融合算术与代数，理解等号的意义

浙江温州市瓯海区实验小学（325000） 杨 汇

“数与代数”是小学阶段数学学习的重要内容。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）强调了“数与代数”的一致性，具体内容包括理解四则运算的意义和理解等式的基本性质。其中，“理解等式的基本性质”的具体要求包括“了解符号‘=’的含义”和“能在具体问题中感受等式的基本性质”，从而体会等号表示等量关系的意义。这一教育标准相较于《义务教育数学课程标准（2011 年版）》新增了“例17：等式的基本性质”，强调等号不代表运算的递推，也不代表运算的结果，而应该理解为等号两边的量相等。

在小学阶段，等号广泛应用于算式中，但学生常常误认为等号只表示“计算的结果是……”。例如，“3+4=□”这类问题中，学生往往将等号视为输出结果，容易在□中写入“7”。而在遇到数字在前、式子在后的题目时，如“4=9-□”，学生可能会误以为需要从右向左计算。实际上，这里需要将等号视为表示等价关系的符号，并形成平衡的观念。

学者伦威克指出，学生将等号看作一个操作符号的观念往往源自早期的算术训练，在教学实施过程中融合算术与代数可以帮助学生更好地理解“等价”的概念。然而，研究者基兰和科利斯认为，学生认知的局限性导致他们对符号“关系性”的理解受限，但对等号性质的理解会随着年龄增长而提升。因此，本研究旨在《课程标准》的引领下，探讨以下问题：

（1）分析学生在解决不同类型等式时的表现，以了解学生对等号意义的理解处于何种阶段；

（2）研究是否可以通过改变教学方式来促进不同阶段学生对等号意义的理解。

本研究的主题集中在对等号的理解上，目标是了解学生在编写算式时，是仅将等号视为运算符号，还是能够将等号视为等价关系的符号，并能同时观察、比较等号两边的表达式。

一、研究方法

1.研究工具

结合莫利纳和安布罗斯编制的解决缺少项的等式思维方式理论框架，通过分析学生解决“a±b=c，c=a±b以及a±b=c±d”这些不同形式的等式的方式，把学生对等号意义的理解分为以下阶段（见表1）。

表1 理解等号意义研究内容框架

2.分析框架

结合一年级学生的运算能力，在本研究的分析框架中，笔者将以学生具体的解题思路作为考查学生对等号意义的理解程度的一个重要方面，并从下面两个方面展开：（1）解题结果（记为“R”），是指计算结果的正确率；（2）解题思路（记为“T”），指向学生对不同形式等式的思考过程。（见表2）

表2 理解等号意义的两个方面及指标

3.研究框架

本研究随机选取了某学校一年级学生40 名，主要采用调查法和个案研究法进行研究，先从学生的解题结果、解题思路两个方面进行分析，划分出学生对理解等号意义的四个阶段；再根据学生“理解等号意义”的阶段选出个案进行深入研究，具体而言，研究关注处于运算阶段的学生和处于不稳定阶段的学生，并通过个案研究的方式探究他们对等号意义的理解是否能够得到发展。

二、调查分析

本研究随机选择一年级学生40 名，要求他们独立作答。对收回40 份测试结果的分析如下（见表3）。

表3 测试题目类型及正确率

1.质性分析：学生对等号的理解现状

正如表2 所示，本研究的分析框架中的每个方面都有具体的指标。R 的指标主要是考查学生计算是否正确；而在T 方面，基于学生解算式时的思路，分析学生对等号意义的理解所处阶段。以下是针对这两个方面所得出的学生对等号理解的现状分析。

（1）关于R（解题结果）的分析

从解题结果来看，“3+5=□”和“□=5+2”是学生常常接触的题，所有学生都能写出正确答案；对于“2=□-7”这道题，学生给出了9、5 两种答案，解答正确的只有14 人；对于“13-6=□+5”这道题，学生给出了7、1、2三种答案，解答正确的只有5人，其中27 人填写7；对于“5+□=9+4”这道题，学生给出的答案有4、13、8，解答正确的只有9 人。5 道题都答对的只有5人。

（2）关于T（解题思路）的分析

为更好地了解学生的解题思路，笔者对学生进行了单独访谈。

①对“3+5=□”和“□=5+2”解题思路的分析

“3+5=□”和“□=5+2”这两道题的正确率是100%，所有学生都认为“3+5=□”就是把3与5合在一起，所以□里填8。对于“□=5+2”，学生的理解是把2 和5 合在一起，从右往左计算。学生非常熟悉这两种类型的题，根据他们的解题思路，可以判断出所有学生都已经达到T（解题思路）中的第2层次指标“认为等号就是从左到右或者从右到左计算的符号”，对等号意义的理解已经达到运算阶段。

