跳频序列非周期部分汉明相关理论界研究

谭 馨，牛宪华，马佳蓓，张司娜

（西华大学计算机与软件工程学院,四川 成都 610039）

数据链[1-4]最早的雏形是美国军方于1950 年启用的半自动地面防空系统。这种以计算机辅助的指挥管理体系使用了各种有线与无线的数据链。作为指挥控制系统的通信手段，数据链在现代战争中的作用日益突出。在各个时间段，根据当下的技术能力以及实际的战场需求，不同的数据链被开发，比如Link4、Link11、Link16、Link22 以及TTNT 等。为了实现未来跨域高能效协同作战的应用需求，数据链将朝着优异的自组织能力、更大容量、更高速率、安全保密、强抗干扰和防窃听能力的方向发展。

数据链通信网络同时存在着多个网络参与组。每个不同的网络参与组之间，使用了不同的跳频模式，以实现在相同的时隙内进行多网传输。可以实现这个功能的原因是，在跳频系统中，信号的载波频率在传输过程中会不断地进行跳变，跳变的规则是由伪随机码，也就是分配给网络参与组的跳频序列实现。消息的发送者和接收者使用相同的跳频序列，就能保证正确地对发送的信息进行调制和解调。

跳频序列具有良好的安全保密性、抗截获性以及抗干扰性[2]，可以很好地满足数据链未来的发展需求。如何设计出具有良好性能，能完美应用到实际通信系统中的跳频序列，一直是扩频研究领域中一个非常重要的方向。

为了准确地反映跳频通信的抗干扰程度，汉明相关函数被引入，它是用来量化跳频序列本身以及不同的跳频序列之间的相互影响程度。换句话说，汉明相关函数描述了序列与序列之间的“碰撞”次数。汉明相关值越小，说明序列之间的碰撞次数越小，相互之间的影响也越小，抗干扰的能力就越强。所以，在实际应用中，总是希望所使用的跳频序列集的汉明相关值尽可能小，其抗干扰的能力就越强；频隙集数目也尽可能小，频点利用率就越高；序列长度尽可能大，使用周期就越长；序列数目尽可能多，可以允许更多的用户接入网络。但是这些参数，都不是各自随意取值的，它们之间存在着一些相互制约的关系，这种关系就被称为跳频序列的“理论界”。当设计出来的目标跳频序列集需要评判优劣，相应的理论界就派上了用场，如果刚好取到理论界的临界值，那么就可以说这种跳频序列集是具有相应的最优性质的，是符合理论界要求的。所以理论界对跳频序列的设计有非常重要的指导意义。

在早些时候，对于跳频序列的理论界研究多集中在常规全周期汉明相关上。随着研究深入，国内外学者依据不同的划分方法，把跳频序列的汉明相关函数划分成了不同的类别[5-14]。根据跳频序列是否循环使用，汉明相关被分成了周期汉明相关和非周期汉明相关；根据相关窗窗口大小是否变化，汉明相关函数被分成了部分汉明相关和常规汉明相关；根据考虑的时延范围，汉明相关函数又被分为了低碰撞区汉明相关（无碰撞区）和全周期汉明相关。不同的汉明相关理论界的研究成果如表1所示。

表1 不同汉明相关的理论界Tab.1 Bounds of different Hamming correlation

一方面，当数据链中的2 个不同的网络组进行通信时，若是将分配到的跳频序列循环使用，则会更容易被监听者破解频率跳变的规律，从而增加信息泄露的风险。非周期汉明相关就是用来描述当分发到的跳频序列并不循环使用时，用户间相互干扰的程度。因此在跳频通信的系统应用当中，非周期汉明相关更有利于衡量系统性能。

另一方面，数据链网络中的参与组，一般是在有通信需求发生时才会与其他参与组进行通信，且使用到的跳频序列的长度往往小于跳频序列的总长度。同时，因为受到硬件条件等的限制，相较于全周期汉明相关，相关窗窗口大小可以变化的部分汉明相关，更能直观和全面地描述跳频通信系统的性能。

综上所述，与周期汉明相关相比，非周期汉明相关和部分汉明相关更能全面准确地描述跳频通信系统的性能，但是非周期和部分汉明相关界的推导都存在着一定的复杂性，两者结合更是加大了研究的难度；所以关于跳频序列非周期部分汉明相关的理论界，目前得到的成果极少。

1 符号和定义

设F={f1,f2,···,fq}为一个频隙集，|F|=q。S是一个大小为M的跳频序列集，其中每个序列长度为N。对于任意的f1,f2∈F，令

对于任意2 个跳频序列x,y∈S，x=(x0,x1,···,xN-1)，y=(y0,y1,···,yN-1)。周期汉明相关H(x,y;τ)和非周期汉明相关H(x,y;τ)分别定义为：

式中：相对时延 τ=0,1,···,N-1；下标i+τ 按模N运算。如果x=y，H(x,y;τ)是周期汉明自相关函数，为非周期汉明自相关函数；如果x≠y时，H(x,y;τ)是周期汉明互相关函数，为非周期汉明互相关函数。

