基于新型分数阶粒子群优化算法的分布式电源选址定容

张江 王福绵

收稿日期： 2023-02-24

基金项目：国家自然科学基金项目（51777058）.

作者简介：张江（1981—），女，江苏扬州市人，讲师，硕士，主要研究方向为模式识别研究，图像处理；王福绵（1998—），男，安徽滁州市人，硕士研究生，主要研究方向为优化算法分析与设计.

引用格式：张江，王福绵.基于新型分数阶粒子群优化算法的分布式电源选址定容［J］.安徽师范大学学报（自然科学版），2023，46（5）：425-432.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2023.05.003

摘要：大规模分布式电源并网带来巨大的经济效益和环境效益的同时也会对电网的稳定性造成威胁。为使配电网可以消纳更高比例的分布式电源，需要对分布式电源接入电网的位置及容量进行优化。首先，建立了风速、光照强度、负荷的不确定性分析模型，构建了以年综合费用最低为目标函数的分布式电源选址定容规划模型；然后，提出新型分数阶粒子群优化算法，测试了算法在复杂优化问题上的性能。最后，IEEE-33节点配电网算例的仿真结果验证了所建立模型的合理性与所提算法的有效性。

关键词：不确定性；机会约束；选址定容；分数阶粒子群优化

中图分类号：TP181 文献标志码： A 文章编号：1001-2443（2023）05-0425-08

引言

由于化石燃料的储量有限及其带来的环境问题日益严峻，实现“低碳、可持续发展”成为解决能源问题的核心理念。以风电（Wind Turbine Generator，WTG）和光伏（Photovoltaic Generator，PVG）为主的分布式电源（Distribution Generation，DG）相比于传统火力发电有着清洁、可持续的特点，DG接入电网可以带来巨大的经济效益和环境效益［1］。但DG出力固有的随机和波动特性会对电网造成冲击，大规模DG的并网将导致电能质量下降，供电可靠性降低［2］。DG接入配电网的位置和容量会影响配电网的网络拓扑和潮流分布［3］。因此，优化DG的选址定容可以提升配电网新能源消纳水平，保障配电网运行稳定并提高经济效益。

目前对DG选址定容规划模型研究主要集中在对风速、光照强度和负荷的不确定性处理上，文献［4］提出了考虑输入变量相关性的概率潮流计算方法，该算法具有精度高和速度快的优点。文献［5］建立了年综合费用最小为目标函数的优化模型，采用拉丁超立方采样方法生成初始场景，以改进的同步回代缩减法进行场景削减。文献［6］基于机会约束规划方法建立了间歇性分布式电源选址定容规划模型，采用秩相关系数矩阵表征随机变量间的相关性。文献［7］将环境因素计入目标函数中，使得规划结果更贴近工程实际。上述文献充分考虑了系统输入变量的不确定性和相关性，构建了相应的DG选址定容规划模型，但没有解决模型求解算法参数选取的问题，并且容易局部收敛。

DG的选址定容规划的数学模型是一类多约束条件的高维非凸优化问题，传统的凸优化方法难以应对复杂多变的约束条件，故广泛采用智能优化算法解决上述问题。传统的粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是一種具有代表性的群优化算法，但具有容易局部收敛和收敛精度不高的缺点。由于列维扰动具有大步长跳跃特性，对粒子引入列维扰动可以粒子具有更广的搜索范围。在此基础上，区别于传统PSO中的乘性随机扰动，将列维扰动以加性随机扰动的形式引入，本文提出了分数阶粒子群优化（Fractional Particle Swarm Optimization，FPSO）算法。

本文的主要创新点和贡献总结如下：

a）指出PSO采用高斯扰动的不足，提出了引入列维扰动的FPSO，改进了PSO的局部收敛和收敛精度不高的问题，降低了算法使用过程中的粒子数量，进一步减少在高维搜索问题中的计算量；

b）分析了乘性扰动形式和加性扰动形式对于算法搜索效率的影响，指出加性扰动在极端情形下优于乘性扰动的特点；分析了FPSO的粒子数量和粒子初始位置对于解的影响，并在标准测试集上作了验证；

c）采用蒙特卡洛模拟方法将DG选址定容的大规模随机优化问题转化为确定性优化问题来处理，使用拟蒙特卡洛法（Quasi-Monte Carlo Simulation，QMCS）和Johnson分布转换降低转化后问题的计算量。

