教育神经科学视角下模型意识培养策略——以“乘法引入”一课为例

于 静 上海市民办新黄浦实验学校

沈文琴 深圳元平特殊教育学校

会用数学的语言表达现实世界是数学学科的核心素养之一。模型意识作为义务教育阶段数学语言的主要表现之一，有助于增强学生对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构建立模型的过程，包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。小学低年级阶段，乘法模型是学生所需要掌握的基础模型之一，小学二年级学生已基本掌握加法模型，如何在加法模型的基础上帮助学生逐步建构乘法模型是教学的重点与难点。

二年级的乘法教学中经常会出现学生对乘法口诀的背诵会出现“三六十二”“七八五十四”等记忆混淆、记错等现象，也有部分学生能够熟练背诵乘法口诀，但遇到实际情境不能快速反应出运用哪个乘法算式来解决问题。研究也发现正常智力水平的成人在计算乘法时大概会有10%的错误率，在计算一位数的乘法如8×7 和9×7时，也会花长达2秒的时间，且有25%的错误率。脑成像研究显示，乘法运算所涉及的神经网络要比加法和减法多，对于加法算式主要形成视觉——阿拉伯数字表征，对于乘法算式主要形成听觉——言语表征；减法主要依赖视空间表征，在视觉通道下优势较大。乘法以听觉的言语表征方式为主，在听觉通道下更具优势（见图1）。

图1

注：对比四种计算条件（未经训练的乘法，训练过的乘法，未经训练的减法和训练过的减法）基线（匹配）（上）。计算条件对比（训练效果）（下）。对比未经训练的减去训练的乘法/减法用红色表示，经过训练的减去未经训练的乘法用绿色表示。经过训练的减去未经训练的减法的对比没有产生任何显著性激活。图2 是角回内所有显著激活的体素在所有五种条件下的激活时间过程的平均值经过训练的减去未经训练的乘法（绿色）。说明：mn=未经训练的乘法，mt=训练过的乘法，sn=未经训练的减法，st=减法训练有素，基数=数字匹配。

图2

研究表明，经过训练后，乘法更依赖于快速检索策略，而减法更依赖于计算策略。

乘法概念是小学数学学习中的重要概念，也是进行乘法计算和用乘法解决问题的重要基础。乘法口诀是乘法计算的工具，促进学生对乘法概念的理解，建构出乘法模型才是正确解决问题的关键。在乘法概念的教学中，教师如果只是告知学生遇到几个几相加的和是多少时用乘法表示比较简便，把教学的关注点放在乘法口诀的死记硬背上，学生并不能够真正理解乘法的意义，也不利于学生建构乘法模型，影响学科核心素养的落实与发展。如何培养学生的数学核心素养，并通过经历、体验、感悟和内化让学生自主建构乘法模型，是我们重点需要研究的问题。

模型意识主要是指初步感悟数学模型的普适性，有意识地用数学的概念与方法解释现实生活中的问题。那么数学模型的建构就需要建立在现实的问题中，以具体的情境为依托，运用抽象的思想，渗透符号意识及数学表述的科学化。笔者以沪教版二年级第一学期“乘法引入”为例，逐步引导学生建构乘法模型，发现乘法问题与现实生活息息相关，并能运用乘法知识解决现实生活中的问题，通过模型意识的培养提高学生的数学核心素养。

一、从直观到表象，孕育模型思维

（一）创设生活情境，激发学习兴趣

低年级学生以直观形象思维为主，真实的生活情境和具体形象的图片场景有利于学生将现学的知识与生活实际相联系，以情境设计和有效的问题促进学生主动参与教学活动，在活动中培养核心素养。在乘法教学中教师创设了游乐场主题情境，通过多媒体展示了游乐场整体动画效果图，再将教学场景聚焦到每一个游乐项目。依托学生熟悉且感兴趣的真实场景，辅之以动画效果渲染，吸引学生的注意力，激发学习的兴趣。同一情境贯穿始终，学生在获得学习体验的同时，更感受到数学来源于生活，又应用于生活。

（二）初步分析信息，提出数学问题

数学模型思想的孕育需要生动有趣的情境来激发学生的学习兴趣，更需要学生在情境中搜集信息、发现问题，并将生活问题转化成数学问题，在解决问题的过程中建立初步的表象。教学中，教师先通过“海盗船游玩”项目，引导学生发现有价值的信息并提出数学问题：“一共有多少人在玩海盗船？”鼓励学生运用已有知识经验解决问题，学生说出“一共有2个5相加”，并列出算式“5+5=10”。教师接着出示飞船游玩项目情境，由学生自主发现问题并解决，得出“求飞船上总人数实际就是求3 个4 相加是多少”，列式“4+4+4=12”。通过情境中信息搜集、发现问题、解决问题的初探过程，学生建立起表象并初步认识相同加数相加，并理解几个相同加数相加算式的含义。

