多视角解析高考真题，提炼解题与教学技巧

彭罗

【摘要】在新高考背景下，以多面体的外接球为载体，考查空间中点、直线、平面的位置关系和数量关系的题型成为高考题中的重要题型.对于此类问题，多数学生在考试中往往找不到解题的突破口，这种现象反映出学生未能理解相关知识点和掌握相应的解题方法，无法体会知识和技能的内在本质属性的问题.因此，数学教育工作者应从多视角分析试题，帮助学生解决问题，突破难点，掌握对应的解题策略和方法.

【关键词】高考真题；解法探究；外接球

在新一轮高考改革背景下，全国高考数学卷对核心素养中逻辑推理和直观想象、数学建模的考查，已经提升到举足轻重的地位.2022年新高考Ⅰ卷试题在笔者的记忆深处烙下了很深的印痕，让人久久难以忘怀.其中第8题是一道蕴含“导数、立体几何、均值不等式”等知识的问题，并且不同于以往考查方式，不落窠臼，让人耳目一新.这道题题目简明清晰、综合性强，综合考查导数、立体几何、最值等知识，同时对学生数学计算、推理判断等综合运用能力的考查也很明显.众所周知，在高中数学复习中，习题课的地位至关重要.而难易设置层次比较清晰的高考真题，往往是教育工作者的选题来源，针对高考真题的习题课是高三复习的重点.对于教学工作者而言，启发发现高考真题解题方法的过程、引导学生归纳总结方法，是习题课的重点.甚至探索题目本源、揣摩命题方向、阐述题目本质也成了尝试达成的教学目标.下面笔者从多个视角探究2022年新高考Ⅰ卷第8题的解法，同时对习题课中如何达成数学教学目标提供参考和建议.

一、试题呈现及多视角分析

解法一 基于构建函数模型视角

由题意联想到目标函数的构建，常规思路可选择侧棱长l为自变量，建立一个体积函数以所给取值范围为定义域、以体积为因变量，通过导数工具来求出单调区间，利用端点效应就可算出体积的最值.

解法二 基于构建不等式模型视角

由于本题背景是正四棱锥，给定了侧棱长取值区间，那么底面边长和正四棱锥的高都限制在一定范围内，且二者必存在等量关系，所以相关问题可结合不等式的性质来解决.

如图1所示，设点E是底面正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，连接PE，则直线PE必过球心O，连接OA，设底面正方形ABCD的边长为a，正四棱锥的高为h，

变式2：将“正四棱锥”改为“正四棱柱”，其他条件不变，求正四棱柱体积的取值范围.

变式3：将“正四棱锥”改为“正四棱台”，其他条件不变，求正四棱台体积的取值范围.

二、解法评注

本题以正四棱锥为载体，不仅考查了空间点、直线、平面的位置关系，而且考查了利用导数研究最值问题的方法，充分体现了在学科主干知识点交汇处命题的思想.情境设置比较新颖，利用外接球为载体考查数学建模是本题的亮点，函数模型的构建是关键.解法一以侧棱长为自变量来构建目标函数，突破口在于建立侧棱长与底面积、高之间的关系式，获得体积函數.要求出最大值和最小值，只需利用导数获得单调性即可.解法二以正四棱锥的高为主元，利用勾股定理发现高和底面边长之间的等量关系，通过三元均值不等式来得到最大值.解法三以夹角为自变量，利用外接球半径表示底面积和高，构建出体积的三角函数来求解最值.将三种解法进行对比，从中归纳：在一定的情境下，通过探索变量间的隐性关系，构建相应的模型求出最值是解决此类问题的常用方法.学生只有具备敏锐的洞察力和良好的建模素养才能顺利解决问题.三种解法灵活多变，教学工作者针对不同解法的特点启发、引导学生进行恰当选择并综合运用，能达到淡化解题技巧，培养发散思维能力的目标.

一题多解，从多个方向剖析高考真题，可以最大限度地发挥学生的内驱力，拓宽学生的思路，促进思维的发散，还可以更有效地辅助教学，探索问题的本质.在高三复习中，教师要始终贯彻“巩固基础为本，提高能力为要”的指导思想，通过对例题的多维度剖析，再进行跟踪训练，使学生的数学建模素养在无形中得到提升.

