基于自适应增量Kriging模型的多目标稳健优化设计方法

田宗睿　智鹏鹏　云国丽　郭新凯　官毅

摘要：提出了一种自适应增量Kriging模型的多目标稳健优化设计方法。依据结构特征及优化目标，构建了增量Kriging代理模型，并提出混合加点采样策略，提高增量Kriging代理模型的自适应性；提出了柯西变异多目标粒子群优化（CMMOPSO）算法，通过改进惯性权重因子、个体学习因子和社会学习因子，同时引入柯西变异策略，提高优化模型求解的效率和精度；构建以结构相关参数为设计变量、性能指标标准差为目标、3σ变量缩减区间为约束的优化模型，综合CMMOPSO算法和灰色关联分析获得多目标稳健优化最优解。算例分析结果表明，所提方法不仅能够以较少的性能函数调用次数获得高精度结构优化模型，而且优化结果与传统方法相比，收敛速度更快、稳健性更好。

关键词：增量Kriging代理模型；混合加点策略；多目标粒子群算法；多目标稳健优化设计

中图分类号：U270

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.08.007

Multi-objective Robust Optimization Design Method Based on Adaptive Incremental Kriging Model

TIAN Zongrui1，2 ZHI Pengpeng1，4，5 YUN Guoli GUO Xinkai4 GUAN Yi5

Abstract： A multi-objective robust optimization design method of adaptive incremental Kriging model was proposed. Firstly， according to the structural characteristics and optimization objectives， the incremental Kriging surrogate model was constructed， and a hybrid sampling strategy was proposed to improve the adaptability of the incremental Kriging surrogate model. Secondly， the Cauchy mutation MOPSO（CMMOPSO） algorithm was proposed. By improving the inertia weight factor， individual learning factor and social learning factor， and introducing the Cauchy mutation strategy， the efficiency and precision of the optimization model were improved. Finally， an optimization model was constructed with the structural parameters as the design variables， the standard deviation of the performance indicators as the objective， and the 3σ variable reduction interval as the constraint. The optimal solutions of multi-objective robust optimization were obtained combining CMMOPSO and grey correlation analysis. Analysis results of the example show that the proposed method may obtain a high-precision structural optimization model with fewer performance function calls， and the optimization results have faster convergence rate and better robustness than that of traditional methods.

Key words： incremental Kriging surrogate model; mixed point strategy; multi-objective particle swarm optimization（MOPSO） algorithm; multi-objective robust optimization design

0 引言

傳统的稳健优化方法包括：田口稳健优化、基于容差模型的稳健优化、基于随机模型的稳健优化方法等。由于这些方法属于数值方法，不适用于实际工程中需要大规模不确定性分析的黑箱函数问题，因此发展高效且适用范围广的稳健优化方法迫在眉睫。

目前相对有效的方法是基于代理模型的稳健优化方法，国内外众多学者对此进行了研究。LUO等［1］将代理辅助梯度方法应用于涡轮机叶片气动稳健优化中。RAFIEE等［2］使用Box-Behnken响应面法的十维代理模型与粒子群优化相结合，完成外转子永磁电机的稳健设计。TAO等［3］将PCA-DBN代理模型嵌入改进的粒子群优化框架中，并将其应用于自然层流翼型和跨音速机翼的稳健气动设计优化。LIU等［4］利用Kriging模型和田口法对悬挂式单轨车辆参数进行稳健优化。刘太素等［5］基于稀疏混沌多项式展开模型进行了输弹协调机构的稳健优化设计。万良琪等［6］针对复杂装备精密产品提出一种基于多项式混沌扩展的6σ稳健优化设计方法。向国齐等［7］提出一种基于支持向量机和粒子群算法结合的稳健优化方法。上述学者对稳健优化的研究过程主要采用“代理模型+智能进化算法”的逻辑结构，虽然得到了令人满意的结果，但均是在大量仿真试验的基础上展开研究的，未充分利用代理模型的优势，也忽略了求解精度和求解效率。

