真正理解 远离错误

文／韩志琴

了解数据的集中趋势和离散程度，可以更加有效地运用数据解决问题。数据的集中趋势可用平均数、中位数、众数来刻画，离散程度常用极差、方差来表达。如果对各统计量的实际意义不明晰或算理不清晰，便会在答题过程中出错。

一、理解统计量的算理

例1若一组数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差是3，那么另一组数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1 的平均数和方差分别为（ ）。

【解析】本题将一组数据的每个数据都扩大2 倍并减1，得到一组新数据，求新数据的平均数和方差。由平均数计算公式：，通过加法交换律、结合律以及分配律，可得如下结论：一组数据的每一个数据都加（减）同一个数，或都扩大（缩小）相同倍数，则平均数随之加（减）相同的数，扩大（缩小）相同倍数。同理，由方差计算公式：s2=结合前述结论和运算定律，可以得到结论：一组数据同时加（减）同一个数，方差不变；同时扩大（缩小）相同倍数，方差随之扩大（缩小）相同倍数的平方。这可以简洁地表达为：设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差是s2，那么数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数和方差分别为。弄清算理，不难得到正确答案为选项C。对上述算理不清楚，是选择其他错误选项的根本原因。

二、提高读图能力

例2小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车，在爸爸的预算范围内，小明收集了A、B、C 三款汽车在2022 年9 月至2023 年3 月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项的评分数据，统计如下：

（1）数据分析：

①求B 款新能源汽车在2022 年9 月至2023 年3 月期间的月销售量的中位数；

②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据按照比例2∶3∶3∶2 统计，求A 款新能源汽车四项评分数据的平均数。

（2）合理建议：

请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量给小明的爸爸提出建议，说说你的理由。

【解析】本题首先考查阅读统计图的能力，其次考查中位数和加权平均数在实际生活中的运用。

第（1）问中，折线统计图表示的是三种车型在2022年9月至2023年3月期间月销售量情况，由图可知B 型车销售量依次为3457、4667、5188、8840、1725、2254、8153，按从小到大排序，可知销售量的中位数是4667。根据条形统计图可知网友对三种车型在外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务4 个方面的评分数据，A 型车对应的数据分别为72、70、67、64，按2∶3∶3∶2的比例可得-x=（72×2+70×3+67×3+64×2）÷（2+3+3+2）=68.3（分）。

第（2）问以开放的形式体现加权平均数在实际生活中的运用，购买者对所购买车型在四项中的期望值给出比例，比如1∶2∶1∶2，计算出A、B、C三种车型评分的加权平均数分别为67.8分、69.7分、65.7分，结合折线统计图，可知B款车整体销售情况良好，且后期有上升趋势，可选B款。

读不懂统计图，是不能正确解决问题的首要原因。此外，确定一组数据的中位数之前没有排序，对“权”的意义理解不透彻也会导致出错。数据来源于生活，理解统计量的意义，理解算理，提高读图能力既是解决问题的需要，也是适应时代发展的需要。