2-[J#]-clean 环

陶丹丹 殷晓斌

收稿日期：2023-07-13

基金项目：安徽省自然科学基金项目（2008085MA06）；安徽省高校优秀青年人才支持计划项目（gxyqZD2019009）.

作者简介：陶丹丹（1998—），女，安徽安庆市人，硕士研究生，研究方向为环论；通讯作者：殷晓斌（1972—），男，安徽枞阳县人，博士，教授，研究方向为同调代数与环模理论.

引用格式：陶丹丹，殷晓斌.2- J# -clean 环［J］.安徽师范大学学报（自然科学版），2023，46（5）：409-417.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2023.05.001

（安徽师范大学 数学与统计学院， 安徽 芜湖 241003）

摘要：引入了2-[J#]-clean环的概念。设[R]是一个环，如果[R]中的每个元素都是一个幂等元和两个[J#（R）]元素的和，则称[R]是一个2-[J#]-clean环。本文主要研究了2-[J#]-clean环的基本性质，并考虑它与一些相关的环之间的联系。

关键词：2-[J#]-clean 环；2-clean 环；矩阵环；环扩张

中图分类号： O153.3 文献标志碼： A 文章编号： 1001-2443（2023）05-0409-09

引言

本文中的环都是指含单位元的结合环，环上的模都是酉模。设[R]为环，[Id（R）]、[N（R）]、[U（R）]、[J（R）]、[C（R）]分别表示[R]的幂等元之集、诣零元之集、可逆元之集、[R]的Jacobson 根、[R]的中心。[Mn（R）]表示环[R]上的[n]阶全矩阵环，[Tn（R）]表示上三角矩阵环。

1977年，Nicholson在文献［1］中首次提出clean的概念。称[R]为clean环，若[R]中任意元素都是一个幂等元和一个可逆元的和。1999年，Nicholson在文献［2］中引入强clean环的概念。称[R]为强clean环，若[R]中任意元素都是一个幂等元和一个可逆元的和且两者可交换。近来年，关于clean环及其推广［3-5］的研究吸引了众多学者的关注。2009年，王周和陈建龙在文献［6］中提出了2-clean环的概念。称[R]为2-clean环，若对任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[u1，u2∈U（R）]，使得 [a=e+u1+u2]。2010年，Chen在文［7］中提出了（强）[J]-clean环的概念。称[R]是强 [J]-clean环，若[R]中的任意元素都是一个幂等元和一个Jacobson根的和（且两者可交换）。2013年，Diesl在文献［8］中提出了诣零-clean环的概念。称[R]是诣零-clean环，若对任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[n∈N（R）]，使得 [a=e+n]。2017年，程瑶在文献［9］中定义了[J#（R）=x∈R|xn∈J（R），存在整数n≥1]，显然[J（R）?J#（R）]。并引入强[J#]-clean环的概念。称[R]是强[J#]-clean环，若[R]中每个元素都可以表示成幂等元与[J#（R）]的元素之和且二者可交换。2020年，崔建和秦龙在文献［10］中引入了GJ-clean环的概念。称[R]是GJ-clean环，若对任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+w]。为叙述方便，本文称其为 [J#]-clean环。2022年，陈蒋欢、王尧、任艳丽在文献［11］中提出了2-诣零-clean环的概念。称[R]是2-诣零-clean环，若对任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[n1，n2∈N（R）]，使得[a=e+n1+n2]，其中元素[a]的和式分解称为2-诣零-clean分解。

受上述的启发，考虑到Jacobson根在环模论研究中的重要性，本文进一步考虑了[J#（R）=x∈R|xn∈J（R），存在整数n≥1]，在 2-诣零-clean 环的基础上引入了 2-[J#]-clean 环的概念。设[R]是一个环，如果对任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]，则称[R]是2-[J#]-clean 环。如果 [e]和[w1]，[e]和[w2]还满足乘法可交换性（[w1]，[w2]未必可交换），则称其为强2-[J#]-clean环。本文重点研究了2-[J#]-clean元及 2-[J#]-clean环的相关性质。此外，还引入了强2-[J#]-clean环和唯一2-[J#]-clean环的概念，并证明了唯一2-[J#]-clean环是强2-[J#]-clean 环，但反之未必成立。

1 2-[J#]-clean元与2-[J#]-clean环

定义 1.1 设[R]为环，称[a∈R]是2-[J#]-clean元，若存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]。称[R]是2-[J#]-clean环，若[R]中每个元素都是2-[J#]-clean元。

当[J#（R）]为环[R]的加法子集时（例如交换环），[R]是[J#]-clean环当且仅当[R]是 2-[J#]-clean环。显然， [J#]-clean 环和 2-诣零-clean 环均是 2-[J#]-clean 环。下面的例子说明反之未必成立。

