对一道高考题的研究与教学启示

仇盼盼　张新全

摘要：通过对2023年全国高考数学新课标Ⅱ卷第19题的研究，分析其考查特点，探索它的解题思路，最后给出试题的解法，同时提出该题对高中数学概率与统计的教学启示，及如何使数学核心素养落地生根.

关键词：高考数学；概率与统计；数学核心素养《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订版）》指出：命题应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系.数学学科核心素养测试评价的第一个维度就是反映数学学科核心素养的四个方面，它们分别为情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思.2023年全国高考数学新课标Ⅱ卷第19题是一道优质考题，全面考查了统计与概率的主干知识、数学阅读、概念理解，以及逻辑推理与数学运算等核心素养和能力.

1真题再现2023年全国高考数学新课标Ⅱ卷第19题如下：

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1） 当漏诊率p（c）=0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；

（2） 设函数f（c）=p（c）+q（c）.当c∈95，105时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间 95，105的最小值.

2试题分析本题以医学上的漏诊率和误诊率为背景创设问题情境，考查了频率分布直方图和概率的计算，并将求函数的解析式及其最值问题有机融合，试题具有一定的难度和综合性.本题的绝对难度并不大，但考生解答情况却很不理想.据考后调查，很多考生在阅读题目后便放弃了作答此题，有的省份空白卷居然多达近70%.对于使用此卷的考生，本题到底难在哪里？我们认为，本题定义了两个新概念——漏诊率和误诊率，并且给出了两个频率分布直方图，这为考生在理解题意上造成较大困难.同时解答时需要考生在图中标出点c的位置，并分别依据两个频率分布直方图来计算漏诊率和误诊率，导致许多考生不知道把点放在哪里，或不知道用哪个图计算漏诊率或误诊率.总之，本题所考查的知识是考生熟悉且常规的，但问题情境较为新颖，对考生的阅读理解能力和逻辑推理能力要求较高，能够较好地考查数学学科核心素养，值得我们深入研究与思考.

本题共2问，但实际包含4个数学问题，具体分析如下：

第（1）问要求临界值c和误诊率q（c）.首先要明确参数c和误诊率q（c）的意义，临界值c表示判定为阳性或阴性的检测标准，误诊率q（c）表示将未患病者判定为阳性的概率.其次，求临界值c要求学生能从频率分布直方图中获取有用的数据信息，会用样本频率分布直方图估计百分位数.求误诊率q（c）要求学生能从题目阅读中理解误诊率的含义，并从频率直方图中获取有用的数据计算出结果.在图中正确标注点c的位置并用相应的面积表示概率是解答问题的关键所在.

3试题解法（1） 当漏诊率p（c）=0.5%时，求临界值c.

评析：观察法是最快速直接的方法，也是命题人设置这一问的首要意图，考查了学生读题识图的方法和能力.思维灵活性和观察力较强的学生会运用观察法直接解答，但需要强调前提条件，此时的临界值是漏诊率p（c）=0.5%时的临界值，不说明前提条件的解答是不正确的，这要求学生在解决数学问题时必须严谨、准确，这是数学核心素养的重要表现.计算法是解决此问题的另一种方法，一题多解体现了不同层次的学生解决问题的能力和效率.通过计算来解决此题，需要学生读题后，从题目中明确需要解决的问题和相关数据，考查了学生的推理能力和计算能力，这也是数学核心素养的又一体现.当漏诊率p（c）=0.5%时，反推得出临界值c在区间［95，100］内，由此计算得出临界值c .

（2） 求误诊率q（c）.

评析：误诊率是本题的另一新概念，应与漏诊率对比理解，并找到与之对应的频率分布直方图进行解答.方法1由临界值可知，误诊率q（c）表示图中［97.5，100］和（100，105］的矩形面积和，从概率所表示的幾何意义出发解题，思维量比较高.此问与“已知漏诊率，求临界值”的设问互补，更加全面地考查学生数学思维能力.方法2是通过分别表示出［97.5，100］和（100，105］所对应的概率，再求和.方法2是大多数学生都能想到的解题方法，也是命题人设置此问的巧妙所在.当不能立刻想到解决问题的方法时，就要冷静思考，抽丝剥茧，借助已有的知识经验分析现有问题，探索问题解决的突破口，这样问题也就迎刃而解.

