一致性视角下数与运算的教学思考和实践

赵红玲

［摘 要］数与运算的一致性，也就是算理与算法的一致性。为了引导学生理解算理、掌握算法，认识算理与算法的一致性，教师需要整体设计教学。文章从学生的真实情况和学科本质出发，以大概念统领单元设计为抓手，聚焦一致性，通过在不同学段渗透计数单位的内容，打通整数、小数、分数的学习脉络，让学生深刻体会整数、小数、分数的一致性。

［关键词］一致性；数与运算；大概念

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）23-0026-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022版课程标准》）中提出，要强调课程内容的内在联系，突出课程内容结构化，并探索主题、项目、任务等内容组织方式。数与运算的一致性能很好地体现课程内容的结构化。同时，《2022版课程标准》在“数与代数”领域明确要求“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”在这个背景下，笔者将以“分数”单元为例，重点探讨数与运算的一致性在教学中的关键作用。

一、缘起：数的概念与运算一致性的必要性

1.基于真实的学情分析

史宁中教授在解读《2022版课程标准》中指出，从当前的教材和教学来看，关于数的运算，加减乘除有各自的算理，整数、分数、小数运算有各自的算法。这些知识似乎是支离破碎、缺乏内在一致性的。

每次提到分数，都有教师很苦恼，因为总有一部分学生掉队，无论怎么讲，学生都不明白；每次学到分数，学生也很困惑，总觉得跟之前学习的整数、小数不同，比之前学习的整数、小数都更抽象，难以理解。为此，笔者针对五年级学生做了教学前测。

【调研内容】前测题1：[1/5] + [2/5]=？用文字、画图、算式等形式表达出你计算的道理。

前测题2：[1/2] + [1/3]=？用文字、画图、算式等形式表达出你计算的道理。

【调研结果】对同分母分数加法的计算，学生的正确率为100%，但对异分母分数加减法的计算，学生的正确率为75%，做错的学生均是将分母和分母相加、分子和分子相加。

【調研分析】从对数的认识来看，学生的认识不到位，无法对数的认识和数的运算建立联系，对计数单位认识不足；从对数的运算来看，学生只记住了计算法则，能迁移应用到同分母分数加减法上，但对算理认识不清晰，对异分母分数加减法的计算形成负迁移。这说明学生在学习整数、小数加减法时，对“相同的计数单位才能相加减”的算理理解不到位，且分数的计数单位比较特殊，因此出现了错误。

从教学来看，散点化的教学导致学生接受的知识就是碎片化的，思维不能有效迁移。当学生学完整数后，不能将整数的学习方法迁移到小数、分数中去，以致整数、小数、分数的学习是割裂的。要改变这一现状，就需要教师设计大概念统领的单元整体教学，以帮助学生系统化、结构化地学习，并形成知识网络。

2.基于数学的学科本质

整数、小数、分数本质上是一个整体。从数的形成与发展角度看，分数的产生源于整数除法不够除，小数的产生源于分数运算不方便；从数的组成角度看，整数、分数、小数都是基于计数单位建构的；从运算的角度看，数的运算都是计数单位与计数单位个数的运算。因此，数的组成和数的运算从本质上看是一致的，明白了数的组成就可以更好地运算，掌握了数的运算就能更好地理解数的组成。教师要引领学生理解数的本质，明白“数”与“运算”的一致性，使学生建立起知识之间的联系，体会到数学知识的相通性、一致性与整体性，从而学得更透彻。

二、建构：大概念统领的单元教学设计

1.确定主题单元的教学逻辑

《2022版课程标准》指出：“单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养”。为此，教师应认真研读课程标准，梳理、分析教材内容，厘清教材的逻辑结构，并分析学生的学习经验和认知基础，进而确定主题单元的教学逻辑。图1是笔者对北师大版五年级教材中有关分数单元的梳理。

通过梳理可以发现，这4个单元的内容都和分数有关，而且所学内容是由浅入深、层层递进、螺旋上升的。在教学中，教师要让学生感受到这种关联性，体会到分数的本质，学生才能把抽象的分数学好、学透。为此，笔者将这4个单元进行了整合。