②对“2=□-7”和“13-6=□+5”解题思路的分析

对于“2=□-7”，结果填5 的学生，他们认为7减5 等于2，这种类型的算式就是从右往左计算。有14 名学生认为等号就是表示两边同样多，显然，他们知道等号的等价性质。

③对于“13-6=□+5”解题思路的分析

对于“13-6=□+5”，认为答案是7 的学生觉得13减6等于7，当笔者追问“+5”是什么意思时，他们认为“+5”是之后需要再添加的。认为答案是1 的学生将等式右边的表达式理解为6 可以分成几和5。由此可见，大部分学生还没有理解等号的等价性质，对等号的理解仅仅停留在运算阶段。他们觉得等式就是一堆数字和符号，只要在等号的另一边写出结果就可以了。

④对“5+□=9+4”解题思路的分析

“5+□=9+4”这道题的正确率非常低，15%的学生都认为□里应该填4，他们认为5 加4 等于9，但是不清楚后面的“+4”是什么意思；62.5%的学生认为答案是13，是从右往左计算，但不清楚“5+”是什么意思。

5道题目都答对的5名学生在计算时会先算出等号一边的结果，再写出另一边方框中的数字，将等号两边的表达式看作一个整体，能理解等号是表示等价的符号，对等号的理解处于关系阶段。其中一名学生发现在算式“5+□=9+4”中，等号左边的5比右边的4多1，要想让等号两边同样多，□里的数要比9少1。另一名学生一边说一边用箭头将算式两边的5和4连接起来，并在箭头上方写上“-1”，同时将9 和“□”连起来，于是得到□里的数应该比9少1，填8。这两名学生不仅清楚等号是表示等价的符号，还能同时观察、比较等号两边的表达式，运用等价与抵消的方法，他们对等号的理解处于完全关系阶段。

2.量化分析：学生理解等号的四个阶段

在对测试情况进行量化分析时，也可以表2 中两个方面的每个指标为依据。学生在解题结果方面答对几题，就得几分；学生在解题思路方面提到了与第几个指标类似的内容，就可得到几分。因此，学生在每一个方面分别都可得到0～5 分，两个方面加起来，就可能得到0～10分。

经过量化处理后，在40 份样本中，得分最高为10分，最低为4分，中位数是4分。表4是一年级学生在两个方面的得分及总分的平均值。

表4 一年级学生在解题结果、解题思路方面及总分的平均值

结合表1与表2，根据学生的得分情况，可对学生理解等号的阶段进行划分。总分是10 分的处于完全关系阶段；总分在8～9 分的处于关系阶段；总分在5～7 分的处于不稳定阶段；总分为4 分的处于运算阶段。（见表5）

表5 一年级学生理解等号的阶段划分

同时，借助SPSS 软件对学生关于解题结果、解题思路这两个方面的得分做相关性分析，可以得到：R与T之间在0.01水平上显著相关。

3.个案分析：理解等号的关系性

本个案研究分两次进行，第一次借助数学实验课“数字天平”，帮助学生构建初步的平衡表象，建立平衡和等号的关系，扩大对等号意义的理解；第二次检验教学结果，通过解答“a±b=c±d”类型的算式，检验学生能否通过合适的教学方式理解等号的关系性。个案选取处于运算阶段的学生a 和处于不稳定阶段的学生b。

（1）从运算阶段发展到关系阶段的个案

学生a 对等号的理解处于运算阶段，对“a±b=c±d”类型的算式仍然会用从左往右或者从右往左计算的方式来解题，认为等号就是表示结果的符号。

为检验学生a 是否真正理解等号的关系性，笔者选择用题目“9+△=□+4，△、□分别有哪些可能？”检验学生的学习成果。学生a 在思考片刻后得出答案（如图1）。

图1 从运算阶段发展到关系阶段的个案检测

学生解释：先确定左边可以等于几，想9加3等于12，右边也要等于12，也就是想几加4 等于12，再继续这样想，只要等号两边同样多就可以了。

可见，学生a 在思考“9+△=□+4”时没有借助数字天平，还是能很清晰地表述思考过程，说明他能理解等号是一种等价符号，并且能运用“等号两边同样多”去解答。

（2）从不稳定阶段发展到完全关系阶段的个案

学生b 在教学前处于理解等号的不稳定阶段，在计算“2=□-7”时会正确读2 等于几减7，但是对等号关系性的理解还不透彻。在教学“数字天平”之后，笔者认为该学生对等号的理解应该能达到关系阶段，于是同样用“9+△=□+4，△、□分别有哪些可能？”检验学生b的学习成果。学生b给出如下答案（如图2）。