本文行文安排如下：首先在第1节综合考虑了风速、光照强度、负荷的不确定性以及相关性，建立了以年综合费用最低为目标函数的DG选址定容规划模型。然后提出了FPSO算法，分析了FPSO中的乘性扰动和加性扰动形式、粒子数量、粒子初始位置对算法性能的影响，并在标准测试函数上验证了分析结果。最后将FPSO应用于求解IEEE-33节点配电网上DG选址定容问题，比较了FPSO与PSO的求解结果。

1 DG选址定容优化模型

1.1 不确定性建模

a） WTG输出不确定性

通常认为风速是影响WTG输出功率的主要因素，风速规律一般服从两参数Weibull分布［8］，其概率密度函数为：

[f（V）=kcVck-1exp-Vck] （1）

式中：[V]是实际风速；[k]和[c]分别为形状参数与尺度参数。

通过WTG功率模型可以将风速转化为WTG功率[PWTG]，其转换公式为：

[PWTG=0                                 V≤Vci or V≥VcoV3-V3ciV3r-V3ciPWTG，r        Vci≤V

式中：[Vci]、[Vr]、[Vco]分别为切入风速、额定风速以及切出风速；[PWTG，r]为WTG额定输出功率。

b） PVG输出不确定性

大量研究表明光照强度的随机性通常采用Beta分布来描述［9］，其概率密度函数为：

[f（S）=Γ（α+β）Γ（α）Γ（β）SSrα-11-SSrβ-1] （3）

式中：[S]为光照强度的实际值，[Sr]为其额定值；[α]和[β]是Beta分布的两个形状参数；[Γ·]表示伽马函数。

光伏实际出力[PPV]与光照强度[S]之间的关系［9］可由式（4）近似表示：

[PPV=PPV，rSSr      I≤SrPPV，r           I>Sr] （4）

式中：[PPV，r]为光伏的额定功率；[Sr]为额定光照强度。

c） 负荷不确定性

一般采用高斯分布来描述负荷大小的不确定性［9］：

[fPL，i=12πσP，iexp-PL，i-μP，i22σ2P，i] （5）

[fQL，i=12πσQ，iexp-PQ，i-μQ，i22σ2Q，i] （6）

式中：[PL，i]、[QL，i]分别表示节点[i]处的有功负荷和无功负荷；[μP，i]、[μQ，i]和[σP，i]、[σQ，i]分别表示节点[i]处的有功负荷和无功负荷的期望和标准差。

d） 不确定性处理方法

从不确定模型的概率分布抽取符合电力系统随机变量特征的样本，输出变量的分布特征可以作为系统运行的典型场景［10］。QMCS是一种通过生成高维空间中的低差异化序列来代替蒙特卡洛方法中的随机数序列的采样方法，它可以避免蒙特卡洛采样在空间上的非均匀性。同时由于QMCS一次性生成所有采样点，相比于蒙特卡洛在每次迭代中都要产生大量随机数，其在算法时间效率上也有很大提升。

通過QMCS得到采样点后，需要将采样点转化成符合系统随机变量概率分布的样本序列。Johnson变换可以由目标变量均值、方差、偏度、峰度及相关性等特征建立起高斯分布与自身分布的关系［11］。先将采样点通过高斯分布的累积函数方程逆运算转换为独立高斯分布，随后进行Johnson分布转换即可得到系统随机变量原始采样数据。

1.2 确定性优化模型

a） 目标函数

模型以DG选址定容的年综合费用最小为优化目标。年综合费用主要包括DG投资费用[CI]，DG运行维护费用[COM]，配电网有功网损费用[CL]，还充分考虑了配电网购电成本[CP]及政府补贴费用[CS]。通过现值转等值年系数[τ]将DG投资费用等额均摊至DG寿命期各年：