例 1.2 （1）考虑环[R=M2（Z）]中的元素[1111=1001+0100+0010]为矩阵[A=1111]的一个2-[J#]-clean分解，但它没有[J#]-clean分解。

（2）设[R=Z（2）=ba∈Q|a?2Z]，则[R]是局部环，易知[J（M2（R））=M2（2Z（2））]，[N（M2（R））=0]。易验证元素[3223=1001+1111+1111]为矩阵[3223]的一个2-[J#]-clean分解式，但它没有2-诣零-clean分解式。

元素[x]称为[invo]元［12］，如果[x2=1]。环[R]中所有的[invo]元之集记为[Inv（R）]。

命题 1.3 若环[R]中的元素[a]是2-[J#]-clean元，则下列结论成立：

（1） 任意[u∈U（R）]，[u-1au]是2-[J#]-clean元；

（2） [2+a]是2-clean元［6］；

（3） 若[f]是中心冪等元，则[fa]也是2-[J#]-clean元；

（4） 存在[e∈Id（R）]，[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+f+w1+w2]。

证明 因为[a]是2-[J#]-clean元，存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]。

（1）任取[u∈U（R）]，于是[u-1au=u-1（e+w1+w2）u=u-1eu+u-1w1u+u-1w2u]，显然[u-1eu∈Id（R）]，[u-1w1u，u-1w2u∈J#（R）]。因此，[u-1au]是2-[J#]-clean元。

（2）令[u1=1+w1，u2=1+w2∈U（R）]，则[2+a=e+（1+w1）+（1+w2）=e+u1+u2]是2-clean元。

（3）若[f]是中心幂等元，则[fa=f（e+w1+w2）=fe+fw1+fw2]，显然[fe∈Id（R）]，[fw1，fw2∈J#（R）]，故[fa]是2-[J#]-clean元。

（4）[a=e+w1+w2=（1-e）+（2e-1）+w1+w2]，其中[1-e∈Id（R）]， [w1，w2∈J#（R）]。因为[（2e-1）2=1]，故[2e-1∈Inv（R）]。结论成立。

推论 1.4 设[R]是交换环，若[a∈R]是2-[J#]-clean元，则存在[e∈Id（R）]，[f∈Inv（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+f+w]。

证明 由命题1.3（4）的证明可知存在[e∈Id（R）]，[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+f+w1+w2]。又由[R]是交换环可知存在[w=w1+w2∈J#（R）]，则[a=e+f+w]。

命题 1.5 设[R]是2-[J#]-clean环，则下列结论成立：

（1） [R]是2-clean环；

（2） 对任意[a∈R]，存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=-e+w1+w2]；

（3） 若[R]是2-[J#]-clean环，则对任意[a∈R]，存在[e∈Id（R）]，[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+u+w]。

证明 （1） 因为[R]是2-[J#]-clean环，所以对任意[a∈R]，有[2+a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]。于是[a=e+（w1-1）+（w2-1）]，显然[（w1-1），（w2-1）∈U（R）]，故[R]是2-clean环。

（2） 因为[R]是2-[J#]-clean环，所以对任意[a∈R]，有[-a=e+j1+j2]，其中[e∈Id（R）]，[j1，j2∈J#（R）]。于是[a=-e+（-j1）+（-j2）]，令[w1=-j1，w2=-j2]，显然[w1，w2∈J#（R）]。

（3）根据（2）可知对任意[a∈R]，有[1-a=-e+j1+j2]，其中[e∈Id（R）]，[j1，j2∈J#（R）]。令[u=j1-1，w=-j2]，则[a=e+（j1-1）+（-j2）=e+u+w]，显然[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]。

命题 1.6 设[R]为环，若[2∈U（R）]，则[R]是2-[J#]-clean环当且仅当对任意[a∈R]，存在[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=f+w1+w2]。

证明 （[?]） 设[R]是2-[J#]-clean环，对任意[a∈R]，有[1+a2=e+j1+j2]，其中[e∈Id（R）]，[j1，j2∈J#（R）]。于是[a=（2e-1）+2j1+2j2]，显然[2e-1∈Inv（R）]，[2j1，2j2∈J#（R）]。

（[?]） 若任意[a∈R]，都有[2a-1=f+w1+w2]，其中[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]。于是[a=f+12+w12+w22]，其中[（f+12）2=1+2f+14=f+12∈Id（R）]，[w12，w22∈J#（R）]，故[R]是2-[J#]-clean环。

