借说理之力 悟数学思想

【摘要】说理教学旨在帮助学生再现思维过程，引导学生将数学原理等用自己的语言有序地表达出来，加深学生对数学知识、问题、思想的认知。教师要优化说理教学，为学生构建说理课堂，帮助学生在说理的过程中理解数学意义、发展数学思维、感悟数学思想，培养学生的数学核心素养。

【关键词】小学数学；说理；数学思想

作者简介：刘超（1995—），男，江苏省南京市北京东路小学分校红太阳小学。

说理是个体表达出知识背后隐含的原理的一种方法［1］。说理的过程是学生思维再现的过程，学生在说理时能够使自己对数学知识的理解清楚地呈现出来，这对学生感悟数学思想、提高数学思维能力有着重要的促进作用。因此，数学教师在实际教学过程中，要重视说理教学，充分发挥说理在教学中的辅助作用，通过多种有效方式，引导学生主动分享学习成果，激活学生理性思维，帮助学生理解和感悟数学思想，促进学生全面发展。

一、在情境中思理，渗透隐含条件思想

小学生的思维以形象思维为主，而数学原理大都比较抽象，这就需要具体的学习场景来做支撑。教师在教学时，可以设置具体生动的教学情境，将说理教学与教学情境有机结合起来，引导学生在说理情境中探究和思考数学题目的隐含条件，为学生渗透隐含条件思想，培养学生的数学思想。

数学的特点在于逻辑的严密、思维的严谨。一道数学题目在条件不同的情况下，计算方法和结果可能完全不同。对于题目中的有些条件，我们可以轻而易举地从题干中获得，而有些条件则需要我们联系生活经验或者其他知识来获取，这就要求教师在教学时有意识地引入隐含条件思想。例如，在教学苏教版小学数学六年级下册第二单元中的圆柱的表面积计算的内容时，教师列举了一道例题，以此创设说理情境：小明十分喜欢一家店里的一个竹制的圆柱形笔筒，于是购买了这个笔筒，并在回家后亲自动手测量了笔筒的尺寸。他发现笔筒底座的直径（2r）是6厘米，高度（h）为15厘米。这时，小明的爸爸来到他身边，想和小明比一比谁能正确算出这个笔筒的表面积。已知小明爸爸计算出的结果是S=99π（平方厘米），小明计算出的结果是S=108π（平方厘米），请问小明爸爸和小明谁对谁错？教师让学生根据所学的知识说一说情境中谁的答案正确以及自己的理由。一开始，某些学生将笔筒的测量数据直接代入圆柱表面积计算公式S=2πrh+2πr2中，得到了和小明一样的结果。这样看来小明是对的，但是小明爸爸为什么会算出不一样的答案呢？小明爸爸的计算方法和小明的差异在哪里呢？对于这些疑问，学生之间展开了激烈的讨论。此时，有学生提出：“笔筒里需要放笔，它是没有上表面的。小明爸爸的答案才是对的，因为他只计算了笔筒一个底面的面积。”于是，之前和小明得到一样结果的学生再一次进行计算，减掉一个底面的面积，很快得到了正确的结果。在课堂交流环节，有的学生不仅完整地说出这道题的解题思路、过程和相关原理，还表达了自己的心得体会：“数学与我们的生活息息相关，很多数学题目都来源于现实生活。一些题目中会有隐含条件，这需要我们结合生活常识去思考。比如老师举的这道例题中就隐藏了一个条件，即笔筒是没有盖子的，在计算笔筒的表面积时如果机械地将数据代入公式就会出错。所以我们在做题时要仔细审题，注意题目中的隐含条件，这样才能得出正确的结果。”

教师通过合理创设说理情境，引导学生结合情境思考数学问题，成功地让学生发现了题目中的隐含条件，帮助学生认识了数学中的隐含条件思想，并且能够让学生学会结合生活经验解答数学问题，将数学与生活紧密联系起来，培养学生解决问题的能力，促进学生数学思维的发展。

二、在对话中明理，体会类比思想

在说理教学中，对话是关键。教师要与学生对话，让学生通过说理掌握数学知识，学会用数学语言描述和解决问题，从而锻炼学生思维，培養学生数学思想。教师可以通过和学生的有效对话，引导学生在说理过程中学会观察、比较、分类、整合，掌握分类的方法，体会类比思想，拓展自身的数学思维。

