一类强奇异Kirchhoff型分数阶拉普拉斯问题正解的唯一性结果

蔡序军,吴克晴

(江西理工大学 理学院,江西 赣州 341000)

0 引言

本文讨论以下涉及分数阶拉普拉斯的Kirchhoff型问题正解的唯一性:

(1)

问题(1)与Kirchhoff在文献[1]中引入如下的物理模型有关:

(2)

文献[8]中,Sun研究强奇异次临界Laplace问题,给出了在一定条件下解的存在唯一性.在基尔霍夫型分数阶的背景下,Fiscella[9]运用变分法和截断方法证明了弱奇异退化基尔霍夫型分数阶问题有两个正解.考虑基尔霍夫函数M(t)=a+btθ-1时,Fiscella和Mishra在文献[10]中证明弱奇异临界问题当b充分小时有两个正解.最近,Wang等在文献[11]中证明了Sun[8]的结果在基尔霍夫型分数阶的背景下依然成立,但临界问题依然无法解决.

受上述工作的启发,笔者对γ>1的临界问题(1)正解的唯一性进行研究.研究这个问题的主要困难是u-γ的不可积性和f(x)的不确定性,以及分数阶拉普拉斯算子的非局部性质和Kirchhoff函数的退化特征.为了克服这些困难,将Sun[8]所做的启发性工作应用变分技术,并基于适当的约束恢复可积性.

1 预备知识

首先,给出一些后面会用到的定义和符号.令Q=(R3×R3)(CΩ×CΩ),其中CΩ=R3Ω.定义

空间E被赋予以下范数:

(3)

此外,用如下的E0表示E的线性子空间:

E0:={u∈E:在R3Ω中几乎处处u=0}.

通过文献[12]可知,空间E0是一个希尔伯特空间,它可以被赋予以下标量积和范数

(4)

(5)

(6)

与问题(1)相关的能量泛函I:E0→R定义如下:

函数u∈E0被称为问题(1)的弱解,如果u>0满足

本文的主要结果如下.

定理1假设γ∈(1,+∞)和f∈L1(Ω)在Ω中几乎处处为正,那么,问题(1)存在唯一正解u0∈E0,当且仅当存在u*∈E0,使得

(7)

2 主要引理

由于γ>1,泛函I在E0上非良定.为了获得问题(1)的解,定义了以下两个约束集:

和

现在,研究上述两个约束集的以下性质.

引理1若γ∈(1,+∞)和式(7)成立,则N和N*是非空的.此外,N是E0中的无界闭集.

由于I(|u|)=I(u),通过Fatou引理可得

这推断出u∈N.证毕.

引理2假设γ∈(1,+∞)和f∈L1(Ω)在Ω中几乎处处为正.对任意的u∈N*有u≥0,以及φ∈E0有φ>0,存在ε>0和一个连续函数t:Bε(0)→R+使得t(τ)(u+τφ)∈N*,其中选择τ∈R+使得‖τφ‖<ε.

证明对任意的u∈N*,定义F:R×R→R,

显然,F(t,τ)有定义.简单计算得出

因为u∈N*,得到

然后,将隐函数定理应用于点(1,0)处的F,可得ε>0和连续函数t=t(τ)>0,满足对任意的τ∈R+,‖τφ‖<ε,有t(0)=1,t(τ)(u+τφ)∈N*.

引理3若γ∈(1,+∞)和(7)成立,则存在u0∈N*使得I(u0)=m.

证明因为γ>1,可得

(8)

(9)

此外,鉴于γ>1和Fatou引理,得到

因此,有

(10)

这推断出I(u0)=m,u0∈N*( i.e.t(u0)=1).

3 定理1的证明

定理1的证明显然,必要性是正确的.现在,只需证明充分性.分以下两种情况来证明.

