项目式学习在数学社团教学中的应用

万海兵

摘要：科学技术有效融入数学社团课程，对于培养学生逻辑思维、开阔视野、提高科技创新意识有重要作用.文章尝试以北斗卫星导航系统定位为教学素材，挖掘数学育人功能，提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.

关键词：项目式学习；数学社团；北斗卫星导航系统1“北斗卫星导航系统定位”项目缘起项目式学习是一种建构性的教与学方式，教师将学生的学习任务项目化，指导学生基于真实情境提出问题，并利用相关知识与信息资料开展研究、设计和实践操作，最终解决问题并展示和分享项目成果［1］.

社团是学校文化的有效载体，数学社团是学校社团的重要组成部分.数学社团活动的开展是为了激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生在日常生活中应用数学的意识，让学生在活动中感受数学的魅力，体会数学的价值.

北斗卫星导航系统是一个跨学科、跨行业的综合性高新技术，其定位功能与我们的生活联系紧密，基本原理包含高中数学的主干知识，体现了数学与其他学科的联系.

数学社团开展主题为“北斗卫星导航系统定位”的项目式学习，有利于激发学生学习数学的兴趣，增强学生的实验探究能力与创新实践能力.

2“北斗卫星导航系统定位”项目分析2.1学情分析本节课是一节数学社团活动课，授课对象是江苏省曲塘高级中学高二理科班的学生，他们具有较强的理性思维能力，对科学原理感兴趣.他们已经学习了高中数学中立体几何、高中物理学中人造地球卫星、初中地理学中地球与地球仪等相关知识，为本节课的教学奠定了良好的基础.

2.2项目目标分析（1） 通过学习小组展示课前研究成果，了解北斗卫星导航系统的基础知识；

（2） 通过探究测量卫星与终端距离的问题，理解北斗卫星导航系统的测距方式，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养；

（3） 通过探究多少颗卫星能够确定终端位置的问题，理解三球定位几何原理，进一步解释北斗一号系统双星定位，北斗二号、北斗三号系统四星定位的实质，提升学生的直观想象、逻辑推理素养；

（4） 通过探究用数学模型表征终端的位置的问题，从代数角度理解三球定位几何原理，进一步了解北斗一号系统与北斗二号、北斗三号系统如何算出终端的坐标，提升学生的数学运算、逻辑推理素养；

（5） 通过总结北斗卫星导航系统定位过程，理解有源定位与无源定位的概念.

3教学活动设计

3.1走进北斗卫星导航系统学习小组分别向大家展示关于北斗卫星导航系统的课前研究成果：研制背景、“三步走”发展战略及实施情况、基本组成、中国原子钟的发展，其他小组对研究成果进行评价.

设计意图：通过研究成果展示，学生对北斗卫星导航系统有初步的了解，为后面的学习奠定基础.

教师引导：卫星导航系统定位分三步进行：1. 测量卫星到终端的距离；2. 根据卫星到终端的距离确定终端所在的位置；3. 向用户及主管部门提供导航信息.今天我们就一起学习北斗卫星导航系统定位的全过程！

设计意图：明确研究路径，为具体研究提供整体框架.

设A为卫星控制中心，B_k为第k颗卫星（k=1，2，3，……），M为终端.

3.2探究测量卫星到终端的距离的原理问题1：如何测量卫星与终端的距离？

师生活动：学生独立思考后选代表回答.有初中的基础及生活经验，学生能够回答出要点.

设计意图：由距离测量引出时间测距，这也是导航的核心.

追问1：如何准确测量卫星到终端的传播时间？

师生活动：学生独立思考后讨论交流，以小组为单位发言，教师对学生的发言进行点评，最后师生共同总结：

（1） 精确的时钟去“量”时间［2］.学生结合物理学中测量的知识，类比长度测量有螺旋测微器，得出时间测量也需要精确的时钟的结论，老师进一步指出，高精度时间测量仪器就是同学们展示的卫星的心脏-原子钟；

（2） 卫星和终端在时间上同步［2］.学生回答出该要点比较困难，教师可以引入战斗打响之前指挥员对表的情境，在充分交流的基础上，师生共同归纳得出结论.

设计意图：引导学生回顾所学内容与生活经历，分析问题、解决问题，提升学生的逻辑推理、直观想象素养.

教師引导：北斗二号、北斗三号分别为第二代、第三代北斗系统，它们测量卫星与终端的距离的方式为：M接受B₁信号，并处理信号数据，通过时间差得到卫星到终端的距离B₁M，同理得到B₂M、B₃M……

追问2：在上述测距过程中，终端M发挥什么样的作用？

师生活动：学生自主完成，交流结论，教师点评.

设计意图：引导学生关注终端的作用，为无源定位的引入做铺垫.