2.寻找与单元对应的核心素养

（1）对接《2022版课程标准》

《2022版课程标准》中详细介绍了与本主题单元有关的内容要求、学业要求和教学提示。（见表1）

与《义务教育数学课程标准（2011年版）》相比，《2022版课程标准》增加了感悟计数单位的内容，这可以看出《2022版课程标准》对计数单位的重视。第三学段的学生已经掌握了数的意义，在此基础上，教师要发展学生探索数的特征的能力，引导学生感悟计数单位的作用，进一步理解数的意义，从而提升学生的数感。在数的运算方面，教师要注重引导学生对整数、小数和分数四则运算的思维迁移，让学生从整体上理解和掌握运算的算理和算法，认识整数、小数和分数计算方法的共性与差异，体会运算的一致性，提升学生的运算能力和推理意识。

（2）确定核心素养

小学阶段的核心素养主要表现为数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。教学时，教师应从中选择与主题单元匹配的核心素养。其中，与本主题单元匹配的是数感、符号意识、运算能力和推理意识。

3.构建大概念统领的单元架构

何为大概念？大概念中“大”的内涵不是“庞大”或“基础”，而是“核心”。大概念指向学科本质、彰显学科价值、概括学科结构，能打通数学知识之间的关联，构建出脉络清晰、条理分明、相互关联的数学知识体系。大概念有很强的迁移功能，能打通跨学段、跨学科的学习，将思维方式迁移到新的学习中，让学生明白新旧知识之间是相通的。

大概念教学可以将素养落地。在小学“数与代数”领域，通过大概念教学可以让学生初步感悟数的概念的一致性，体会数是数量的抽象，形成数感和符号意识；感悟数的运算之间的联系，体会数的运算的一致性，形成运算能力和初步的推理意识，明白整数、小数、分数本质上是一个整体。由此，笔者确定分数单元的大概念为计数单位。

【单元具体概念】

（1）从数的概念的一致性认识分数的本质，感悟分数的意义，体会分数单位的重要性。

（2）从数的运算的一致性理解分数加减法，体会“相同计数单位上的数才能相加减”。

（3）探索乘法运算的一致性，分数单位相乘，本质上是计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位。

（4）探索除法运算的一致性，建立整数除法与分数除法的关系，贯通整数与分数的运算算理。

单元具体概念是单元教学的核心内容，也是教学过程中形成的思想方法的集中体现，更是大概念在单元教学内容中的具体化，对本单元教学起到引领作用。

基于此，笔者对这4个单元的内容进行整合（如图2），并构建了大概念统领下的大单元整体框架（如图3）。

三、实践：不同学段的教学实践

学生对一致性的理解不是一蹴而就的。教学中，教师要尝试在不同学段逐步渗透一致性：第一学段学习整数时，就在学生脑海中“埋下”计数单位的“种子”；第二学段学习小数时，要唤起学生整数学习的经验，引导学生建立小数与整数的联系；第三学段学习分数时，要打通整数、小数、分数的学习脉络，进而帮助学生理解一致性。

1.第一学段：“埋下”一颗“种子”

在第一学段“数与运算”中，“11～20各数的认识”的内容是在学习了1～10各数的认识的基础上对数的进一步认识，重点是理解数位，即不同数位上的数字表示的数值不同。这是学生第一次接触数位，也是学生进一步理解数位和计数单位的开始，这个内容的学习对后面百以内数、万以内数等更大的整数乃至小数的认识都很重要。《2022版课程标准》中强调“理解数位的含义”“能说出不同数位上的数表示的数值；能用符号表示数的大小关系，形成初步的数感和符号意识”，这是对万以内数认识的总体要求，也是整数学习的重点和难点。

