解析几何中轨迹问题的破解策略

■江苏省苏州外国语学校 陈建圣

解析几何中轨迹方程的求解一直是该知识模块中一个最基本的问题。在新教材、新课程、新高考的“三新”背景下,解析几何中轨迹问题的求解也呈现出一些新的变化与创新。解析几何中轨迹方程的求解是新高考中的一个基本考点,结合轨迹方程的破解策略,从不同方法与技巧入手,通过实例剖析新高考轨迹方程求解的一些创新与变化,引领并指导数学学习与复习备考。

1.直译法

直接通过题目条件加以直译,抓住破解的基本策略,即通过建系、设点、列式、代换、证明这五个步骤来构建关系与确定轨迹。

例1在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),平面内两点G,M同时满足以下三个条件:①G是△ABC三条边中线的交点;②M是△ABC的外心;③GM∥AB。

(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程;

(2)若点P(2,0)与(1)中轨迹上的点E,F三点共线,求|PE|·|PF|的取值范围。

解析：(1)设C(x,y)(y≠0),G(x0,y0),M(xM,yM)。因为M是△ABC的外心,所以M在线段AB的中垂线上,可得xM=0。因为GM∥AB,所以yM=y0。

(2)因为P,E,F三点共线,所以P,E,F三点所在直线斜率存在且不为0。

点评:此题借助动点C所对应的△ABC的相关几何特征,从更高的视角、间接条件并融合多个信息加以巧妙设置,难度中等,但信息量大,对同学们的基础知识与基本技能的要求更高,这也是新高考命题关注数学素养与能力方面的创新点之一。

2.定义法

根据题目条件确定动点的轨迹是某种已知曲线(如圆、椭圆、双曲线或抛物线),结合对应曲线的定义来探求对应动点的轨迹方程。

例2如图1,在一张纸上有一圆C:,折叠纸片使圆C上某一点M1恰好与点M重合,这样每次折叠都会留下一条折痕EF,设折痕EF与直线M1C的交点为T。

(1)求证:||TC|-|TM||为定值,并求出点T的轨迹Г的方程。

(2)已知点A(2,1),直线l交轨迹Г于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0。若,求△PAQ的面积。

(2)由(1)知点A(2,1)在双曲线Г的右支上,因为直线AP,AQ的斜率之和为0,不妨设kAP＞0,则kAQ＜0。

点评:此题巧妙地设置“||TC|-|TM||为定值”的证明,这也是问题的切入点,合理设置“台阶”指引同学们思考并加以探究,并有效结合圆锥曲线的定义,利用定义法来确定对应的轨迹问题,从而有效降低难度,这也是新高考在命制试题时关注试题的梯度性与可操作性的一个重要体现。

3.代入法(或相关点法)

利用动点P(x,y)依赖于另一动点Q(a,b)(该动点在某已知曲线上)的变化而变化,进而通过构建参数之间的关系,将参数a、b代入已知曲线的方程而得到所求动点的轨迹方程。

例3已知直线x-2y+1=0 与圆C:x2+y2-4x+2y-a=0交于A,B两点,CA⊥CB。

(1)求实数a的值;

(2)若点P在圆C上运动,O为坐标原点,动点M满足,求动点M的轨迹方程。

点评:此题借助平面向量这一基本数学工具,构建动点与相关点之间的坐标关系,为轨迹的确定与方程的求解构建联系。此类问题经常通过线段长度的比较关系来设置,利用向量知识的引入或向量法的应用,这是命题人关注试题的交汇性与应用性的一种手段。

4.交轨法

当问题涉及两动曲线的交点的轨迹问题时,往往通过解方程组的方法确定交点(含参数)的坐标,借助消参数求得对应的轨迹方程。交轨法往往与参数法综合起来应用。

例4已知抛物线C:x2=4y,过其焦点F的直线与C相交于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线,相交于点P。

(1)求点P的轨迹方程;

(2)若PA,PB与x轴分别交于Q,R两点,令△PAB的面积为S1,四边形PRFQ的面积为S2,的最小值。

解析：(1)抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),设。

设直线AB的方程为y=kx+1,与抛物线的方程联立,消去参数y并整理可得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4。

点评:此题其实是抛物线方程的一个“二级结论”:过抛物线的焦点弦的两端点的切线方程的交点在抛物线的准线上,是一个定值问题。涉及圆锥曲线的一些定值(定点、定直线、定曲线等)问题,这也是新高考在命制试题时创新设置的基本类型之一,以“二级结论”的形式来考查基础知识与基本能力等。

在“三新”(新教材、新课程、新高考)背景下,进一步落实“双减”政策与新课改理念,积极贯彻《总体方案》要求,解析几何中轨迹问题的求解成为该知识模块中落实“四基”的常见方式,探究基础,挖掘本质,尝试创新,着力能力,进而坚持开放创新与核心素养导向,更加注重数学的创新意识与创新应用。