称环[R]为GUJ环［10］，若对任意[u∈U（R）]，都存在一个[b∈J#（R）]，使得[u=1+b]。

命题 1.7 设[R]是GUJ环，则下列结论成立：

（1）若[R]是2-[J#]-clean 环当且仅当[R]是 2-clean 环；

（2）若[R]是2-[J#]-clean 环当且仅当对任意[a∈R]，存在[e∈Id（R）]，[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+u+w]。

证明 （1） （[?]） 由命题1.5（1）的证明可得。

（[?]） 因为[R]是2-clean环，对任意[a∈R]，有[2+a=e+u1+u2]，其中[e∈Id（R）]，[u1，u2∈U（R）]。又因为[R]是GUJ环，所以存在[w1，w2∈J#（R）]，使得[u1=1+w1，u2=1+w2]，则[2+a=e+（1+w1）+（1+w2）]，[a=e+w1+w2]，得证。

（2） （[?]） 根据命题1.5（3）可得。

（[?]） 对任意[a∈R]，有[1+a=e+u+w]，其中[e∈Id（R）]，[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]。又因为[R]是GUJ环，所以存在[j∈J#（R）]，使得[u=1+j]，则[1+a=e+（1+j）+w]，[a=e+j+w]，故[R]是2-[J#]-clean环。

由文献［6］和［9］知，[J#]-clean环都是clean环，clean环都是2-clean环。根据命题1.7可知clean环和2-[J#]-clean环都是位于[J#]-clean环和2-clean环之间的环类。

但下面的例子说明了clean环不一定是2-[J#]-clean环，2-[J#]-clean环也不一定是clean环。

例 1.8 （1）设环[R=Z3]，则[Id（R）=0，1]，[U（R）=1，2]，[J#（R）={0}]。显然[R]是clean环，但[R]不是2-[J#]-clean环，因为元素2没有2-[J#]-clean分解。

（2）易验证[R=M2（Z2）]是2-[J#]-clean环，但[1000]不是clean元，故[R]不是clean环。

引理 1.9 2-[J#]-clean环的同态像是2-[J#]-clean环。

证明 设[R]是2-[J#]-clean环，构造环同态[f：R→S]，则对任意[a∈f（R）]，存在[r∈R]，使得[a=f（r）]。由[R]是2-[J#]-clean环知存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[r=e+w1+w2]，于是[a=f（r）=f（e+w1+w2）=f（e）+f（w1）+f（w2）]。易验证[f（e）∈Id（R）]，[f（w1），f（w2）∈J#（R）]，故[f（R）]是2-[J#]-clean环。

命题 1.10 设[R]是一个环，则下列结论成立：

（1） 若[R]中的幂等元都是非平凡的，则[R]为2-[J#]-clean环当且仅当对任意的[a∈R]，有[a=w1+w2]或[1-a=w1+w2]，其中[w1，w2∈J#（R）]。

（2） 若[R]是一个除环，则[R]是2-[J#]-clean环当且仅当[R?Z2]。

证明 （1） （[?]） 因为[R]是2-[J#]-clean环，则任意的[a∈R]，有[a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]。因為[e=0，1]，可得[a=w1+w2]或[1-a=-w1+（-w2）]。显然，[-w1，-w2∈J#（R）]。

（[?]） 对任意的[a∈R]，[a=w1+w2]或[1-a=w1+w2]，其中[w1，w2∈J#（R）]。故[a=0+w1+w2]或

[a=1+（-w1）+（-w2）]。因此，[R]是2-[J#]-clean环。

（2） （[?]） 设[R]是一个除环，则[Id（R）=0，1]，[J#（R）={0}]。又因为[R]是2-[J#]-clean环，则对任意的[a∈R]，[a=0]或1。故[R?Z2]。

（[?]） 设[R]是一个除环，若[R?Z2]，显然[R]是2-[J#]-clean环。

推论 1.11 设[R]是一个局部环。若[R]是2-[J#]-clean环，则对任意的[a∈R]，有[a∈J（R）]或[1-a∈J（R）]。

证明 因为[R]是局部环，则[RJ（R）]是除环。根据引理1.9可知[RJ（R）]也是2-[J#]-clean环。又根据命题1.10（2）可知[RJ（R）=0，1]，所以对任意的[a∈R]，[a=0，1]，即[a∈J（R）]或[a∈1+J（R）]。

推论 1.12 设[R]是一个局部环。若[R]是2-[J#]-clean环当且仅当[R]是[J]-clean环。

证明 （[?]） 由推论1.11可知对于任意[a∈R]，有[a∈J（R）]或[1-a∈J（R）]。显然[a]是[J]-clean的，故[R]是[J]-clean环。

（[?]） 显然。

命题 1.13 对任意的[i∈1，2，…，n]，设[Ri]是一族环，则直积[R=i=1nRi]是2-[J#]-clean环当且仅当每个[Ri]是2-[J#]-clean环，其中[i∈1，2，…，n]。