情形1假设引理3中的子序列{un}⊂N对于所有足够大的n满足{un}⊂NN*.设φ∈E0且φ≥0.由于{un}⊂NN*和γ>1,对于任何τ>0,有

因此,通过连续性,可以选择足够小的τ>0,使得

这意味着当τ>0足够小时,un+τφ∈N.因此,根据(8)中的(ii),得

即

将不等式除以τ>0,然后对上述不等式取下极限τ→0,从Fatou引理可以看出

另一方面,通过引理3知m是由u0∈N*实现的,即对于u0∈N*,I(u0)=m.则由(10)可得出当n→∞时,‖un‖2θ→‖u0‖2θ.

考虑到这些事实,让n→∞, 再次通过Fatou引理得

(11)

情形2假设引理3中的子序列对于所有足够大的n满足{un}⊂N*.设φ∈E0且φ≥0.应用引理2,当u=un和τ>0足够小时,发现一个连续函数序列tn=tn(τ),使得tn(0)=1和tn(τ)(un+τφ)∈N*.注意到un∈N*,有

(12)

(13)

从(12)和(13)可以看出

然后除以τ>0,由于γ>1,有

让τ→0,推断

由un∈N*,对于一些C>0,有

除以τ>0,然后让τ→0,推导出

即

现在,再次应用(8)中的条件(ii)得出

令τ→0,由于γ>1,根据Fatou引理,由上面的不等式可以得出

(14)

结果能够证明u0是问题(1)的解.由引理3,(11)和(14),得到了u0∈N*和

(15)

对任意的ψ∈E0,定义Ωε={x∈R3:u0+εψ≤0},选择Ψε=u0+εψ,带入(15),有

(16)

令

通过分数核的对称性得到

(17)

显然,K∈L1(R3×R3),对于任意σ>0,存在足够大的Rσ,使得

根据Ωε的定义,有Ωε⊂suppψ和|Ωε×BRσ|→0,当ε→0+时.因此,对K∈L1(R3×R3),存在δσ>0和εσ>0,使得对于任意ε∈(0,εσ],有

|Ωε×BRσ|<δσ,

因此,对任意的ε∈(0,εσ],

∬Ωε×R3|K(x,y)|dxdy<σ,

从而得到

故由(17)可知

因为‖u0‖θ-1是有界的.由于当ε→0时,meas{u0+εψ≤0}→0,通过取极限ε→0,得到

因此,让(16)式除以ε且令ε→0,有

对所有的ψ∈E0都成立.这个不等式对于-ψ也同样成立.由此可见

(18)

对所有的ψ∈E0都成立.因此,u0确实是问题(1)的正解.

最后,证明问题(1)解的唯一性.假设v0是问题(1)的另一个解,则由(18)可知

(19)

.

(20)

由(19)和(20)可得

(21)

由于γ>1,很容易得到下列不等式:

(22)

定义

J(u0,v0):=‖u0‖2θ-‖u0‖2(θ-1)〈u0,v0〉-
‖v0‖2(θ-1)〈u0,v0〉+‖v0‖2θ.

通过Hölder不等式,可得

J(u0,v0)≥
(‖u0‖-‖v0‖)2(‖u0‖2θ-2+
‖u0‖2θ-3‖v0‖+…+‖v0‖2θ-2)≥0.

(23)

因此,由(21)-(23)可知u0=v0.于是,u0是问题(1)的唯一正解.

4 结语

本文以变分理论为基础,在一定条件下研究问题(1)的可解性.由于方程(1)对应的能量泛函I非良定,导致一些非线性分析的技巧不再适用.为了求解问题,定义了两个非空的约束集N和N*,在约束集N中找到了一个u0,使其泛函值I(u0)为约束集N*内泛函值的极小,其中,应用Ekeland变分原理获得了一个极小化序列{un}.最后,分别对序列{un}包含在NN*和N*两种情形证明了问题(1)正解的存在性并确定正解唯一.值得注意的是,问题(1)是一个强奇异退化问题,推广了弱奇异情况的已知结果.然而,在非退化情形下,该问题解的存在性和多重性结果尚属开放.