类比思想是学生在学习数学的过程中经常会用到的数学思想，类比思想对学生以后的学习和成长有着重要的影响。一些小学阶段的学生在学习中其实已经产生了比较的想法，只是还没有形成系统的思想，这需要教师在教学过程中为他们提供帮助。例如，在教学苏教版小学数学四年级下册第七单元中的认识四边形的内容时，教师展示一组图片（如图1所示），引导学生分组讨论，对图片中的四边形进行分类，阐述分类的结果并详述分类的理由。教师在引导学生说理的过程中，与学生进行了对话，以帮助学生梳理说理的内容，体会类比思想，具体如下。

教师通过与学生对话来开展说理教学，在对话中引导学生尝试对四边形进行分类，并说出分类的理由、标准和结果，让学生了解了平行四边形、梯形、不规则四边形的特征和它们之间的区别与联系，逐步体会到了学习行为背后的数学道理，激发了学生的类比意识，帮助学生形成了关于数学思想的感悟。

三、在判断中辨理，浸润推理思想

数学教学讲究有理可依，有理可讲。让学生学会以理为据，进行推导、做出判断，是培养学生数学思想的重要一环。在教学时，教师要通过说理浸润推理思想，引导学生观察、思辨、验证，发展他们的合情推理能力，培养他们思维的有序性、深刻性［2］。

推理是基于一个或者几个条件进行的预测和推导，考验的是思维逻辑性。推理思想在数学中的应用十分广泛，掌握这一思想是学生学好数学的重要前提，教师在教学时应予以格外重视。例如，在教学苏教版小学数学三年级下册第六单元中的正方形和长方形的面积计算的内容时，教师向学生展示了一个命题，以此引导学生进行交流讨论，判断这个命题是否正确，在判断中辨析数学原理，发展学生的推理思想：如果一个正方形和一个长方形的周长相等，那么它们的面积也相等。学生在交流中假设正方形和长方形（长为a，宽为b）的周长都是36厘米，于是得到：正方形的边长为36÷4=9（厘米），正方形的面积就是9×9=81（平方厘米）。长方形的周长是2×（a+b）=36（厘米），a+b=18（厘米）。除去“9×9”这一组合，长方形的面积“a×b”还有很多种不同的可能：假如a是1，则b是17，面积为1×17=17（平方厘米）；假如a是8，则b是10，面积为8×10=80（平方厘米）……据此，学生得出结论：这个命题是错误的。

在上述案例中，教师在进行说理教学时，先给学生一个命题，再让学生判断命题的对错，并阐述推理的过程。学生在讨论和互动的过程中，先针对题干进行了合理的假设，设定36这个定值，在此基础上，根据正方形与长方形的周长计算公式，反向推导出正方形的边长和长方形的长宽之和。然后，学生根据正方形的面积计算公式，计算出正方形的面积；对于长方形的面积，学生则罗列出几个a+b等于18的组合，并用长方形面积计算公式进行计算。最后，学生将长方形的面积与正方形的面积进行比对验证，由此推理出命题是错的，做出正确的判断。可见，学生在说理过程中，不仅灵活运用了正方形、长方形周长与面积的计算公式，对数学原理和计算方法形成了更加深刻的认识，还通过反复的假设、推导、验证理解了推理思想这一数学思想。

四、在探究中寻理，形成转化思想

转化思想是一种极为重要的数学思想，也是一种化繁为简的思维策略，对发展学生数学思维、提升学生数学能力及问题解决能力有着很大的促进作用。教师在进行说理教学时，可以让学生通过独立思考和小组合作的方式展开探究，在说理的过程中探寻数学原理，学会将复杂的问题转化为简单的问题，帮助学生形成转化思想，促进学生对数学思想的感悟。