证明 （[?]） [Ri]作为 [R=i=1nRi]，[i=1，2，…，n]的同态像，根据引理1.9可知[Ri]，[i=1，2，…，n]是2-[J#]-clean环。

（[?]） 任取[x=（a1，a2，…，an）∈R]。对任意的[i∈1，2，…，n]，由[Ri]是2-[J#]-clean环知存在[ei∈Id（Ri）]，[w1i，w2i∈J#（Ri）]，使得[ai=ei+w1i+w2i]。令[e=（e1，e2，…，en）]，[w1=（w11，w12，…，w1n）]，[w2=（w21，w22，…，w2n）]，则[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]且[a=e+w1+w2]，故[R]是2-[J#]-clean环。

命题 1.14 设[R]是一个环，[I]是[R]的一个理想且[I?J#（R）?C（R）]。若幂等元模[I]可提升，则[RI]是2-[J#]-clean环当且仅当[R]是2-[J#]-clean环。

证明 （[?]） 对任意的[a∈R]，由[RI]是2-[J#]-clean环知存在[e0∈Id（RI）]，[w1k1，w2k2∈J（RI）]，使得[a=e0+][w1]+[w2]，其中[k1，k2]均为正整数。因为幂等元模[I]可提升，所以存在[e∈Id（R）]，使得[e=e0]。再由[I?J#（R）]是[R]的一个理想可知有[w1，w2∈J#（R）]，使得[wi=wi，i=1，2]，则[a=e+w1+（w2+r）]，其中[r]是[I]中的某个元素。又因为[I]是中心的，于是[w2+r∈J#（R）]，所以[R]是2-[J#]-clean环。

（[?]） 由引理1.9可得。

环[R]是[exchange]环［1］，若[RJ（R）]是正则的且幂等元模[J（R）]可提升。

推论 1.15 设[R]是一个[exchange]环，[I]是[R]的一个理想且[I?J#（R）?C（R）]，则[RI]是2-[J#]-clean环当且仅当[R]是2-[J#]-clean环。

证明 由［1，推论2.4］和命题1.14可知。

2 2-[J#]-clean环的扩张

定理 2.1 设[R]为环，[R[x]]是[R]上的多项式环。若[R[x]]是2-[J#]-clean环，则[R]也是2-[J#]-clean环。

证明 由引理1.9可知[R]是2-[J#]-clean环。

推论 2.2 若[R]是交换环，则[R[x]]一定不是2-[J#]-clean环。

证明 由[R]是交换环立即可知[J#（R）=J（R）]，[Id（R[x]）=Id（R）]。假设[R[x]]是2-[J#]-clean环，则[x=e+w1（x）+w2（x）]，其中[e∈Id（R）]，[w1（x），w2（x）∈J#（R[x]）=J（R[x]）]。设[w1（x）=a0+a1x+…+anxn]，[w2（x）=b0+b1x+…+bmxm]，其中[aini=1， bjmj=1∈J#（R）=J（R）]。代入展开得一次项系数[1=a1+b1]，于是[a1=1-b1∈U（R）]，而[a1∈J#（R）]，矛盾，故[R[x]]一定不是2-[J#]-clean環。

设[R]是一个环，[s∈C（R）]，集合[Ks（R）= （aij）∈M2（R）|aij∈R， i，j=1，2]关于矩阵加法和如下定义的乘法：[abcda    bc    d=aa+sbcab+bdca+dcscb+dd]，作成一个环。

命题 2.3 设[R]是一个环，[s∈C（R）]。若[R]是2-[J#]-clean环，则[Ks（R）]也是2-[J#]-clean环。

证明 任取[abcd∈Ks（R）]，由[R]是2-[J#]-clean环知存在[e1，e2∈Id（R）]，[w1，w2，w3，w4∈J#（R）]，使得[abcd=e100e2+w1b0w2+w30cw4]。易验证[e100e2∈Id（Ks（R））]。设存在[m1，m2，m3，m4∈N+]使得[wm11，wm22，wm33，wm44，∈J（R）]，令[m=m1+m2，m=m3+m4]，则

[w1b0w2m=wm1i+j=m-1wi1bwj20wm2=0]，

[w30cw4m=wm30i+j=m′-1wi3cwj4wm4=0]，

于是[w1b0w2，w30cw4∈J#（Ks（R））]，故[Ks（R）]是2-[J#]-clean环。

若s=1，则[Ks（R）=M2（R）]，于是有

推论 2.4 设[R]是 2-[J#]-clean环，则[M2（R）]也是 2-[J#]-clean 环。

定理 2.5 设[S]为环，[R=Mn（S），n≥2]。则任意矩阵[A∈R]可以表示为一个对角矩阵与一个2-[J#]-clean元的和。

证明 对任意矩阵[A=（aij）∈R]。令[W1=（hij）]，其中

[hij=aij，    i

[W2=（gij）]，其中

[gij=aij，    i>j0，   i≤j]，

[A1=diag（a11，a22，…，ann）]，则[W1，W2∈J#（R）]，且[A=A1+W1+W2]。注意[W1+W2=0+W1+W2]为一个2-[J#]-clean元。