[τ=d1+dy/1+dy-1] （7）

式中：[d]为贴现率；[y]为DG寿命期年数。

目标函数如式（8）：

[minC=CI+COM+CL+CP-CS=τi∈Ωnj∈ΩrcjDG，icjPPjDG+i∈Ωnj∈ΩrcjOMEjDG，i+l∈ΩbcePLoss，lTmax+m∈ΩgceEGEN，m-i∈Ωnj∈ΩrcfEjDG，i] （8）

式中：[Ωn]、[Ωr]、[Ωb]、[Ωg]分别为可装DG节点集合、DG种类集合、配电网支路集合、发电机节点集合；[cjDG，i]为在节点[i]处装设[j]类DG的数量，[cjP]为单位容量[j]类DG的价格，[PjDG]为[j]类DG的额定容量；[cjOM]为[j]类DG单位发电量的价格；[ce]为电价，[PLoss，l]为支路[l]上在最大负荷下的有功损耗，[Tmax]为年最大负荷小时数；[EGEN，m]为节点[m]处发电量；[cf]为DG单位发电量的政府补贴费用，[EjDG，i]为节点[i]处[j]类DG的发电量。

b） 约束条件

模型的约束条件包括潮流约束、节点电压约束、支路电流约束和DG安装容量约束。

（a） 潮流方程约束

极坐标形式的潮流方程可写为：

[Pi-Uij∈ΩdUjGijcosθij+Bijsinθij=0Qi-Uij∈ΩdUjGijsinθij-Bijcosθij=0            ?i，j∈Ωd] （9）

式中：[Ωd]为配电网节点集合；[Pi]、[Qi]、[Ui]分别为节点[i]处的有功功率、无功功率、节点电压；[Gij]、[Bij]、[θij]分别为节点[i]与节点[j]之间的电导、电纳与相角差。

（b） 节点电压机会约束

[PUi≤Ui≤Ui≤αU         ?i∈Ωd] （10）

式中：[PA]表示事件[A]成立的概率，[αU]为满足节点电压约束的置信水平；[Ui]、[Ui]分别为节点[i]处电压上限与电压下限。

（c） 支路电流机会约束

[PIj≤Ij≤αI         ?j∈Ωb] （11）

式中：[αI]为满足支路电流约束的置信水平；[Ij]为流经支路[j]的电流上限。

（d） DG安装容量约束

[i∈Ωnj∈ΩrcjDG，iPjDG≤PDG              cjDG，iPjDG≤PjDG，i          ?i∈Ωn  j∈Ωr] （12）

式中：[PDG]为配电网接入DG容量上限；[PjDG，i]为节点[i]处[j]类DG的安装容量上限。

2 分数阶粒子群算法

2.1 粒子群算法

粒子群算法是一种基于群搜索的智能优化算法［12］，被广泛运用于大规模复杂优化问题中。其过程可以被概括为：

[vk+1i=vki-ρ1xki-xb-ρ2xki-xpixk+1i=xki+vk+1i] （13）

其中：[i=1，2，…，N]代表种群中的第[i]个粒子；[vki]和[xki]分别为粒子[i]在第[k]步迭代中的速度和位置；[ρ1，ρ2>0]是两个独立的随机扰动值；[xb]为粒子群体去过解空间中的最佳位置；[xpi]为粒子[i]去过解空间中的最佳位置。[ρ1xki-xb]代表粒子[i]在全局搜索的趋势，[ρ2xki-xpi]代表粒子[i]在局部搜索的趋势，二者的工作机理都类似于提供朝着给定目标的梯度下降信息。

基于粒子群优化算法发展出许多群搜索算法，例如布谷鸟算法、蝙蝠算法以及差分进化算法等。这些算法的全局搜索策略可以被描述为：

[xk+1i=xki-ρkxki-xb] （14）

式中：[ρk]为第[k]次迭代的一个随机扰动值。可以看出，（13）是（14）的一个加速形式［13］。

2.2 列维扰动

在粒子群算法中，粒子的搜索能力来源于随机扰动和历史信息，扰动的引入可以加快算法的收敛速度。随机扰动的形式是任意的，算法中常见的扰动分布形式有均匀分布和高斯分布。当目标函数存在鞍点和多个极小值点时，由于扰动形式的局限性，传统粒子群算法容易陷入局部最优。

