一类退化抛物方程的最优控制的存在唯一性

杜润梅,门天娇

(长春工业大学 数学与统计学院,吉林 长春 130012)

1 预备知识

本文考虑如下退化方程:

(1)

其中:QT=Ω×(0,T);Ω是N中的非空有界区域;边界∂Ω充分光滑;u∈L2(QT)是控制函数;函数满足a(x)>0,x∈Ω.注意到a(x)可能在边界为零,因此方程(1)是在边界退化的退化抛物方程.文献[1]根据a(x)的退化程度,把∂Ω分为三部分,即非退化部分Γ1、弱退化部分Γ2和强退化部分Γ3,具体定义如下:

Γ1={x∈∂Ω:a(x)>0};

Γ3={∂Ω(Γ1∪Γ2)}.

其中Bδ(x)是N中以x为中心,δ为半径的邻域.定义Σ=(Γ1∪Γ2)×(0,T).由文献[1-2]可知,方程(1)的解在Γ3×(0,T)上无迹,因此研究在初边值条件

y(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(2)

y(x,0)=y0(x),x∈Ω

(3)

下的解,其中y0∈L2(Ω).

退化抛物方程(1)来源于很多学科领域,例如金融学中的Black-Scholes模型[3]和气候学的Budyko-Sellers模型[4].由于退化抛物方程具有广泛的应用背景,关于退化抛物方程的控制理论的研究成果有很多.例如,在能控性方面的研究结果可以参看文献[5-7].然而,退化抛物方程在最优控制方面的结果还很少[8].本文研究的最优控制问题如下:

设yd∈L2(QT)是期望值,想寻找一个控制函数u使得问题(1)—(3)的解y与yd充分接近,同时希望控制u的成本也较小.

定义泛函

u∈Uad={u∈L∞(QT);α≤u(x,t)≤β,x∈Q},

其中k>0是一个比例因子.目标是寻找一个控制函数u∈Uad,使得泛函J在Uad中达到最小值.

由于方程在边界退化,该方程的解的正则性较弱,因此解空间不再是经典的Sovolev空间.引入一个加权空间作为方程的解空间,在该加权空间内有关Sobolev空间中的紧嵌入定理不再适用,为此,通过某些不等式估计得到证明所需要的收敛性.

本文先通过对极小化序列取极限证明了最优控制的存在性,其次通过变分方法得到了最优控制存在的必要条件及最优控制的表达式,最后通过优化系统的解的唯一性得到最优控制的唯一性.

2 主要结果及其证明

首先给出问题(1)—(3)解的适定性.

下的闭包.

引理1对于任意的u∈L2(QT),y0∈L2(Ω),问题(1)—(3)存在唯一弱解y,且满足

其中C2>0是仅依赖于Ω,T的常数.

证明首先证明存在性.对于任意的正整数k,考虑系统

(4)

y(k)(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(5)

y(k)(x,0)=y0(x),x∈Ω.

(6)

根据抛物方程经典理论,式(4)—(6)存在唯一弱解y(k),在式(4)两端乘y(k),并在QT上积分,可得

利用分部积分公式有

利用Hölder不等式和Gronwall不等式,可得

于是

即

同理

即

(7)

φ(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

φ(x,T)=0,x∈Ω

∬QTwgdxdt=0.

因此w(x,t)=0,a.e.于QT.由g(x,t)的任意性,因此

综上,存在唯一弱解.

下面证明泛函J(u)的极小值点的存在性.

证明令{u(n)}⊂Uad是J(u)的极小化序列,即

由引理1有

其中C与n无关.由于L2(QT)的有界集是弱列紧的,存在y*∈L2(QT)和w*∈L2(QT;N),使得

y(n)⇀y*于L2(QT),

(8)

(9)

因此有

由式(9)可知

由弱解定义,对任意的φ∈L∞((0,T);L2(Ω))∩L2(0,T;B),有

令n→∞,有

因此y*是式(1)—(3)在u=u*时的解.由L2范数的弱下半连续性有

定理2给出了u*是J(u)在Uad中的极小值点的必要条件.

定理2设u*是J(u)在Uad中的极小值点,y*是问题(1)—(3)当u=u*时的解.令p*是问题

(10)

p*(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(11)

p*(x,T)=0,x∈Ω

(12)

的解,则u*可以表示为

证明对任意v∈Uad,设yε是问题(1)—(3)相应于u=u*+εv的弱解.注意到yε-y*是问题(1)—(3)当u=0,y0=0时的解,由引理1有

yε→y*于L2(QT),ε→0.

(13)

令

(14)

则ω是问题

(15)

ω(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(16)

ω(x,0)=0,x∈Ω

(17)

的弱解,注意到

(18)

由式(13)—(14)、式(18),

(19)

由于ω是式(15)—(17)的弱解,取弱解定义中的检验函数为p*,可得

(20)

由于p*是式(4)—(6)的弱解,取弱解定义中的检验函数为ω,可得

(21)

由式(20)—(21)可得

∬QT(y*-yd)ωdxdt=∬QTvp*dxdt.

(22)

由u*是J(u)在Uad中的极小值点,因此,

由式(19)、(22)可得

∬QT(p*+ku*)vdxdt≥0.

由文献[9]中第二章定理2.28可知

定理2优化系统

(23)

(24)

y(x,t)=p(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(25)

y(x,0)=y0(x),p(x,T)=0,x∈Ω.

(26)

至多存在一个解.

(y1-y2)(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(y1-y2)(x,0)=0,x∈Ω

的弱解,取弱解定义中的检验函数为p1-p2,有

(27)

再由p1-p2是问题

(28)

(p1-p2)(x,t)=0,(x,t)∈Σ,

(29)

(p1-p2)(x,T)=0,x∈Ω

(30)

的弱解,取弱解定义中的检验函数为y1-y2,有

(31)

由式(27)和(31)可知

∬QT(y1-y2)2dxdt=∬QT(p1-p2)(u1-u2)dxdt≤0.

因此y1=y2,a.e.于QT.由式(28)—(30)的解的唯一性,可得p1=p2,a.e.于QT.因此系统式(23)—(26)至多存在一个解.

由定理2和定理3可知J(u)在Uad中存在唯一的最小值点u*.