利用Kriging模型进行稳健优化设计是解决上述问题的有效途径。通过序贯Kriging采样方法，可有效处理稳健优化目标的不确定性，也能避免传统静态Kriging模型一次采样产生低精度预测的缺点。针对单点加点准则，XIAO等［8］提出了加权期望提高准则（weighted expected improvement， WEI），并应用在电磁设计中。AMINE等［9］在期望提高准则（expected improvement， EI）的基础上提出了WB2准则，增强了局部搜索能力。王彦等［10］提出了nEI准则，与EI准则相比，可得到更高精度的模型，但牺牲了迭代速度。

上述学者对单点加点准则展开了研究，但是能够提高采样效率的多点加点策略能与并行计算相结合，在近年来受到了更广泛的关注。针对多点加点准则，ZHAN等［11］提出伪期望改进准则，通过建立影响函数进行多点加点。LI等［12］开发了一种名为期望提高和交互信息（expected improvement and mutual information， EI&MI）的多点填充准则。陈鹏等［13］结合最小响应面准则（minimizing prediction， MP）和EI准则，提出了一种双加点动态Kriging模型。乐春宇等［14］利用EI和WB2准则设计了两阶段并行采样策略。谢延敏等［15］通过并行使用EI准则，在迭代过程中能够增加两个采样点，有效提高了模型的拟合精度。上述研究均提高了黑箱函数的局部精度和最优点附件的精度，但是在稳健优化设计中仍需考虑设计域全局精度的拟合效果。

针对上述问题，为获得高质量的黑箱函数拟合样本，兼顾多目标稳健优化设计的求解精度和效率，本文提出一种基于自适应Kriging模型的多目标稳健优化设计方法。与现有方法相比，通过融合EI准则、MP准则和最大方差准则（maximizing square error， MSE）的采样特性，提出了自适应增量Kriging代理模型的并行加点方法；在此基础上，提出了能够高效解决多目标稳健优化问题的柯西变异多目标粒子群優化

（Cauchy mutation multiple objective particle swarm optimization，CMMOPSO）算法；通过数值算例和工程算例进行了验证。

1 自适应增量Kriging模型

在实际工程中，结构性能的评估指标通常利用仿真过程实现，但是过多的仿真计算不但会增加计算成本，也会降低分析过程的计算速度。因此，针对稳健优化过程，在增量Kriging模型的基础上，通过引入自适应混合加点策略，考虑距离阈值的样本删除策略和自适应收敛准则，提出一种能够高效拟合结构性能指标的自适应增量Kriging模型。

1.1 增量Kriging模型基本原理

增量Kriging模型［16］可看成是在普通Kriging模型的基础上进行了理论拓展。与普通Kriging模型相比，增量Kriging模型能够避免相关函数矩阵求逆耗时的弊端，在模型每次更新时不需要重新计算，能够有效提高Kriging模型的建模效率。

（1）根据工程要求，确定结构性能的多个评估指标，以及稳健优化的设计变量x=（x1，x2，…，xM）T和设计空间（xL，xU）。

（2）对设计变量x=（x1，x2，…，xM）T进行拉丁超立方抽样，通过仿真分析输出性能评估指标真实响应值y=（y1，y2，…，yM）T，建立初始增量Kriging模型。

（3）根据混合加点策略，更新Kriging模型。通过迭代加点，基于当前样本库建立增量Kriging模型，同时将更新点加入样本库。每完成一次迭代，迭代次数增加1，即k←k+1，当RMSE值满足eRMSE≤ε（其中ε为精度阈值）时停止加点，进行步骤（4）；否则返回步骤（3）。

（4）建立性能评估指标的Kriging代理模型。通过对设计变量x′=（x′1，x′2，…，x′M）T进行拉丁超立方抽样，获得性能评估指标的预测样本y′=（y′1，y′2，…，y′M）T。

（5）对每组拉丁超立方抽样样本进行蒙特卡罗抽样，获得性能评估指标的标准差σMC=（σ1，σ2，…，σM），并建立性能评估指标的标准差Kriging代理模型。

（6）以性能评估指标的标准差为优化目标，以基于3σ准则的缩减区间为约束条件，建立多目标稳健优化模型。

（7）利用CMMOPSO算法计算多目标稳健优化模型，输出帕累托解集。

（8）根据灰色关联分析筛选出最优帕累托最优解。

（9）输出最优稳健优化结果。

5 方法验证及工程应用

5.1 自适应增量Kriging模型有效性验证

为进一步确定混合加点准则的合理性，选择经典的EI、EI+MP、Kriging believer（KB）方法［18］进行对比。其中EI方法进行单点加点，EI+MP方法进行双点加点，KB方法和本文方法进行四点加点。选择six-hump camel-back（SC）函数算例进行方法验证，其函数图像如图2所示。