教师将情境的创设贯穿于解决问题的过程中，既保证了情境的有效性，让学生与所学内容进行了情感连接，又促进了学生学会学习。学生初步体会到几个相同加数相加的模型，为乘法模型的建构积累初步的数学表象。建立起表象才能进一步将已有经验与新的数学现象进行更加深入的联系，激发新思维的产生。

二、从表象到抽象，萌发模型思维

（一）简化问题情境，提炼必要数据

二年级对乘法模型的基本认识主要建立在“几个相同加数的和”的层面，是在加法基础上产生的高层次的认识结构。虽然学生已经认识了“几个几”连加，但与乘法模型的建立还有一定的距离，因此要在继续丰富学生认知表象的基础上，利用不断变化的问题情境帮助学生逐层抽象。教学中，教师创设了游乐场中的划船项目，在保持情境的连贯性同时，又能让学生感悟到加数不断增多，每条小船上都是3 人，而小船的数量从4 艘，6 艘到9 艘逐渐增加，学生发现并依次解决问题“河里一共有多少人在划船？”列出算式“3+3+3+3=12，3+3+3+3+3+3=18，3+3+3+3+3+3+3+3+3=27”。呈现出加数不变，而加数的个数越来越多，从“4 个3”“6 个3”到“9 个3”，学生在原有“几个几”相加的基础上很快便感知到都是“同数连加”，从而抽象出“同数连加”的加法模型，同时感受到计算也变得越来越复杂。

（二）理解数学问题，明确模型系统

利用逻辑推理，设置认知经验的冲突，让学生感受思维的冲击，进一步推进问题的抽象，萌发乘法模型系统。教师围绕划船项目，将情境中小船的数量继续增多，9 艘、20 艘、50 艘，最后直接上升到100 艘，学生在熟悉的环境里思维受到冲击，提出问题：“100 艘小船上一共有多少名学生？”并尝试列式“3+3+3+3+……+3”。学生发出“这么多3 相加太麻烦了”以及“有没有更简便的方法呢？”等感叹和疑问。在这样的体验下学生发现原有知识不足以解决现有问题，便开始寻求新知识新方法。围绕问题的解决，“100 个3 相加还可以怎样表示呢？”乘法问题便应运而生。

在积累了数学表象后，就需要从丰富的表象中提取和抽象出数学问题，为问题的解决提供思维的方向和目标。让学生参与并经历从“几个几”相加的初步感知到“同数连加”的模型抽象，再到乘法问题的生成这一过程，便于更快更准确地找到学习方向，并在数学问题的驱动下经历更多的思维活动，萌发出新的数学模型。

三、关注内涵表述，构建模型思维

乘法经常被作为重复的加法来研究，但乘法有着比加法更复杂、更抽象的思维结构，儿童能够理解重复加并不一定意味着理解乘法关系，儿童理解乘法关系的起源是“许多”和“一”的对应机制，重复加仅仅是解决乘法问题的程序性知识，而不是其概念基础。

（一）规范数学语言，助力概念表述

概念的内涵表述需要用准确的数学语言概括出它的本质，而语言的准确性又体现着思维的缜密性。教学中教师要为学生提供规范的语言范式，训练学生数学语言的表达能力，让学生习惯于用规范的数学语言表达现实世界。教学过程中，学生列出算式“3+3+3+3=12”后，教师要求完整表述出算式的含义即“4 个3 相加的和是12”，并进行板书，再说一说其中的“3”表示相同的加数，“4”表示相同加数的个数。在这一范式引导下，学生边思考边口述算式“3+3+3+3+3+3=18”和“3+3+3+3+3+3+3+3+3=27”的含义。经过数学语言的规范训练，强化和丰富了学生对“几个相同加数的和”的理解，为乘法概念的内涵表述作了充足的语言铺垫。

（二）创造运算符号，促进概念理解

符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，想要形成抽象能力和推理能力就需要建立良好的符号意识。学生经历符号的创造过程才能更好地理解符号的内涵，发展思维。教学中，学生在体会到“9个3相加”用连加算式麻烦时，教师提议让学生创造一个简单的符号将“9”和“3”连接起来，通过讨论尝试，学生创造出9▲3，9○3，9×3 等，再展示“×”的诞生过程，提出“9×3”的乘法模型。在经历乘号创造的过程中，学生深刻感受到乘号的重要性和简洁性，同时建立起加法模型与乘法模型之间的链接，乘法模型的建构显得顺其自然，促进学生对乘法概念的深入理解。

