武宇宇,高云柱
(北华大学 数学与统计学院,吉林 吉林 132013)
考虑如下具有变指数的对数非线性项的Kirchhoff型黏弹性波动方程:
(1)
其中Ω是n(n≥1)上具有光滑边界∂Ω的有界域.令M(s)=α+βsγ,α,β≥0,γ≥1.不失一般性,假设α=β=1.
设指数函数p(·)和q(·)是Ω上的可测函数,且满足
2≤p-≤p(x)≤p+ (2) 函数g(t)满足如下条件: (H2)g(τ)≥0,g′(τ)≤0且 近年来,具有变指数的偏微分方程受到广泛关注,关于该类方程解的存在性、渐近性和爆破性研究已有很多结果[1-6].目前,具有对数非线性项的偏微分方程的研究也备受关注[7-8],而关于具有变指数的对数非线性项的相关研究结果相对较少[9]. 本文记‖u‖L2(Ω)=‖u‖,‖u‖Lp(Ω)=‖u‖p.本文的C,c表示常数,在不同之处可取不同值. 设p:Ω→[1,∞)是一个可测函数,Ω是n上的有界域,则变指数Lebesgue空间Lp(x)(Ω)定义为 给空间Lp(x)(Ω)赋予Luxemburg范数 这里Lp(x)(Ω)是一个Banach空间.变指数Sobolev空间W1,p(x)(Ω)定义为 W1,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):u存在且|u|∈Lp(x)(Ω)}. 易知,变指数Sobolev空间也是一个Banach空间,且有如下范数: ‖u‖1,p(x)=‖u‖p(x)+‖u‖p(x). (3) 这里A>0,0<δ<1. 引理1[10]设Ω是n上的有界域,p(·)满足Log-Hölder连续条件,则对任意的有‖u‖p(·)≤C‖u‖p(·),其中C=C(p-,p+,|Ω|)>0. 引理3[7]对任意的θ>0,有 类似文献[2,6],易得如下问题(1)弱解的存在性定理: 引理4假设条件(H1),(H2)和式(2),(3)成立,则 是一个非增函数,且 证明: 将式(1)乘ut,并在Ω上积分可得 估计式(5)等号左端最后一项,有 将式(6)代入(5)得 ‖u‖2(γ+1) 证明: 由E(0)<0和式(4)可得 这里Ω1={x∈Ω: |u|<1},Ω2={x∈Ω: |u|≥1}.故 (10) (11) ‖u‖2(γ+1) 证明: 1)和2)的证明过程可参见文献[6].下面证明3)~5). 由H(t)的定义和条件(H1),可得 将式(12)代入1)可得 因此,3)得证.4)是3)的特殊情形. (13) (14) 令H(t)=-E(t),由式(7)可知,H(t)>0.由H(t)的定义和式(9),可知 (15) 由式(11)和引理5,可得 结合式(15)和式(16),有 (17) 所以 (18) 结合式(14)和式(18)可得 其中 (a+b)p≤2p-1(ap+bp). (19) 当Aq(·)(u)≥1时,有 当Aq(·)(u)<1时,有 因此结论得证. 证明: 结合引理6中5)和式(17),可得 (20) 将Ψ(t)定义为 (21) 其中ε充分小,且 (22) 对式(21)求导可得 将式(1)乘u并在Ω上积分,可得 所以 由Cauchy-Schwarz不等式和Young’s不等式,得 (24) 将式(24)代入式(23),有 将等式H(t)两边同乘(-εq-(1-ξ)),得 这里0<ξ<1.在式(25)的不等号右边同时加、减式(26),得 当ξ充分小时,可得 这里 若存在X,Y≥0,η>0,l′,l∈+,满足条件则Young’s不等式成立.因此,可得 (29) 这里η是一个与时间t有关的常数.将式(29)代入(28)得 选取η,使其满足η-p(x)/(p(x)-1)=kH-σ(t),其中k>0充分大.则 利用引理6中5)和式(20),通过简单计算可得 由引理6和式(22),有 或者 结合引理6中1)可得 (33) 将式(33)代入式(31),得 因此,结合引理6中5)和式(34)可得 另一方面,由Hölder不等式得 由Young’s不等式,有 (36) 这里s=2/(1-2σ)≤q-.利用引理6中4)可得 结合式(19)和式(21)可得 由式(35)和式(37)可得 Ψ′(t)≥ζΨ1/(1-σ)(t), (38)1 预备知识
2 主要结果