三、教学启示

（一）关注知识的生成，领会数学本质

知识网络结构的重建与梳理及能力提升是高三复习的核心目标.在现阶段高三复习中，存在“机械刷题”的现象，这与《中国高考评价体系》中高考的育人目标、考查要求相抵触.在高三复习中，有的教师认为基础知识在高一、高二新授课中重点讲解和探究了，因此在一轮复习中主要通过解题训练，以练代讲来强化学生对知识点的掌握.但是，在现实教学中，由于对知识点的理解不到位，学生错误答题的案例屡见不鲜.这充分说明，在知识的重构阶段不能走过场和流于形式，教师应再次带领学生回顾知识点的生成和其蕴含的思想方法.比如这道题的解法三就是源于课本例题应用题.知识网络重构对学生数学核心素养的养成与发展起着关键性的作用，仅通过机械式刷题，学生在以前没有理解的知识到复习阶段仍然还是一知半解.依靠刷题来提分的时代已经一去不复返了，高考试题越来越“活”，越来越没有“套路”可言，学习来不得半点虚假，只有踏踏实实抓好基础知识，学好基本技能、基本方法，学生才会不断提高能力、发展素养.

（二）少一点“套路”，多一点思维品质的培养

在传统教学中，大多教师会让学生反复练习常见的考试题型，慢慢形成解题的“套路”，以熟练来取胜，甚至引导学生总结答题模板.现在的高考模式正在打破这些“套路”，国家需要培养创新型人才，高考的选拔功能就体现在为国家选拔创新型人才上，创新从哪里开始，就要从高考选拔开始.比如在复习立体几何知识的时候，对于求点到平面距离的问题，大多数教师往往强调向量法，构建空间直角坐标系，把点面距离转化为平面的斜线在平面法向量上的投影，形成解题“套路”，让学生养成惯性思维，从而忽视学生的思维发散.对于该部分的复习，教师可以帮助学生构建空间直角坐标系，还可以引导学生思考：“这种问题设问的方法有哪些？涉及哪些知识点？构建坐标系的途径有哪些？处理问题的途径有哪些？还有没有其他方法？”逐步启发学生自主学习，积极探索，避免生搬硬套解题模板，让学生思维活跃，其解题能力自然就提高了.

（三）巩固教学效果，回归课本

数学复习效果需要巩固，每年考试结束总会听到学生抱怨“做了那么多考题，却感觉解题能力没有提高”“数学学习时间花那么多，分数没怎么提高”“老师上课讲的我都会，临考我还是不会”等等.针对新高考的命题宗旨———“坚持素养导向、能力为重”，教师的教学重点应该放在如何提高学生的解题能力上.数学问题每年推陈出新，就像一个万花筒，千变万化，但是万变不离其宗.考题永远都是围绕着课本知识进行考查的，不可能游离于课本之外.课本就是学习数学知识的源泉，学生必须回归课本寻找本源，复习效果的巩固与是否回归教材有最直接的联系.比如视角一和视角三就是通过挖掘教材中应用题得到的思路和方法，这些方法并非无中生有，而是源于课本，教师要让学生切实了解高考题中所用的解题思路方法原来就在教材之中.

结 语

以培养学生数学核心素养为目标的新一轮课程改革要求：通过高中数学课程的学习，学生能获得发展所需的“四基”，进而提高“四能”，把握数学本质，发展数学建模等六大核心素养.高考命题的方向逐渐从“知识立意，能力立意”转变到“素养导向，能力为重”，教育工作者要提高学生的关键能力，而关键能力源于课本中的基本知识与方法.重温课本，重构知识网络是必经之路.高考真题是最好的教学素材，因而在平时关于高考真题的习题课上，教师要针对学情精心选择好的素材，有的放矢地优化复习教学，并注重对学生解题思路和过程的拓展，从而起到事半功倍的效果，达成核心素养的培养目标.

【参考文献】

[1]G·波利亚.怎样解题———数学教学法的新面貌[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.

[2]龚有顺.基于数学核心素养的问题情境创设的案例评析———以“数列”单元教学为例[J].中国数学教育，2019（Z2）：58-62.

[3]梁莉.在数列教学中培养学生逻辑推理能力的研究[J].数学教学通讯，2020（36）：44-45.

[4]花奎，张晓飞.解题反思孕“念头”回归教材寻“源头”———高三解题教学中回归教材的几则案例及思考[J].数学通报，2021，60（08）：30-34，38.