教师引导：北斗一号是第一代北斗系统，它测量卫星与终端的距离的方式为：如图1，M经过B₁向A发出申请定位信号（虚线），A收到信号后发出测距信号，B₁响应向服务区用户广播，M收到信号经过B₁转发回A，A根据信号发出与接受的时间差，得到2（AB₁+B₁M），又AB₁是已知量，从而得到B₁M.

追问3：类比一颗卫星的情形，现有两颗卫星B₁、B₂，画出测量B₁M、B₂M的信号传输路径.

师生活动：学生进行小组讨论，再进行全班交流，教师在学生回答问题时与学生对话，师生共同总结，得到图2.

设计意图：该问题的设置是为北斗一号系统双星定位做铺垫.学生在讨论过程中会遇到新问题，教师在关键处进行引导，将复杂问题简单化，提升学生逻辑推理素养.

追问4：在上述测距过程中，终端M发挥什么样的作用？

师生活动：学生自主完成，交流结论.

设计意图：引导学生关注终端的作用，为有源定位的引入做铺垫.

3.3探究用卫星与终端的距离确定终端的位置教师引导：通过时间测距，同学们得到卫星与终端的距离，设B_kM=r_k.

问题1：一颗卫星B₁，能否确定终端M的位置？

师生活动：学生独立思考后回答：点M处于以B₁为球心，r₁为半径的球面上，不能确定点M的位置.

追问1：两颗卫星B1、B2，能否确定终端M的位置？

师生活动：学生独立思考后讨论交流，师生共同总结得出：点M位于以B₁为球心，r₁为半径的球面和以B₂为球心，r₂为半径的球面相交后产生的圆上（称为交线圆），所以不能确定点M的位置.

追问2：三颗卫星B₁、B₂、B₃，能否确定终端M的位置？

师生活动：学生独立思考后讨论交流，教师引导学生将三球面相交问题转化为交线圆与球面相交问题.教师用信息化工具进行演示，在此基础上引出三球交会几何原理：（1） 用户测量出自身到三颗卫星的距离；（2） 卫星的位置精确已知，通过电磁波发给用户；（3） 以卫星为球心，距离为半径画球面；（4） 三个球面相交得两个点，根据地理常识排除一个不合理点，即得用户位置［3］.

设计意图：通过提出问题和追问，学生经历三球交会几何原理的产生过程，构建了新的知识体系.教师用信息化工具进行演示，将抽象问题具体化，复杂问题简单化，较好地培养了学生的想象力和创造力.

教师引导：如图3，北斗一号系统是基于“双星定位”原理设计的，双星即两颗地球静止卫星.

图3问题2：根据三球交会几何原理，两颗卫星形成两个球面，那么还有一个球面在哪里？

师生活动：学生独立思考后讨论交流，总结得到地球表面就是一个隐藏的球面.

设计意图：揭示“双星定位”的本质，培养学生理性思维.

追问1：根据三球交会几何原理，两颗卫星形成两个球面与地表相交得到两个交点，那么如何根据地理常识排除一个不合理点，确定终端位置？

师生活动：学生思考后回答：两个点关于赤道面对称，北斗一号向中国提供服务，那么只要考虑北半球这个点即可.

设计意图：引导学生利用课堂所学知识思考问题、解决问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力.

追问2：如图4，交线圆与理论上的地表得到的位置与真实位置相距甚远，思考如何寻找真实的位置？

师生活动：学生独立思考后讨论交流，得出需要结合各地的地貌进行定位的结论.教师顺势提出“高程”的概念.我国各地建立了负责提供高程数据的标校站，将数据变成电子高程地图，提供一个以地心为球心、以球心至地球表面高度为半径的非均匀球面，交线圆与非均匀球面的交点即为终端所在位置.

设计意图：以现实问题为背景，鼓励学生大胆分析问题，提出解决方案，培养学生的逻辑推理能力与空间想象能力.

教师引导：北斗二号系统空间段由5颗静止轨道卫星、5颗倾斜地球同步轨道卫星、4颗中圆地球轨道卫星组成；北斗三号系统空间段由3颗地球静止轨道卫星、3颗倾斜地球同步轨道卫星和24颗中圆地球轨道卫星组成.

问题3：北斗二号、北斗三号系统，三颗卫星定位效果不理想，实际至少四颗卫星才能实现准确定位，试分析其中的原因.

师生活动：学生独立思考后讨论交流，师生共同总结：问题在于卫星与终端时间不同步.教师进一步指出，卫星上安装的是原子钟，而终端安装的是石英钟，精度比起原子钟就差很多，在定位前无法校正该时间差，这个存在误差的卫星与终端的距离成为伪距.考虑到这个时间差的存在，四颗卫星才能够确定终端的位置.