考虑一种对称形式的列维稳定分布[Lx]，其对应的特征函数为：

[EeikX=exp-σαkα] （15）

式中：[σ>0]为[Lx]的尺度参数；[0<α≤2]为列维阶次，当[α=2]时，[Lx]退化为高斯分布；[σ=1]时，[Lx]称为对称标准列維分布。

列维飞行是一种由列维扰动产生的大步长跳跃形式。相较于扰动增量服从对称高斯分布的布朗运动，列维飞行有着更强的搜索能力。下面对此过程作出形象说明：在二维平面中，生成两个初始位置在[0，0]的粒子；一粒子的运动步长从标准高斯分布产生，代表布朗运动；另一粒子的运动步长从阶次为[α=1.5]，[σ=1]的对称标准列维分布中产生，代表列维飞行。两粒子的运动方向均从[[0，2π）]之间的均匀分布中产生。粒子运动轨迹如图1所示，可以看出：

（a） 布朗运动范围在初始位置附近，代表粒子在搜索过程中只到达了局部区域；

（b） 列维飞行过程中，粒子有频繁性地大步长跳跃，使得粒子较布朗运动有更为宽广的搜索范围。

2.3 分数阶粒子群算法的几点讨论

a） 乘性扰动与加性扰动

对于（14）所定义的算法，随机扰动在种群迭代中以乘数的形式存在。思考两种极端情况：

（a） 假设所有的粒子都有同一个初始值，此时种群将不会更新，陷入初始位置；

（b） 假设种群只有两个粒子，此时粒子的搜索方向只会在两者的连线上。

如果在种群迭代时，扰动以加数的形式存在：

[xk+1i=xki-ρkxki-xb+εηki] （16）

式中：[ε]是尺度参数，[ηki]是一种给定分布的随机扰动。在这种加性扰动的作用下：

（a） 即使所有粒子都有同一个初始值，种群也会更新；

（b） 假设种群只有两个粒子，粒子依然会大范围搜索找到可行解。

b） 粒子数的多寡对于算法性能的影响

在传统粒子群算法中，由于粒子的全局寻优能力较差，因而需要一定数量的种群来完成寻优过程。而分数阶粒子群算法由于粒子的大步长跳跃，大大减少了所需粒子数量，从而算法的迭代次数大幅减小，算法性能得到有效提升。

c） 初值不敏感性

传统粒子群算法的寻优范围较小，因此在种群迭代之初需要将粒子尽可能均匀地分布在解空间内。但对一些大规模非线性优化问题，很难确定解空间的范围或由于优化变量数目巨大带来维数灾问题。分数阶粒子群算法在迭代过程中的大步长跳跃可以避免种群初值选取的困难，即使将所有粒子放在固定的初始位置，粒子仍能完成大范围寻优。

2.4 算法性能测试

为了比较分数阶粒子群算法与传统粒子群算法的性能优劣，现选取Ackley、Griewank、Rastrigin、Rosenbrock函数进行测试，函数的数学描述可以参见文献［14］。测试函数的参数给定如表1所示。

设置迭代次数均为10000次，测试次数均为20。分别测试了分数阶粒子群算法与传统粒子群算法对于变量维数、粒子数的变化特性，如表2所示。综合表1和表2可以看出，FPSO的收敛精度高于PSO，而且针对维数较高的优化问题，FPSO具有明显的优越性，尤其是当变量维数到达20维（F4：Rosenbrock）时，PSO已经难以在10000次内收敛。

为了验证2.3节关于粒子数多寡对于FPSO性能的影响，绘制粒子数变化时各测试函数在10000次迭代后的收敛值对比，如图2所示。可以看出，粒子数的粒子数增加时，FPSO收敛精度有小幅提升，而PSO的提升相当明显，这说明PSO性能依赖于粒子的数量的选取，而FPSO则对粒子数量不是很敏感。对粒子数量的不敏感性也突出了FPSO相对于PSO在计算机迭代方面的优越性，一方面，更多的粒子数量需要占据更大的计算机内存和运算资源；另一方面，对于粒子数量的敏感性将不利于超参数调节，对于未知结构的最优化模型，难以确定初始的粒子数量，而对粒子数量的调节将进一步消耗计算资源。