由图2所示，SC函数是一个高度非线性函数，能够有效验证混合加点策略的应用可行性和广泛性，具体表达式为

在本算例中，设置初始拟合样本量为20，当eRMSE＜0.01时，停止迭代。

利用拉丁超立方抽样随机生成50个样本点作为Kriging模型精度验证的测试样本，具体数据见表1。

利用表1中的50组测试样本计算Kriging模型的RMSE，其值随加点迭代过程的变化如图3所示。由图3可知，本文方法在第16次迭代时达到收敛条件，而KB和EI+MP方法分别需要20和54次；EI+MP方法迭代次数最多，当迭代次数为70时RMSE仍未收敛到0.01，这是由于该方法只关注了局部和全局极小值处的精度，忽略了极大值和不确定样本的影响。由此可知，所提方法在迭代次数方面表现出了显著优势。

加点总样本数对迭代次数的变化过程如图4所示。由图4可知，在保证初始拟合样本数目相同的条件下，本文方法的迭代次数为16时总样本数为58，与EI方法相比减少了20.55%，与KB方法相比减少了32.56%。EI+MP方法所需样本数最多，当迭代次数为70时总样本数为157。结果表明本文方法能够调用最少的仿真次数，降低计算成本。

本文方法拟合函数在等高线图中的加点情况如图5所示。由图5可知，拉丁超立方抽样生成的初始拟合样本分布均匀性和随机性较好。所提方法的新增样本不仅在函数的取值边界处和极值处采样，在函数等高线图的山谷、山峰和山脊处也能够兼顾采样，表明所提方法能够考虑非线性函数全局空间的所有特征，具有良好的可行性和应用价值。

4种方法的对比结果见表2。由表2可知，与EI、EI+MP、KB方法相比，本文方法在迭代次数和调用仿真获得的总样本数方面均表现出不俗的优势。由此可知，本文方法可在一次迭代中增加多个点，提高了代理模型的拟合效率，同时由总样本数可知，本文方法能够明显减少仿真次数，具有良好的经济效益。

5.2 动车组制动模块多目标稳健优化

制动模块作为动车组制动系统的重要组成部分，会承担各种形式的载荷，从而引起列车的多种失效形式，所以对制动模块进行性能仿真优化具有重要意义。首先，利用HyperMesh软件建立制动模块有限元模型，单元类型主要包括SHELL181、MASS21和BEAM188。其中SHELL181包括四节点四边形单元和三角形三节点单元，网格大小约为10 mm。有限元模型共包含49 868个节点和48 057个单元。模型性能分析属于静强度分析范畴，在4个制动吊座处分别施加X/Y/Z方向、X/Y方向、Y/Z方向和Z方向的位移约束，制动模块有限元模型如图6所示。

根据BS EN12663—2010《铁路应用车辆车身的结构要求》［19］标准，确定制动模块的超载工况见表3。选择工况1作为稳健优化的基础。利用ANSYS对工况1進行静强度仿真分析，得到的应力云图见图7。由图7可知，动车组制动模块的结构应力最大值为223.254 MPa，发生在支撑架外侧横向梁和内侧纵向梁的连接处，该处的许用应力最大值为235 MPa，满足要求。但是，由于制动模块在设计和使用过程中容易受到不确定因素的影响，容易超过安全余量，因此该模型仍有优化空间。考虑制动模块结构设计过程中板厚的不确定性，借助ANSYS和MATLAB对其进行稳健优化。

首先，根据稳健优化流程，选择不同结构的板厚作为随机变量，各变量的分布特征见表4。

其次，选择制动模块的应力和质量作为性能评估指标。利用拉丁超立方抽样方法建立应力和质量的增量Kriging模型。确定应力和质量的初始拟合样本量分别为20和10，测试样本量为10，通过有限元分析获得真实输出响应值。当eRMSE＜0.1时，停止加点。