（3） 求f（c）的解析式.

评析：本问的设置考查学生灵活应用所学知识来解决数学问题的能力，在理解题意的基础上，找到相应的函数关系，问题就容易解决了，此问难在函数关系式是分段的.求分段函数解析式，学生需要明确分段区间和解析式的含义.f（c） 由p（c） 和q（c） 两部分构成，分开计算更清晰明了，也方便检查，及时发现错误并改正，且此题中的数据多为小数，计算时需要小心谨慎.数学运算能力是数学核心素养的重要表现，此问与前面的问题看似没有关联，但f（c）在实际问题中有着重要的意义，此问着重考查学生的数学抽象与数学运算核心素养.

（4） 求f（c）的最小值.

评析：此问的设置与上一问密切相关，在求出函数关系式的前提下，自然会想到研究它的性质，求其最值就水到渠成.分段函数的最值要分段求，进而确定整个函数的最值.在解答时有的学生未说明各段区间上函数的单调性，而把某一段函数的单调性看作整段函数的单调性，从而导致解答错误.函数最值的解法并不唯一，设置此问体现了数学知识之间的关联性，突出了数学问题与实际生活的密切相关性，同时渗透了对学生数学核心素养的考查.

4教学启示4.1注重统计过程的考查首先是收集数据，即根据现实问题选择适当的抽样方法获得数据.其次是整理数据，即用适当的图表表示数据，高中阶段需要掌握六种统计图表：频数分布表、频率分布直方图、条形图、茎叶图、散点图、列联表，本题考查的是频率分布直方图.再次是分析数据，用适当的统计量描述数据，高中阶段主要学习两类数字特征：集中趋势和离散程度.最后是统计推断，即根据数字特征和概率做统计推理.掌握并深刻理解以上基本概念是解决概率与统计问题的关键点，就如本题中参数c的含义、p（c）和q（c）所表示的概率以及频率分布直方图中蕴含的数学信息，在理解基本概念的基础上读题识图，将实际问题转化为数学问题，问题就能迎刃而解.

4.2渗透逻辑推理的培养逻辑推理是体现数学基本特征的思维品质与关键能力的学科核心素养之一，它不仅体现在数学结论的推理论证和几何图形的证明方面，还体现在有逻辑地思考问题，能够在复杂的情境中把握事物之间的关联，用合乎逻辑的数学语言分析和表达.就如本题中阴性与阳性所对应的标准，漏诊率与误诊率所对应哪个图表中的数据，还有解题时使用的数学逻辑语言，都体现了学生逻辑推理和数学思维的水平.

4.3重视数学运算的提升数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.概率与统计部分的计算涉及数据较多，且数据的形式多样，有小数、分数、百分数等多种形式，要重视学生深刻理解算理，合理选择算法，选择合适的数的形式和运算思路，要笔算精确结果，不能粗略估计或口算，最后要必要的检查.“推理是命根子，运算是童子功”，数学中许多问题都是靠算出来的.因此，教学中不能忽视数学运算，不能默认学生列出式子就会计算，正确的计算结果才是完全解决问题的标志.参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 楊会涛，胡志奇.如何提高数学阅读能力——以2019年高考数学理科全国Ⅰ卷概率统计解答题为例［J］.中学数学杂志，2020（5）：4447.

［3］ 任子朝，陈昂，赵轩. 加强数学阅读能力考查展现逻辑思维功底［J］.数学通报，2018，57（7）：813.

［4］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［5］ 鲁依玲，夏玉梅，宁连华.基于SOLO分类理论的高考数学试题分析—以2022年全国数学新高考Ⅰ卷为例［J］.数学教育学报，2023，32（3）：1823.