定理 2.6 [R]是2-[J#]-clean环当且仅当[Tn（R）]是2-[J#]-clean环。

证明 （[?]） 设[A=（aij）∈Tn（R）]，其中[i≤j]。令[W=（hij）]，其中

[hij=aij，    i

因为[R]是2-[J#]-clean环，则对任意[i∈1，2，…，n]，存在[eii∈Id（R），wii，w′ii∈J#（R）]，使得[aii=eii+wii+wii]。设

[A1=diag（a11，a22，…，ann）]，

[E=diag（e11，e22，…，enn）]，

[W′1=diag（w11，w22，…，wnn）]，

[W′2=diag（w′11，w′22，…，w′nn）]。

则[A1=E+W1+W2]，其中[E∈Id（Tn（R））]。令[W1=W+W1]，[W2=W2]，显然[W1，W2∈J#（Tn（R））]。故[A=A1+W=E+W1+W2+W=E+W1+W2]是一个2-[J#]-clean分解。故[Tn（R）]是2-[J#]-clean环。

（[?]） 显然。

命题 2.7 设[S]为任意非零环，[R=Mn（S），n≥2]，[M=ABCD∈R]。若[A]是[Mk（S）]中的2-[J#]-clean元且[D]是[Mn-k（S）]中的2-[J#]-clean元，则[M]是[R]中的一个2-[J#]-clean元。

证明 设[A=E+W1+W2]，[D=E+W1+W2]分别是矩阵环[Mk（S）]和[Mn-k（S）]上的2-[J#]-clean分解，其中[E∈Id（Mk（S））]，[E′∈Id（Mn-k（S））]，[W1，W2∈J#（Mk（S））]，[W1，W2∈J#（Mn-k（S））]。则

[M=E00E+W1B0W1+w20Cw2]。

显然[E00E∈Id（R）]，易验证[W1B0W1，w20Cw2∈J#（R）]。故[M]是[R]中的一个2-[J#]-clean元。

推论 2.8 设[R=Mn（S），n≥2]，其中[n≥2]且[S]是任意非零环。设[A=（Aij）∈R]是分块矩阵，若方阵[Aii]是2-[J#]-clean元，则[A]是2-[J#]-clean环。

定理 2.9 设[R]是一个环，[e∈Id（R）]。若[eRe]和[（1-e）R（1-e）]都是2-[J#]-clean环，则[R]也是2-[J#]-clean环。

证明 设[f=1-e]。[R?eReeRffRefRf]，任取[A=axyb∈R]，由题意可知有[a=e+w1+w2∈eRe]且[b=f+j1+j2∈fRf]，其中[e∈Id（eRe）]，[w1，w2∈J#（eRe）]，[f∈Id（fRf）]，[j1，j2∈J#（fRf）]。于是

[axyb=e00f′+w10yj1+w2x0j2]，

易验证[e00f′∈Id（R）]，[w10yj1，w2x0j2∈J#（R）]。故[R]是2-[J#]-clean环。

推论 2.10 设[R]为环，[R]的单位元[1=e1+e2+…+en]，其中[e1，e2，…，en]为[R]的正交幂等元。若对任意的[i=1，2，…，n]，[eiRei]均是2-[J#]-clean环，则[R]也是2-[J#]-clean環。

推论 2.11 设[M=M1⊕M2⊕…⊕Mn]是一个模，如果对任意的[i=1，2，…，n]，都有[End（Mi）]是2-[J#]-clean环，那么[End（M）]也是2-[J#]-clean环。

定理 2.12 设[R]是2-[J#]-clean环，则[Mn（R），n≥1]也是2-[J#]-clean环。

证明 设[R]是2-[J#]-clean环，考虑[R]上的矩阵环[Mn（R），n≥1]。对于任意的[i=1，2，…，n]，设[eii]为第[i]行第[i]列的元素为1，其它元素都取0的矩阵，则[eiini=1]为[Mn（R）]的一组正交幂等元且[1=e11+e22+…+enn]。此时对任意的[i]都有[eiiMn（R）eii?R]是2-[J#]-clean环，由推论2.9可知[Mn（R）]是2-[J#]-clean环。