将转化思想应用到学生的数学学习中，不仅可以很好地活化学生思维，提高学生解题效率，让学生的学习更加轻松，还可以使学生的思维向纵深发展。例如，在教学完苏教版小学数学四年级下册第六单元中的乘法分配律的内容后，教师向学生展示了一个问题，旨在通过引导学生探究问题中的数学原理，帮助学生理解转化思想：对于“22×32+44×19”这个算式，某同学的计算过程中出现了原式“=22×（32+38）”。请你用学过的数学知识说一说其中的原理。问题中的算式涉及乘法与加法的混合运算、乘法分配律、乘法结合律及等量代换的知识。从表面上看，乘法分配律在这道题中并不适用，实际上却可以通过等量代换来转化算式中的因数。学生在说理时围绕“原式中有没有可以进行拆分的数”“拆分之后能不能得到共同的乘数”等展开了探究，进而在教师的指导下发现：“22”可以从“44÷2”转化而来，如果将“44”拆分成“22×2”，那么“44×19”就可以写成“（22×2）×19”，再应用乘法结合律，将其转化成“22×（2×19）”，得到“22×38”，这样就得到了“22”这个共同的乘数；然后应用乘法分配律，便可以得出原式=22×（32+38）。在说理结束前，有学生表示，经过转化得到共同的乘数后再进行计算，可以节省计算的时间，让计算变得更加简单和方便，而且不容易出错，这是一种十分实用的计算方法。在上述过程中，转化思想也浸润了学生的心田。

教师在进行说理教学时，让学生根据有效的问题一步一步地去探寻其中的数学原理，能够让学生逐步了解、学会应用各种运算律，掌握通过转化进行计算的方法，并且帮助学生形成了数学中的转化思想，促进了学生数学思维的发展。

五、在操作中悟理，培养数形结合思想

实验操作是数学教学中常用的教学方法。将实验操作与说理教学结合起来，可以提高学生的操作能力，帮助学生巩固数学原理的相关知识，促进学生思维的发展。一些小学生空间思维能力、立体感较弱。对此，教师在开展说理教学时可以引导学生进行实验操作，将抽象的知識转换成具象的图形进行理解和记忆，将数与形结合起来，培养学生的数形结合思想。

数字与图形是数学中两个非常重要的元素。学生在学习较为抽象的数学知识和思考相关问题的过程中，需要将数与形相结合，以形助数或者以数解形，这样才能让自己的学习更加高效。例如，在教学苏教版小学数学五年级下册第六单元中的圆的面积计算的内容时，考虑到如果直接列出公式，学生理解起来可能有一定的难度，于是教师指导学生在实验操作中说理，讲述圆的面积计算公式S=πr2的推导过程，帮助学生感悟数学中的数形结合思想。具体来说，教师先在黑板上画出1个圆，让学生想一想怎样计算这个圆的面积。有的学生认为，可以在圆中画出若干边长为1厘米的小方格，然后用数格子的方法计算出圆的面积；有的学生则认为，可以将圆切分重组，转换成其他图形，然后通过计算其他图形的面积来推导圆的面积。学生在分组讨论之后，普遍觉得采用数格子的方法较难数出圆边缘部分的小方格个数，得出的结果也不太准确，于是决定采用第二种方法。他们利用量角器，将圆平均分成16份，画出了16个小的扇形；然后将这16个扇形重新进行排列组合，得到了1个近似长方形的图形。此时，有的学生想到可以按照长方形的面积计算公式算出这个图形的面积，并说道：“长方形的面积计算公式是长×宽。在这个图形里，它的长等于圆周长的一半，也就是×2×π×r，它的宽等于圆的半径r，它的面积就等于S=π×r×r，由此就可以推导出圆的面积计算公式，即S=πr2。”

在上述案例中，教师在教学时，启发学生深度思考，指导学生通过实验操作，将圆切分重组成一个近似长方形的图形，成功推导出圆的面积计算公式，并用符号将其表示出来，从而更好地进行理解和记忆。学生在说理的过程中融会贯通，能够利用较为简单的图形解决较为复杂的数学问题，也能够用抽象的数学公式描述图形，促进了数与形的结合，深化了对于数学思想的认知。

结语

总的来说，说理教学可以为学生明理铺路。感悟数学思想，是学生抓住数学知识本质、形成学科核心素养的必经之路［3］。教师在教学过程中，可以通过创设情境、组织对话和引导学生