图2 从不稳定阶段发展到完全关系阶段的个案检测

学生b：可以想9加0等于9，右边也要和这个9相等，要想几加4等于9；接着让左边的数一个一个多起来，右边的数也跟着一个一个多起来。

学生b：我发现，□里的数总是比△里的数多5。

师：为什么总会多5呢？

学生b：因为左边的9 比右边的4 多5，要保持平衡，右边□里的数就要比左边△里的数多5。

从学生b 的表述可以发现，他不仅能理解“式=式”，还能使用等价与抵消的思想，对等号的理解已经处于完全关系阶段。

三、研究结论与建议

1.研究结论

（1）学生理解等号的关系性存在困难

根据测试结果可以发现，在解决“c=a±b、a±b=c±d”这种部分数未知的非典型算式时，学生会将等号仅仅理解为输出结果的符号，很难理解“等号两边同样多”的道理。可见，大部分学生认为等号只是“输出结果的符号”，对等号意义的理解停留在运算阶段，认知存在局限性。（2）学生对等号的理解存在四个阶段

前文提到，学生对等号的理解可划分为运算阶段、不稳定阶段、关系阶段和完全关系阶段四个阶段。在运算阶段，学生将等号视为操作符号，用于执行数学运算。在不稳定阶段，学生明白等号两边应该拥有同样多的内容，但对等号的等价性理解尚不深刻。在关系阶段，学生能够正确理解等号表示的是数学关系，将等式两边的量视为相等或等价的。在完全关系阶段，学对等号的理解更进一步，不仅理解等号的等价意义，还能够同时观察、比较等号两边的表达式。

（3）可以通过合适的教学方式发展学生对等号意义的理解

学生a 和学生b 在教学后都能够达到预期目标，甚至学生b 能够超出预期，达到完全关系阶段。这表明不同阶段的学生在适当的教学方式下都能够理解相等关系。因此，教师应该致力于帮助学生理解等号的传递性和对称性，将等号的意义从仅仅是“操作—结果”的理解延伸为“关系—等价”的理解。在数学教学中，特别是在“数与代数”这一内容的教学中，教师应该密切融合知识，使学生更好地理解数学符号的含义，并在算术规则中培养他们的符号意识。

2.研究建议

（1）在日常教学中，发展等号的传递性

在不断的训练中，学生会把“运算”定位为“得到结果”。而在学生后续接触代数时，怎样更好地联结代数与算术？在日常教学中，教师可以拓展学生对符号意义的认识。例如在教学加、减法之后，可以借助天平和具体物品帮助学生理解等号的传递性。

（2）借助数字天平，渗透平衡与等价观念

借助数字天平，学生能清晰地体会到等号的另一种意义——表示两边同样多。在使天平平衡的过程中，学生也能直观地理解等号的等价意义，并学会构建四种类型的等式：左右两边都挂同一个数字，如“10+10=10+10”；交换加数的位置，仍然相等，如“8+5=5+8”；“数=式”，如“10=4+6”；左右两边不相等，甚至个数也不同，但和相等，即“式=式”，如“3+1=1+1+2”“5+2+1=2+3+3”。

将等号的意义从“结果”延伸为“等价”具有重要意义。在教学乘法之后，教师还可以继续拓展，给出等号两边包含不同运算类型的等式，如“4+5+6=5×□”，为学生初中学习等式的性质打下基础。

（3）借助图形等式，探寻等号的对称性

让学生接触图形等式主要有两个目的：一是形成未知数参与运算的观念；二是感受等号的对称性。对于方程，字母参与运算、等号的两种意义都是学生学习的一大难点，在小学低学段，可以通过图形算式理解“未知数也能参与运算”。

例如，结合同数连加表示乘法，根据除法的意义（平均分和包含除），可以深化图形等式。通过图形等式，学生既可以知道图形代表的数，还可以借助数量关系推理出图形与图形之间的关系。例如，学生借助图示能够感知到圆柱和长方体之间的体积关系“7×圆柱=圆柱+2×长方体”，从而发现“6 个圆柱=2 个长方体”。运用数量关系重构新的条件，是解决问题的关键。

在代数结构中，学生常常感到困惑的是如何寻找式子之间的联系，而理解等号的意义有助于他们更有条理地思考和分析数量关系。

综上，融合了“算术与代数”的学习活动对学生关系性思维的发展起到了积极的作用。本次研究的样本为一年级学生，但学生对等号的学习将会持续下去。因此，今后的研究将关注第二学段、第三学段的学生对等号的理解，特别是涉及“数的结构”和“数量关系”两个方面的研究，以进一步探讨这一重要数学概念的发展和教学方法。