( -∞,+∞),对应于方程(1)的一条孤立波解,图1(b)和(c)是相应的相图和波形图。

2.2 扰动系统

当ε≠0 时,选用Melnikov 方法测量Poincaré 截面上同宿轨的稳定流形与不稳定流形之间的距离。将方程(6)简写为

由Melnikov 理论可知,若M(ξ0)存在不依赖于ξ的简单零点,即存在ξ0使得M(ξ0) =0 且M′(ξ0)≠0,则稳定流形和不稳定流形会横截相交,这表示系统会产生Smale 马蹄意义下的混沌。

定理 如果α1,α2满足

方程(6)可能产生Smale 马蹄意义下的混沌。

该定理不仅给出了扰动系统预测混沌的参数关系式(14),而且通过设置关系式(14)的互补区域,即|α1/α2|≤|A/B|,来保持孤立波的持久稳定性。

3 数值仿真

本文选取参数v=v0=ω0=α1=α2=μ=1,以二阶色散参数β2与频率ω之间的关联性及三次非线性项参数γ1与频率ω之间的关联性为例,可类似讨论其他参数如三阶、四阶色散项及五次非线性项与频率ω之间的关系。

3.1 二阶色散参数β2 与频率ω 之间的关联性

选取β3=β4=γ1=γ2=1,ε=0.5,根据条件(14)给出(ω,β2)的平面混沌阈值图,如图2(a)所示,其中红色区域满足条件(14),蓝色是其互补区域。 选择ω= 0.98,由定理可知β2选择范围在(1.7,16.1)时,平面混沌阈值图的红色区域系统可能处于混沌状态。 根据系统随着参数β2变化的倍周期分岔图(图2(b))和最大Lyapunov 指数图(图2(c)),可知该系统经历了周期加倍分岔到混沌后又最终回归稳定状态,并给出了系统在混沌区域的Poincaré 截面图(图2(d))以及对应的三维波形图(图2(e)、(f)),其中选取β2=2.5。

图2 (ω,β2)的混沌阈值,方程(6)的周期倍分岔, 最大Lyapunov 指数, Poincaré 截面图及方程(2)的三维波形图Fig.2 Chaotic threshold of (ω,β2), period doubling bifurcation, maximum Lyapunov exponent, Poincaré section of equation (6) and the three-dimensional waveform of equation (2)

3.2 三次非线性项参数γ1 与频率ω 之间的关联性

选取β2=β3=β4=γ2=1,ω=1.2,根据条件(14)给出(ω,γ1)的平面混沌阈值图,如图3(a)所示,其中红色区域满足条件(14),蓝色是其互补区域。 选择ω=1.2,由定理可知当γ1选择范围在( -0.7,1.5)时在平面混沌阈值图的红色区域系统可能处于混沌状态。 根据系统随着参数γ1变化的倍周期分岔图(图3(b))和最大Lyapunov 指数图(图3(c)),可知该系统经历了周期加倍分岔进入混沌后回归稳定状态,之后又经历周期加倍分岔迅速进入混沌最终回归稳定状态,并给出了系统在混沌区域的Poincaré 截面图(图3(d))以及对应的三维波形图(图3(e)、(f)),其中选取γ1=1。

图3 (ω,γ1)的混沌阈值, 方程(6)的周期倍分岔, 最大Lyapunov 指数, Poincaré 截面图和方程(2)的三维波形图Fig.3 Chaotic threshold of (ω,γ1), period doubling bifurcation, maximum Lyapunov exponent, Poincaré section of equation (6)and the three-dimensional waveform of equation (2)

通过图2 和图3 的混沌阈值图、分岔图和最大Lyapunov 指数图可以发现,系统在外界周期扰动和阻尼扰动下很容易趋向于混沌状态。 事实上,在光纤通讯系统的传输中,方程各参数都会直接影响其传输特性。 根据Melnikov 理论得到了一种保持孤立波的参数区域,即系统的参数满足|α1/α2|≤|A/B|,可使系统避开混沌区域,光纤信号得以稳定传输。

4 结束语

本文对周期扰动和阻尼扰动下的NLSE 进行动态分析,观测到了该系统产生的复杂而有趣的动力学行为。 首先对未扰动系统进行了定性分析,给出了平衡点分布图,然后针对于孤立波的存在区域Ⅲ进行了重点研究,利用Melnikov 方法分析了扰动后同宿轨的稳定流形和不稳定流形的距离,给出了系统可能发生混沌的参数条件。 最后通过数值模拟得到了参数分岔图、最大Lyapunov 指数图、Poincaré 截面图和三维波形图,进一步验证了系统的混沌行为,从而得到了孤立波在长距离传播中保持稳定的参数区域。

未来我们将尝试利用高阶Melnikov 理论分析扰动高阶非线性薛定谔方程,进一步探讨孤立波在扰动影响下的保持性。