命题 2.13 设[R，S]是环，[RMS]是双模，则形式上三角矩阵环[RM0S]是2-[J#]-clean环当且仅当[R]和[S]均是2-[J#]-clean环。

证明 （[?]） 构造满同态[?：RM0S→R;rm0s→r]，其中[r∈R，s∈S，m∈M]。再由引理1.9可知[R]是2-[J#]-clean环。同理可得[S]也是2-[J#]-clean环。

（[?]） 设[R，S]都是2-[J#]-clean环，任取[rm0s∈RM0S]，则存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，[f∈Id（S）]，[j1，j2∈J#（S）]，使得[r=e+w1+w2，s=f+j1+j2]。于是有

[rm0s=e00f+w100j1+w2m0j2]，

其中[e00f∈Id（A）]，[w100j1，w2m0j2∈J#（A）]。故[A=RM0S]是2-[J#]-clean环。

给定环[R]和一个双模[RMR]，称[T（R，M）=R⊕M]是[R]通过[M]的平凡扩张，其中加法为对应加量加法，乘法定义为[（r1，m1）（r2，m2）=（r1r2，r1m2+m1r2）]。则[T（R，M）?rm0r|r∈R，m∈M]。

命题 2.14 平凡扩张[T（R，M）]是2-[J#]-clean环当且仅当[R]是2-[J#]-clean环。

证明 （[?]） 设[T（R，M）]是2-[J#]-clean环，取[I=（0，m）|m∈M]，则[I]是[T（R，M）]的一个理想且[T（R，M）I?R]，故[R]是2-[J#]-clean环。

（[?]） 设[R]是2-[J#]-clean环，任取[（r，m）∈T（R，M）]，由条件知存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[r=e+w1+w2]。于是[（r，m）=（e，0）+（w1，m）+（w2，0）]。显然[（e，0）∈Id（T（R，M））]，[（w2，0）∈J#（T（R，M））]，下面只需证明[（w1，m）∈J#（T（R，M））]即可。设存在正整数[n]，使得[w1n∈J（R）]，那么计算可得

[（w1，m）2n=（w2n1，i，j≥0i+j=2n-1wi1mwj1）∈J（T（R，M））]。

故[（w1，m）∈J#（T（R，M））]，所以[T（R，M）]是2-[J#]-clean环。

3 强2-[J#]-clean环和唯一2-[J#]-clean环

定义 3.1 称[a∈R]是强2-[J#]-clean元，若存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]且[ew1=w1e，ew2=w2e]。称[R]是强2-[J#]-clean环，若[R]中每个元素都是强2-[J#]-clean元。

显然，当[J#（R）]为环[R]的加法子集时，[R]是强[J#]-clean环［9］当且仅当[R]是强2-[J#]-clean环。

命题 3.2 若[R]是强2-[J#]-clean环，则[C（R）]中的元素都是[R]中的强 [J#]-clean元。

证明 对任意的[x∈C（R）]，因为[R]是强2-[J#]-clean环，故存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[x=e+w1+w2]且[ew1=w1e，ew2=w2e]。又因为[xw1=w1x]，所以[w1w2=w2w1]，从而存在[w]，使得[w=w1+w2∈J#（R）]。此时[x=e+w]且[ew=e（w1+w2）=（w1+w2）e=we]。故[x]是强[J#]-clean元。

推论 3.3 若[R]是强2-[J#]-clean环，则[2∈J（R）]。

证明 因为[2∈C（R）]，所以由命题3.2知2是强[J#]-clean元，故存在[e∈Id（R）]，[w∈J#（R）]，使得[2=e+w]且[ew=we]。于是[1-e=w-1∈Id（R）?U（R）]，则[1-e=1]，从而[e=0]，故[2=w∈J#（R）]，又因为[2∈C（R）]，所以[2∈J（R）]。

引理 3.4 设[R]为环，[a∈R]是一个强2-[J#]-clean元，则[annl（a）?annl（e）]，[annr（a）?annr（e）]。

证明 因为[a]是强2-[J#]-clean元，则存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]且[ew1=w1e，ew2=w2e]。设[r∈annl（a）]，则[ra=r（e+w1+w2）=0]。由[re=-rw1-rw2=-rw1e-rw2e=-rew1-rew2]可得[re（1+w1+w2）=0]，因为[1+w1+w2=[（1+w1）+w2]∈U（R）]，所以[re=0]，故[r∈annl（e）]。同理可得[annr（a）?annr（e）]。

定理 3.5 设[R]为环且[f∈Id（R）]。则[a∈fRf]在[R]中是强2-[J#]-clean元当且仅当[a]在[fRf]中是强2-[J#]-clean元。