通过混合加点准则，获得应力迭代曲线见图8，质量迭代曲线见图9。由图8可知，对于应力Kriging模型，本文方法收敛速度最快，迭代17次即可达到应力精度要求，EI方法最多需要迭代139次达到精度要求。由图9可知，对于质量Kriging模型，本文方法收敛速度最快，迭代9次即可达到应力精度要求，EI方法最多需要迭代66次达到精度要求。

将所有算法的计算结果进行对比，具体见表5。由表5可知，对应力进行Kriging代理模型拟合时，本文方法的迭代次数最少为17次，通过仿真获得的样本点数最少为65个，所用时间仅为87.68 s。对质量进行Kriging代理模型拟合时，本文方法的迭代次数最少为9次，通过仿真获得的样本点数最少为33个，所用时间仅为45.91 s，表明建立的混合加点增量Kriging能够通过更少的样本点获得所需的模型精度。

根据图1所示的稳健优化流程图，对制动模块的应力和质量进行稳健优化。建立稳健优化数学模型表达式：

式中，σs为应力s的标准差；σm为质量m的标准差；XRi为相应变量的标准差，其中XRi=0.03μXi，μXi为各变量的均值。

利用CMMOPSO算法对确定性和稳健性优化数学模型进行计算，得到确定性优化的帕累托解集如图10所示，稳健性优化的帕累托解集如图11所示。由图10可知，与MOPSO算法得到的帕累托解集相比，CMMOPSO算法得到的帕累托解集的分布具有均匀性和广泛性，应力值在［250，350］区间时，CMMOPSO算法得到的解集能够支配MOPSO算法得到的解集，表明算法收敛性更强。由图11可知，当σs在［2，6］区间时，CMMOPSO算法得到的解集在均匀性、收敛性和广泛性方面均表现出较强的优势，表明CMMOPSO算法输出的帕累托解对制动模块的稳健优化具有工程价值和参考意义。

通过计算帕累托解集的灰色关联度，评估帕累托解的优劣。选择灰色关联度最大的帕累托解作为最佳多目标优化解。确定性优化和稳健性优化帕累托解集的灰色关联度结果如图12所示。根据图12中输出的确定性优化和稳健性优化的最优解，将其代入Kriging模型中计算，最终优化结果对比见表6。由表6可知，与原始方案相比，确定性和稳健性优化后的应力和质量均有所减小，表明确定性和稳健性优化效果良好。与确定性优化相比，稳健性优化得到的应力均值减小了3.16%，质量均值增大了6.54%，应力标准差减小了27.84%，质量标准差减小了15.12%。综上所述，稳健性优化明显减小了应力和质量的标准差，减小了制动模块产品的性能波动，提高了产品质量特性，证明了所提混合加点增量Kriging模型的多目标稳健优化设计方法的有效性。

6 结论

（1）本文提出自适应增量Kriging模型的建立方法，克服了传统一次建模精度低的缺点。结果表明：所提方法能够有效提高模型精度，同时减少模型所需样本点数量，降低了模型创建成本。

（2）提出CMMOPSO算法，解决了原始MOPSO算法收敛效率低和易陷入局部最优解的缺点。结果表明：改进算法所得帕累托解集的收敛性、均匀性和广泛性均有所改善，提高了算法的综合计算性能。

（3）数值和工程结果表明：利用自适应增量Kriging模型能够高效建立复杂非线性黑箱函数的代理模型；采用CMMOPSO算法进行稳健优化能够得到均匀性和广泛性更佳的帕累托解集。稳健优化后制动模块的质量波动减小，结构稳健性提高，进一步证明了方法的高效性，对机械结构的改进及优化具有重要的工程意义和研究价值。

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（编辑 王旻玥）

作者简介：

田宗睿，男，1997年生，硕士研究生。研究方向为基于代理模型的优化设计与可靠性分析方法。E-mail：tianzongrui9731@163.com。

智鹏鹏（通信作者），男，1989年生，博士、助理研究员。E-mail：zhipeng17@yeah.net。

收稿日期：2022-08-08

基金项目：广东省基础与应用基础研究基金（2021A1515110308）；四川省自然科学基金（2022NSFSC1941）