数学文化视角下任意角三角函数的教学研究

彭砚

摘要：对于三角函数概念的引入，旧教材和新教材的处理方式不同.本文分析了两种版本教材引入的优点和缺点，然后从数学文化的角度出发，根据三角学的发展过程对任意角的三角函数概念进行深入浅出的教学设计.

关键词：数学文化；三角函数；教学设计1三角学的兴起和发展 三角学起源于希腊.当时的数学家希帕霍斯为了描述天体的位置，把固定圆中圆心角所对的弦直接称为角的正弦，并制作了弦表.后来这个定义使用不方便，印度学者把圆心角所对的弦长的一半称为半角的正弦.［1］这个阶段被称为三角函数定义的几何阶段.

公元5世纪，印度数学家研究并发展了三角学，三角函数首次出现了比值形式.后来，德国数学家雷格蒙榙努斯发表了《论各种三角形》，标志着三角学从天文学中脱离出来，成为一个独立的研究领域.再后来，哥白尼的学生雷提库斯明确了锐角三角函数定义的比值形式.这个阶段被称为三角函数定义的代数阶段.

18世纪之后，瑞士数学家欧拉的“无穷小引论”中，首次引入了单位圆，用了三角函数线与半径的比值来定义三角函数，这是三角发展史上的一大进步，使得三角函数不再局限在解决三角形的问题中，反映了三角函数的变化规律.三角函数线实际上就是坐标，这是“单位圆定义法”的起源.这个阶段被称为三角函数定义的解析阶段.

2对新旧教材的处理方法的评析旧教材中首先回顾了初中学的锐角三角函数，在直角三角形中，用边长的比值定义.然后用“终边定义法”，仿照锐角三角函数的定义方法来定义任意角的三角函数.其优点是引出比较自然，缺点是学生会受原有知识经验的限制形成思维定势，很难避免边的比值的定义，以至于理解不了任意角的三角函数的概念.

新教材未提及初中的定义，直接用单位圆定义法引出三角函数的定义.优点是避开了边的比值的定义，以一个全新的定义出现，大大降低了错误率.缺点是比较突然，学生很容易理解坐标是角的函数，但为什么会是三角函数，学生心里是有疑惑的，毕竟他们初中已经学过正弦，余弦的符号.对于同一符号表示不同的内容，如果解释没有做到位，学生的心里是无法接受的，这会导致他们在解三角形时不敢用锐角三角函数的概念，无法处理边和角的关系.

事实上，初中的锐角三角函数的概念和高中的任意角的三角函数本质上是不同的，锐角三角函数是在直角三角形里定义的，目的是解决直角三角形里边和角的关系.而任意角的三角函数是刻画周而复始现象的一个重要的数学模型，与直角三角形的联系不大，不能简单地看成是锐角三角函数的延伸和推广.

3教学设计

本文从数学文化的角度出发，根据三角学的发展过程对任意角的三角函数的概念进行了深入浅出的教学设计.

教师：大家先看一个问题：小明去游乐场玩，在摩天轮上转了三圈.怎么描述每一时刻小明的位置.

设计意图：从生活中的例子出发，让学生带着问题去学习.

学生：坐标.

教师：怎么建立平面直角坐标系？

学生：以摩天轮的中心为坐标原点，以平行于水平线的直线为x轴建立平面直角坐标系.

教师：要计算每一点的坐标还是有点麻烦，还有其它的确定位置的量吗？

学生：（摇头）.

教師（板书）： 如图，假设摩天轮的半径为r，不失一般性，为了简化计算，不妨设r=1，假设小明的位置在点P，在摩天轮运动的过程中，大家从图里看到什么在变化？

学生：角度.

教师：具体来说，假设以x轴正半轴为始边，OP为终边的角为α，当α确定了，小明的位置也唯一确定了.现在大家动手计算一下：当α=π/6时，点P的坐标是什么？当α=π/2或α=2π/3时，点P的坐标又是什么？

课后反思：从知识发展的历史过程来进行教学，对学生理解知识的内涵是有一定帮助的.先从圆周运动引入，与历史的发展有一致性.概念教学必须要重视概念的生成，“轻定义重做题”只会培养学生的模仿能力，极大地影响了学生的理解能力.这样做可能短时期学生的成绩会提高，但时间一久学生就会忘记，不利于数学素养的提升［2］［3］.

数学文化在数学教育中的影响是很大的，教学中应适当地从数学文化的角度组织教学，但要有选择性的，而且要重新整合成适合学生认知水平的教学材料，切忌“拿来主义”.我们在教学过程中，应思考如何借助数学文化这个工具，使学生了解知识的来龙去脉，让学生感受到数学的魅力，激发学生的学习兴趣.参考文献：

［1］ 张芮歌.数学史融入三角函数的教学设计研究［D］.哈尔滨师范大学，2019.

［2］ 章建跃.为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数［J］.数学通报，2007（1）：1518.

［4］ 陈曦，张海玲，王尚志.HPM视角下“任意角三角函数的概念”教学研究［J］.首都师范大学学报（自然科学版），2014（6）：2327.

［5］ 侯新兰.HPM视角下数学文化在高中数学概念教学中的思考—以新人教A版的任意三角函数的概念教学为例［J］.数学大世界（下旬），2021（9）：56.