证明 （[?]） 设[a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（fRf）]，[w1，w2∈J#（fRf）]，且[ew1=w1e，ew2=w2e]。显然，[w?fJ#（R）f?J#（R）]。因此，[a∈fRf]是[R]中的一个强2-[J#]-clean元。

（[?]） 设[a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，且[ew1=w1e，ew2=w2e]。因为[a∈fRf]，所以

[1-f∈annl（a）?annr（a）         ?annl（e）?annr（e）         =R（1-e）?（1-e）R         =（1-e）R（1-e） ]

因此[ef=e=fe]，故[a=fef+fw1f+fw2f]。显然[fef∈Id（fRf）]，[fw1f，fw2f∈]， [fJ#（R）f=J#（fRf）]，且[（fef）（fw1f）=few1f=fw1ef=（fw1f）（fef）]，同理 [（fef）（fw1] [f）=（fw2f）（fef）]。故命题得证。

注 该定理无需引理3.4也可证得。因为[a∈fRf]，故存在[r∈R]，使得[a=frf]，[faf=frf=a]，故[a=faf]。则[a=fef+fw1f+fw2f]。

推论 3.6 设[R]为环，令[e∈Id（R）]。若[R]是强2-[J#]-clean环，则[eRe]也是强2-[J#]-clean环。

下面考虑局部环上矩阵环的强2-[J#]-clean性。

引理 3.7 设[R]是一个局部环，则[R]是强2-[J#]-clean环当且仅当[R]是强[J]-clean环。

证明 （[?]） 众所周知，当[R]是局部环时，[J#（R）=J（R）]，若[R]是强2-[J#]-clean环，显然[R]是强[J]-clean环。

（[?]） 显然成立。

类似于文献［7，推论4.7］的证明方法，我们可以得到如下結论。

定理 3.8 设[R]是一个局部环，则[A∈M2（R）]是强2-[J#]-clean元当且仅当[A∈J#（M2（R））]或[I2-A∈J#（M2（R））]或[A]相似于矩阵[1+w100w2]，其中[wi?J#（R）]，[i=1，2]。

证明 由引理3.7可知[R]是强[J]-clean 环，再由［7，定理5.2］可知定理成立。

如果一个矩阵[A∈Mn（R）]是不可逆的，那么称[A]是一个奇异矩阵。如果一个奇异矩阵[A∈Mn（R）]满足[In-A]不可逆，那么称这个矩阵为纯奇异矩阵。

推论 3.9 设[R]是局部环，[A∈M2（R）]是一个纯奇异矩阵，则[A]是强2-[J#]-clean矩阵当且仅当[A]相似于[1+w100w2]，其中[wi?J#（R）]，[i=1，2]。

证明 因为[A∈M2（R）]是一个纯奇异矩阵，所以[A?J#（M2（R））]，[I2-A?J#（M2（R））]，由定理3.8可知推论成立。

类似于文献［13，定理3.2］的证明方法，我们可以得到如下结论。

命题 3.10 设[R]是一个局部环，[s∈C（R）]且[A∈Ks（R）]，则下列命题成立：

（1） [A∈Ks（R）]是强2-[J#]-clean环；

（2）[A∈J#（Ks（R））]或[I2-A∈J#（Ks（R））]或[A]相似于[1+w100w2]，其中[wi∈J#（R）]，[i=1，2]。

证明 由引理3.7和［13，定理3.2］可得。

定义 3.11 称[R]是唯一2-[J#]-clean环，若[R]中每个元素的2-[J#]-clean分解在不考虑[w1，w2]的先后顺序下是唯一的。

下面的例子说明了2-[J#]-clean环未必是唯一2-[J#]-clean环，强2-[J#]-clean环也未必是唯一2-[J#]-clean环。

例 3.12 （1） 设环[R=M2（Z2）]，显然[Z2]是2-[J#]-clean环，再由定理2.11知[R]也是2-[J#]-clean环。元素[1101]至少有两种不同的分解：[1001+0100+0000]，[0010+1111+0000]，所以[R]不是唯一2-[J#]-clean环。

（2） 设环[R]为模4剩余类环[R=Z4]，[Id（R）=0，1]，[J#（R）=0，2]，显然它是一个强2-[J#]-clean环。但因为1=1+0+0=1+2+2为元素1的两种不同的2-[J#]-clean分解，所以[R]不是唯一2-[J#]-clean环。

命题 3.13 若[R]是唯一2-[J#]-clean环，则[R]中的幂等元都是中心的，即[R]是Abel环。

证明 任取[e∈Id（R），r∈R]，则[e+er-ere=e+（er-ere）+0=（e+er-ere）+0+0]，易验证[er-ere∈J#（R）]，[e+er-ere∈Id（R）]。因为[R]是唯一2-[J#]-clean环，故[er-ere=0]，[er=ere]。同理可得[re=ere]，即[er=re]，故[R]中的幂等元都属于[C（R）]，故[R]是Abel环。