设计意图：在问题的引导下，学生梳理从测距到定位的每一个环节，查找问题的原因，體会需要四颗卫星才能定位的合理性.

追问1：北斗三号系统，全球范围定位精度实测优于4.4米，亚太地区性能更优.亚太大部分地区，每时可见12-16颗卫星，全球其他地区每时可见4-6颗卫星，请用数学知识分析蕴含的信息.

师生活动：学生独立思考后进行全班交流，老师在学生回答后再帮助其完善表达.

设计意图：学生从组合数的角度分析、解决问题，提升学生的数据分析素养.

3.4探究用数学模型表征终端的位置教师引导：终端的位置用三球交会几何原理确定，需要用代数模型进行表征，并发送给用户.

问题1：在空间直角坐标系中，已知卫星B_k（x_k， y_k， z_k），B_kM = r_k.设终端M（m，n，p），

（1） 如果仅有一颗卫星B₁，写出m，n，p所满足的等量关系；

（2） 如果有两颗卫星B₁，B₂，写出m，n，p所满足的等量关系；

（3） 如果有三颗卫星B₁，B₂，B₃，写出m，n，p所满足的等量关系.

师生活动：学生独立思考后选代表回答，学生运用空间中两点之间的距离公式，能够回答出要点，在此基础上老师分别指出：

（1） 在空间直角坐标系下，三组等量关系都有相应的几何意义.

（2） 三球交会几何原理从几何的角度确定终端位置，得到以下方程组

解出点M的坐标，从代数的角度表征终端的位置.

（3） 北斗一号系统，控制中心根据两个距离数据与电子高程地图数据，算出终端所在位置坐标，并通过卫星发送给终端，完成定位任务.

设计意图：问题层层递进，激活学生思维，有效突破学生理解障碍，提升学生的逻辑推理素养.

问题2：已知电磁波传播速度为c，钟差表示设备时间—标准时间.

设计意图：北斗二号、北斗三号系统通过四颗卫星确定终端的位置，从代数的角度建立等量关系，涉及五个钟差，四个伪距，添加（1）（2）两个任务，是为学生搭建一个脚手架，让学生的分析能力在最临近的发展区获得发展，有效突破难点，提升逻辑推理、数学运算、数学建模素养.

4数学社团教学中开展项目式学习的启示4.1精心选择社团教学的核心话题数学社团教学建立在学生的兴趣爱好之上，以学生感兴趣的话题为出发点，培养学生的逻辑思维能力.项目式学习是以真实的问题或任务作为学习的动力和导向，引领学生整合不同学科的知识和技能，解决复杂的问题或完成综合性的任务.在数学社团教学中开展项目式学习，不但能够激发学生的学习兴趣，还能让学生更好地理解和运用数学知识，继而落实核心素养，是一个特别有意义的想法.要想将这一想法落到实处，作为社团教学生发点的话题的选择是关键.本文的“北斗卫星导航系统定位”就是笔者精心挑选的一个既贴近学生的生活实际，又能使得学生充满兴趣而且乐意开展项目式学习的话题.

4.2充分保障开展项目式学习的时间以“北斗卫星导航系统定位”为核心话题展开的项目式学习，共有7个问题，10个追问.学生需要独立思考、表达观点、辩论和听取他人的意见、归纳总结、小组展示成果、互相评价.要想在这一系列过程中，充分落实对学生数学核心素养的培养，那么教师在构建项目式学习设计时，必须充分保障学生开展项目式学习的时间.只有以充裕的时间为保障，学生才能有更多的机会去深入学习，开展实践活动，培养综合解决问题的能力，社团活动的质量也才能够得到保证.

“北斗卫星导航系统定位”项目通过项目缘起、项目分析、教学活动设计以及开展项目式活动的启示四个步骤展开，为科学技术融入数学社团课堂提供了有效借鉴.科技改变着人们的生活，挖掘科技发展背后蕴含的数学原理，让先进的科学技术走进数学社团的课堂，使学生切实感受到数学的应用价值，是笔者对数学社团教学意义的思考，也是作为数学社团辅导老师的一个美好的愿景.参考文献：

［1］ 杨明全.核心素养时代的项目式学习：内涵重塑与价值重建［J］.课程·教材·教法，2021，41（2）：5763.

［2］ 北斗卫星导航系统.如何测量接收机到卫星的距离［EB/OL］.http：∥www.beidou.gov.cn/zy/kpyd/201710/t20171011_4568.html，20120105.

［3］ 北斗衛星导航系统.三球交会定位原理［EB/OL］.http：∥www.beidou.gov.cn/zy/kpyd/201710/t20171023_4789.html，20110923.