3 算例验证

3.1 算例参数设置

本文在IEEE-33节点配电网标准算例上进行DG选址定容仿真，IEEE-33节点数据参考文献［15］。现对相关规划数据做出说明：规划年限为20年，贴现率为0.1，配电网中DG安装的待选节点为节点3、6、7、13、17、19和31，每个待选节点的DG安装容量上限为800kW。DG类型有WTG和PVG两种，WTG的相关参数：额定容量为50kW，[Vci=3.5]m/s、[Vr=12]m/s、[Vco=20]m/s ；PVG的相关参数：额定容量为50kW，[Sr=1000]W/m2。该地区风速服从参数为[k=1.83]和[c=9.93]的Weibull分布，光照强度服从参数为[α=2.06]，[β=2.5]的Beta分布。WTG投资和运维费用分别为1万元/kW和0.33元/kWh，PVG投资和运维费用分别为1.3万元/kW和0.2元/kWh。负荷服从高斯分布，标准差为均值的10%。节点电压的波动范围为0.9～1.1（标幺值），每条线路电流的上限参见文献［15］，置信水平[αU=αI=0.95]。电价为0.7元/kWh，政府补贴费用为0.25元/kWh，年最大负荷小时数为4200小时。

3.2 算例结果分析

针对2.2节描述的DG选址定容的经济性优化问题，分别采用传统的PSO和本文所提的FPSO进行求解，结果如表3、表4及图3所示。其中，表3是DG安装位置及容量的求解结果，并比较了二者与不安装DG的配电网年综合费用；表4是年综合费用的组成；图3是求解结果的形象说明。

从表4可以看出，FPSO的优化结果优于PSO，年综合费用更少。从表5的费用组成来看，DG的接入使的配电网的有功网损费用有所减少，配电网从上级电网购电成本大幅降低。从中可以得出结论：DG的接入有利于系统节能减排。从优化结果中DG的接入位置来看，由于IEEE-33节点是辐射型配电网，在距离上级电网较远的节点安装DG有利于电网电压的稳定。

算法收敛特性比较如图4所示，可以看出PSO在优化过程中陷入了局部最优，而FPSO由于列维飞行的大步长跳跃，多次跳出局部最优点，从而得到更好的优化结果。

4 总结

本文在DG、负荷不确定性建模的前提下，以配电网的经济性最优为目标，建立了基于机会约束的DG选址定容规划模型。针对传统PSO对于大规模优化问题求解的局限性，提出了以FPSO求解上述模型。FPSO在IEEE-33节点配电网中得到了更为经济的DG配置结果，从中可以得到以下结论：

（a） DG的接入减少了系统的有功网损，降低了系统年综合费用，提升了系统的经济性；

（b） 对DG的选址定容进行优化可提升配电网消纳可再生能源的水平，有利于实现电能低碳、绿色生产；

（c） FPSO相对于PSO在复杂优化问题上的求解效率和收敛精度更高，而且可以避免PSO初值选取的困难。

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Distributed Generations Location and Capacity Optimization Using a Novel Fractional Particle Swarm Algorithm

ZHANG Jiang1， WANG Fu-mian2

（1. School of Computer Science and Artificial Intelligence， Hefei Normal University， Hefei 230601， China; 2. College of Energy and Electrical Engineering， Hohai University， Nanjing 211100， China）

Abstract： Large-scale distributed generation grid connection brings huge economic and environmental benefits， but also threatens the stability of the grid. To undertake a higher penetration of distributed generation， it is necessary to optimize the location and capacity of the distributed generation connected to the grid. Firstly， the uncertainty analysis model of wind speed， light intensity， and load is established. Then， a planning model with the lowest annual comprehensive cost as the objective function is constructed. Secondly， a novel fractional particle swarm optimization algorithm is proposed， and the performance of the algorithm on complex optimization problems is tested. Finally， the simulation results of the IEEE-33 distribution network example verify the rationality of the established model and the effectiveness of the proposed algorithm.

Key words： uncertainty; opportunity constraint; siting and sizing; fractional particle swarm optimization

（責任编辑：马乃玉）