另外，跳频序列集的最大周期汉明自相关为Ha(S)，最大周期汉明互相关为Hc(S)，最大周期汉明相关则用Hm(S)表示。具体定义为：

引理1[5]S是频隙集F上的由M个跳频序列组成的跳频序列集，|F|=q，序列长度为N，现在对G(S)定义为

则可以得到

引理2[5]S是由M个长度为N的跳频序列组成的集合，频点个数为q，那么，

以上是Peng 和Fan 推导出的关于最大非周期汉明相关的理论界。

对于跳频序列集S中任意2 条序列x={x0,x1,···,xN-1}，y={y0,y1,···,yN-1}，在相对时延为τ，0 ≤τ ＜N，相关窗起始点为j，0 ≤j＜N，相关窗窗口长度为L，1 ＜L≤N，的周期部分汉明相关和非周期部分汉明相关函数，分别定义为：

其中，i+τ 是 modN运算。当x=y时，式(5)和式(6)分别为周期部分汉明自相关和非周期部分汉明自相关函数；当x≠y时，式(5)和式(6)分别为周期部分汉明互相关和非周期部分汉明互相关函数。

2 非周期部分汉明相关引理

设F={f1,f2,···,fq}是大小为q的频隙集，令S={x(1),x(2),···,x(M)}是集合F上M个长度为N的跳频序列的集合。

设Q={f1,f2,···fq,g1,g2,···,gM}，|Q|=q+M，可以看出，Q是在原来的频隙集F的基础上，再新增M个不同的频隙g1,g2,···,gM，然后得到的一个新的频隙集。

其中L的取值范围是1 ≤L≤N。

引理3对于任意的相关窗长度L，1 ≤L≤N，容易验证以下关系成立：

1）当0 ≤τ ＜N时，

2）当τ=N时，

3）当N＜τ ＜2N时，

引理4对于任意2 条长度为N的跳频序列x,y，在相关窗窗口长度为L的情况下，它们周期部分汉明相关的和可以用周期汉明相关表示，为

其中1 ＜L≤N，0 ≤τ ＜N。

3 非周期部分汉明相关理论界

定理1在大小为q的频隙集F上，S是一个由M个长度为N的跳频序列组成的跳频序列集，在相关窗窗口长度为L，相关窗起始点为j的条件下，有

证明根据引理4，把周期部分汉明相关的和用周期汉明相关表示，为

然后根据引理1，P(L)的下界，为

根据引理3，可得

根据 τ的不同取值将P(L)表示为

根据引理4，把S中序列的周期部分汉明相关用S中序列的非周期部分汉明相关表示，为

经过计算和验证，可以得出

简化为

结合式(9)，得到

容易得到

证毕。

推论对于任意的相关窗窗口长度L，当q≥M时，有

跳频序列集非周期部分汉明相关理论界要求，在某一个给定的相关窗窗口大小L下，若也是跳频序列集的最大非周期部分汉明相关满足推论，那么该序列集就是部分最优的。如果在相关窗L变化的情况下都满足最优非周期部分汉明相关，说明此跳频序列集是严格部分最优的。

4 性能分析

下面将通过几个具体的例子，结合前面推导出的非周期部分汉明相关的理论界，进行性能分析。

例1令q=5，N=5，M=3，当相关窗长度L，1 ≤L≤N时，根据推论，可求得此参数下跳频序列集的最大非周期部分汉明相关满足，特别地，当L=N时，

与引理2中的Peng-Fan 界得到的Hm相同。经过计算可知，当q=5，L=N=5，M=3时，本文推导出的关于最大非周期部分的理论界是满足Peng-Fan 界的。

例2当q=3，N=5，M=2时，设跳频序列集S={S0,S1}，频隙集F={0,1,2}时，其中

经过计算和验证，当相关窗大小L(1 ≤L≤N)取任意值时，跳频序列集S的最大非周期部分汉明相关都与本文推导出的理论界下界相吻合，如图1 所示。

图1 S 的最大非周期部分汉明相关及本文理论界Fig.1 The maximum aperiodic partial Hamming correlation of S and the theoretical bound of it

通过计算之后进行比较得到：在相关窗窗口大小L=N时，跳频序列集S的最大非周期部分汉明相关为2，满足Peng-Fan 界；在相关窗窗口大小L＜N时，关于本文的理论界是最优的。那么，S就是一个具有严格最优非周期部分汉明相关的跳频序列集。

例3令q=9，N=26，M=9，根据推论中的非周期部分汉明相关理论界，图2 给出了随着相关窗窗口长度L的变化，最大非周期部分汉明相关的取值情况。

图2 最大非周期部分汉明相关Fig.2 Maximum aperiodic partial Hamming correlation

从图2 分析可知，在以上参数条件下，随着相关窗窗口大小L的增加，根据推论得到的最大非周期部分汉明相关的理论最小值呈比较明显的阶梯状上升趋势。所以：在设计具体的跳频序列集时，当相关窗窗口大小发生变化，序列集的相应最大非周期部分汉明相关应当也呈现一个明显的阶梯状分布的；当L取到序列长度N时，就应该满足序列集的非周期汉明相关的理论界。

5 结论

本文基于跳频序列非周期和部分的概念，导出了最大非周期部分汉明相关关于序列长度、序列条数、频隙集的大小，以及相关窗窗口长度的理论界。推导的理论界对于跳频序列的设计和性能评价有积极的指导作用。