巧用动量定理解决电磁场中粒子复杂运动的问题

王汉权

(江苏省锡山高级中学,江苏 无锡 214174)

在处理电磁场中粒子运动时,学生一般都会采用描绘轨迹、寻求几何关系或利用洛伦兹力不做功的特点结合动能定理解题,但有时会遇到粒子在若干电场、磁场交替的组合场或叠加场的物理情境,运动情况非常复杂,轨迹也很难直观去描绘,动能定理有时也会相形见绌.这时候,如果注意到粒子两个方向速度变化引起的洛伦兹力的冲量Ix=∑Bvyq·Δt=∑BqΔy和Iy=∑Bvxq·Δt=∑BqΔx,再结合粒子运动过程始末状态的动量变化,就可以利用动量定理轻松突破因轨迹难描绘、过程难分析等解题瓶颈,从空间和时间两个维度上完美解决粒子复杂运动的问题.

1 典型案例研究

例1在如图1所示的xOy空间中有两段连续的磁感应强度分别为B1和B2的匀强磁场(B1=2B2),磁感应强度方向均垂直纸面向里,两段匀强磁场宽度分别为d1和d2(d1=d2),现有一质量为m、带电为+q的粒子从坐标原点O沿x正方向以速度v0射入磁场B1,求粒子离开磁场B2时速度与水平方向偏角θ2的正弦值.

图1 例1图

1.1 模型建构剖析

图2 模型1示意图 图3 模型2示意图

1.2 思路变换求新

解题中采用了较为常规的画轨迹找关系的思路,所以解题着重在寻找前后磁场间的半径R与偏角θ间的数学关系.如果我们不单注意洛伦兹力提供向心力的动力特征和洛伦兹力不做功的能量特征外,再深层次分析洛伦兹力f作用的冲量If,由于粒子速度方向不断变化,因此粒子所受洛伦兹力f的冲量并不为零!x方向上:洛伦兹力冲量Ifx是由Bvyq引起,即

-∑Bvyq·Δt=m(vx-v0)

①

y方向上:洛伦兹力冲量Ify是由Bvxq引起,即

∑Bvxq·Δt=mvy-0

②

1.3 方法总结体悟

利用动量定理来处理粒子复杂运动的问题,可以省去复杂轨迹不易描绘、几何关系不易寻找、运动过程较难细致分析的麻烦,巧妙利用某一方向(如x方向)上位移x的累加Bq∑Δx或磁场B、位移x的累加q∑BΔx,与相垂直的方向(y方向)上动量变化m(Δvy)间构建了相互关联,充分表现出动量定理在此类问题中的解题优势.

例2(2008高考江苏卷)在xoy坐标系中有一场强为B的水平匀强磁场,质量m、带电+q的小球从原点O静止释放,小球运动轨迹曲线如图4所示．已知此曲线在最低点时曲率半径为该点到x轴距离的2倍,重力加速度取g．求:

图4 例2图

(1) 问略;

(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离yM.

解法1(高考卷标准解答):略

解法2(运动合成分解法):利用Bvxq=mg得到

③

④

解法3(动量定理法):粒子运动到最低点时,重力做功最多,所以速度最大vM且水平向右.之所以水平方向上速度从0变为vM,其实是粒子水平方向洛伦兹力fx与时间t累积的结果,利用动量定理∑Bvyq·Δt=m(vm-0)[2],而∑Bvyq·Δt=Bqym,所以

Bqym=mvm-0

⑤

综合上述的三种不同解法,足可以看出当运动过程比较复杂时,动量定理解题不需要在过程细节上花费过多精力,但也需要有明确的审题导向:(1)过程多变复杂、几何关系不容易寻找;(2)某一个方向上出现清晰的速度变化;(3)对应另一个垂直方向上的位移累积量或磁场B和位移的累积量清晰呈现,这时候 就可以优先考虑选择动量定理来处理.此解法方向明确、方便快捷,同时又能避免题中“已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍”多余条件和“曲率半径”等多余概念的干扰.

2 规律迁移运用

2.1 粒子在若干连续电场、磁场组合场中复杂运动的处理

图5 例3图

解法1(常规寻求关系):略

解法2(动量定理法):粒子在第n层磁场恰好不能穿出,此时速度与边界相切且方向向上,设速度为vyn,在第n组磁场中圆周运动的半径为rn(下标表示粒子所在组数),根据动能定理得

⑥

再分析x、y两个方向的运动,电场方向始终沿水平方向,并不能改变粒子在y方向的速度(动量),则从静止释放至恰好与第n组磁场边界相切,在y方向上应用动量定理得

⑦

图6

2.2 粒子在电场、磁场等叠加场中复杂运动的处理

例4(2013福建高考卷) 如图7(a)所示,空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B.让质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响.(1)(2)问略.(3)如图7(b)所示,若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场,一粒子从O点以初速度v0沿y轴正方向发射．研究表明:粒子在xOy平面内做周期性运动,且在任一时刻粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比,比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值vM[3].

图7 例4图

解法1(高考卷标准解答):结合轨迹可知,粒子运动到D点时沿电场方向位移yM最大,速度最大且沿水平方向,有

⑧

⑨

代入⑧式解出得

⑩

该解法比较常规,但寻求关系不容易,运算也较烦琐.

解法2(动量定理解题): 粒子从O点运动到D点,水平方向速度从0变为vDm,此速度变化是由粒子洛伦兹力Bvyq与时间t累积引起,由动量定理得

∑Bvyq·Δt=Bqym=m(vDm-0)

从案例剖析到解法变换,可以看到处理粒子复杂运动的问题有多种解题方法,但不管选用哪种解法,也不管试题设置情境或所给条件发生什么样的新颖变化,解题中一定要养成认真分析粒子受力和过程变化的良好习惯,还要重视一些关键信息的审题(如水平速度、最大速度、曲率半径、恰好离开磁场等),然后就可以尝试采用动力学或能量的观点进行解题.当然如果发现仍然无法求解或解题过于复杂、繁琐等情况时,就应当快速定位选用动量的观点来解题.最后要说明一点是动量定理是反映合外力冲量与物体动量变化的规律, 因此使用动量定理时一定要构建物体所受的合力冲量和对应过程的动量变化的关联,如在例3中,之所以轻松地用∑Bvxq·Δt=mΔvy求解y方向上速度变化,是因为粒子在y方向上仅存在由vx引起的洛伦兹力fy,但如果确实需要研究x方向上的运动情况,则需要加上电场力的冲量,建立∑(Eq-Bvyq)·Δt=mΔvx的方程,化简得到Eq·t-Bq(y1+y2+…)=m(0-v0),倒是可以求解出粒子在电场中总时间t或粒子在所有磁场中运动y的累加量.