命题 3.14 设[R]是环，则下列条件等价：

（1） [R]是唯一2-[J#]-clean环；

（2） [R]是布尔环；

证明 （2）[?]（1） 显然。

（1）[?]（2） 假设[R]中存在除0以外的[J#（R）]元素[w]，则[1=1+0+0=1+w+（-w）]是1的两种不同的2-[J#]-clean分解，矛盾。于是对任意的[x∈R]，只有[x=e+0+0∈Id（R）]这一种2-[J#]-clean分解式，故[R]是布尔环。

定理 3.15 设[R]是环，则[R]是唯一2-[J#]-clean环当且仅当[R]也是强2-[J#]-clean环且[J#（R）=0]。

证明 （[?]） 若[R]是唯一2-[J#]-clean环，由命题3.14知[R]是布尔环。由文献［7，命题3.2］可知[R]是强[J]-clean环，显然[R]是强2-[J#]-clean环。

（[?]） 显然。

推论 3.16 设[R]是唯一2-[J#]-clean环，则下列结论成立：

（1） [RJ（R）]是唯一2-[J#]-clean环且幂等元模[J（R）]可强提升；

（2） [RJ（R）]是唯一2-[J#]-clean环且[R]是强clean环；

（3） [RJ（R）]是布尔环且幂等元模[J（R）]可强提升。

证明 （1） 因为[R]是唯一2-[J#]-clean环，由定理3.15的证明可知[R]是强[J]-clean环且[J（R）?J#（R）=0]，则[RJ（R）]是布尔环，又由命题3.14知[RJ（R）]是唯一2-[J#]-clean环。因为[R]是强[J]-clean环，由［7，定理2.3］可知幂等元模[J（R）]可强提升。

（2） 由（1）的证明和［7，命题2.1］可得。

（3） 由（1）和命题3.14可得。

参考文献

［1］ NICHOLSON W K. Lifting idempotents and exchange rings［J］. Transactions of the American Mathematical Society， 1977， 229（5）： 269-278.

［2］ NICHOLSON W K. Strongly clean rings and Fitting's lemma［J］. Communications in Algebra， 1999， 27（8）： 3583-3592.

［3］ HAN J， NICHOLSON W K. Extensions of clean rings［J］. Communications in Algebra， 2001， 29（6）： 2589-2595.

［4］ DANCHEV P V. On corner subrings of unital rings［J］. Internat J Contemp Math Sci， 2018， 13（2）： 59-62.

［5］ PURKAIT S， DUTTA T K， KAR S. On m-clean and strongly m-clean rings［J］. Communications in Algebra， 2020， 48（1）： 218-227.

［6］ WANG Z， CHEN J L. 2-clean rings［J］. Canadian Mathematical Bulletin， 2009， 52（1）： 145-153.

［7］ CHEN H Y. On  strongly  J-clean  rings［J］.  Communications  in  Algebra，  2010， 38（10）：3790-3804.

［8］ DIESL A J. Nil clean rings［J］. Journal of Algebra， 2013， 383： 197-211.

［9］ 程瑤. J-clean环的推广［D］. 芜湖：安徽师范大学， 2018.

［10］ CUI J， QIN L. Generalizations of J-clean rings［J］. Advances in Mathematics， 2020， 49（1）： 29-38.

［11］ 陈蒋欢， 王尧， 任艳丽. 2-诣零-clean 环［J］. 山东大学学报（理学版）， 2022， 57（2）： 14-22.

［12］ DANCHEV P V. Weakly invo-clean unital rings［J］. Afrika Matematika， 2017， 28（7）： 1285-1295.

［13］ XIANG Y M， OUYANG L Q. J-clean and strongly J-clean rings［J］. Communications in Mathematical Research， 2018， 34（3）： 241-252.

［14］ YING Z L， CHEN J L. On UR-rings［J］. Mathematical Research & Exposition ， 2009， 29（2）：355-361.

2-[J#]-clean Rings

TAO Dan-dan， YIN Xiao-bin

（ School of Mathematics and Statistics， Anhui Normal University， Wuhu 241003， China）

Abstract： This paper introduces the concept of 2-[J#]-clean rings. Let [R] be a ring， if each element in [R] is the sum of an idempotent and two [J#（R）] elements， [R] is said to be a 2-[J#]-clean ring. This paper mainly studies the basic properties of 2-[J#]-clean rings， and the relationship between it and some related rings is considered.

Key words： 2-[J#]-clean rings; 2-clean rings; matrix ring; ring extension

（责任编辑：马乃玉）