（三）借助类比归纳，建构数学模型

教学中通过“比一比”“辨一辨”等多样的教学活动，为学生对乘法模型进行归纳表述提供了路径，促进了学生自主建构乘法模型。其中，请学生根据“9×3=27”的学习经验，用类比的方法，将情境中的连加算式改写成乘法算式，并比较这三组算式：“3+3+3+3=12”和“4×3=12”“3+3+3+3+3+3=18”和“6×3=18”“3+3+3+3+3+3+3+3+3=27”和“9×3=27”之间的异同点。由此归纳出“求几个相同加数的和，可以用加法表示，也可以用乘法表示，乘法更简便”。最终引出乘法概念的内涵，即求几个相同加数和的运算。

在乘法建模过程中，要围绕乘法概念，完善对概念内涵的理解与准确表述，先用规范的数学语言指引学生对“几个相同加数的和”的理解，再经历符号的创造过程明晰了加法与乘法之间的关系，最后在比较中感悟了乘法的意义，促进学生思维发展。

四、注重运用拓展，内化模型思想

乘法模型的建构不仅需要为学生创设过程的体验，更要丰富对乘法概念的认知体验，这也是数学建模的价值取向——运用。研究表明，视空间任务主要激活双侧枕叶、右侧楔前叶、右侧顶上小叶；简单乘法任务主要激活双侧枕中回、左侧顶上小叶、左侧扣带回、左侧额中回以及左侧额下回，主要激活了左侧半球算术事实提取相关脑区；复杂乘法任务主要激活右侧顶上小叶、右侧额下回和双侧额中回，更多调用了视空间记忆功能。复杂乘法运算的正确执行依赖于一个右侧“顶-额叶”网络，该网络支持计算过程空间布局信息的存储。只有在不断的运用与拓展中才能将静态的数学模型转化为动态的思维运用，才能实现模型思想的内化（见图3）。

图3 不同MIRI任务的激活脑区图

（一）运用解决问题，体验模型价值

学生经历了“表象—抽象—建模”的过程后，思维中逐渐建构出乘法模型“9×3=27”，但对于这个新的模型还需要在运用中不断巩固和强化，进而思维定型，成为学生主动的思维习惯。教学中，学生得出算式“9×3=27”后，教师让学生结合情境说出其中每个数所表示的涵义，让学生深入理解乘法就是求几个相同加数和的运算，以及它与加法之间的关系。这里让学生在情境中运用乘法模型解决简单的数学问题，体验数学模型的价值与意义。

（二）生活拓展迁移，检验数学模型

乘法概念和意义有着丰富的内涵和外延，当学生初步认识乘法的时候，对乘法概念的建构并没有真正形成，需要在学习的过程中通过丰富的现实情境，体会数域的扩展与乘法现实模型之间的关系，逐步建构出乘法概念。

在教学中教师设计了这样的问题：5个盘子里分别摆放了1、2、3、4、5 个月饼，可以用乘法算式表示出5 个盘子里一共有多少个月饼吗？教师给学生准备了小圆片，并以小组讨论的形式让学生自主探索问题解决的过程。学生首先要运用乘法概念，明确每个盘子里的月饼数量相同才可以列出乘法算式；之后借助移动小圆片，调整盘子中月饼分布情况，得到不同的表现形式：5 个盘子里都有3 块月饼，或3 个盘子里都有5 个月饼，还剩2 个空盘子，得出“5 个3”和“3 个5”两种不同的情况，进而列出“5×3”和“3×5”的乘法算式。

学生面对数学问题时，要求能够根据问题的本质进行分析判断，选择合适方法解决问题，从而建构数学模型。二年级的乘法引入只是乘法建模的开始，引导学生自主建构乘法模型，培养模型意识，无论是对乘法意义的理解还是灵活运用乘法概念解决实际问题，都能起到积极的作用。学生完整经历了理解问题情境、明确模型系统、简化分析问题、建构数学模型、解答数学问题、检验数学模型等步骤和过程，在解决问题中不仅收获了成功的喜悦，也体会到了数学模型的价值和意义，将乘法模型进一步内化，发展了学生模型运用的意识。我们只有为学生搭建好创造的平台，激发其源动力，将模型进行内化，才能让数学核心素养的提升落到实处。