教学中，教师要重点思考：如何使学生更好地理解不同数位上的数字表示不同的数值？如可借助古人计数的情境，设计“辨11”环节。教师提问：“刚才我们用一块大石头和一块小石头，一捆小棒和一根小棒分别表示出11（如图4），现在有两颗同样的珠子，还能表示出11吗？”学生思考后提出疑问：“大石头和小石头在大小上有区别，一捆小棒和一根小棒在数量上也有区别，而两颗珠子却是一模一样的，怎么表示11呢？”教师通过辨析解开学生的困惑，让他们明白一颗珠子代表10，另一颗珠子代表1（如图5）时，两颗珠子在一起就能表示11，帮助学生真正理解位值制的本质：同样的数放在不同数位上就表示不同的值。学生第一次接触数位，就在脑海中深深“埋下”一颗计数单位的“种子”，为后面学习更大的数做好了准备。

2.第二学段：构建一些关联

第二学段学习“小数的初步认识”时，教师可以以元、角、分为载体，引导学生从对小数的具体认识上升到抽象的小数表达。这种表达是整数数位认识的延续，也是对分数计数单位的进一步渗透。一些教师对小数数位的理解不重视，忽视对小数意义的探究，教学只停留在从形式上认识十分位、百分位、千分位上的数，缺少对这些数位实际意义的深入解析。《2022版课程标准》指出，要结合具体情境探索并理解小数的意义，感悟计数单位。那么，教师应如何理解这一要求，并在教学中落实呢？

在教學中，教师可从学生认识的一位小数出发，运用几何直观的方法设计如图6所示的场景，并围绕“如何用小数表示这样的涂色部分”的问题展开课堂讨论。图6是在原来涂色部分表示0.5的图形中又涂了一小块，这时涂色部分还能用0.5表示吗？学生思考后得出不同结果，有学生认为应用0.51表示，有学生认为是0.52……学生给出的答案都在0.5和0.6之间，但为什么用这些小数表示，学生说不清楚。这时，教师要不断追问，引导学生把图中一个长条（表示0.1）分成10等份，直观理解增加的一小块就是一个长条的[110]，也是大正方形的[1100]，理解0.01是将0.1（十分位）10等分后得到的新的计数单位——百分位，有几个0.01就在百分位上用几表示。教师还可以引导学生再细分下去，进而认识更多的小数单位，感悟小数单位的意义。在此活动中，学生逐步理解小数的意义、小数计数单位的概念以及小数计数单位与整数计数单位的联系。

3.第三学段：打通一切脉络

（1）感悟分数单位

在整数、小数的学习中，学生已经感受到计数单位的重要性。分数的教学也需要让学生感悟分数单位。如果只强调“平均分”和“份数”，强调单一整体作为单位“1”的认识，忽视集合整体作为单位“1”的认识，不关注同一分数在不同单位“1”中所表示的具体数量不同，将会导致学生对分数理解困难。分数和整数一样也有计数单位，分数单位是分数的计数单位，无论几分之一，都表示把1平均分成若干份，取其中的一份。分数的计数单位与其被等分的数量有关，学生对分数概念的理解需要建立在“平均分”和单位“1”的基础上。如教师可通过单个图形、多个图形、多组图形三个角度帮助学生理解[14]的含义，将单位“1”从单一个体逐渐过渡为一个整体，强化学生对单位“1”的整体认识以及分数意义的理解。

（2）感悟运算的一致性

异分母分数加减法是分数加减法运算的重点和难点。因为分数的表达形式不是十进制，所以在计算方法上与整数、小数运算有明显的差别，但运算的本质和算理具有一致性。教学中，教师应重点思考：怎样使学生理解异分母分数加减法的算理？怎样引导学生将分数运算与整数运算建立联系，并能从计数单位的视角感受计算方法的一致性？

教师可以结合学校小菜园设计问题。例如，通过真实的问题情境“有一块长方形菜地，其中[12]种豆角，[14]种黄瓜，请问：种豆角和黄瓜的面积一共占这块菜地的几分之几？”唤起学生对计算方法的探索。学生尝试用以往的知识与方法解决新问题，得出“分子加分子，分母加分母”的结论，这显然是将整数、小数加法的算理迁移过来了。通过讨论、质疑、交流，学生理解了异分母分数加减法为什么要通分，即通分的本质是把两个分数单位不同的分数转化为分数单位相同的分数。只有将异分母分数加法与整数加法联系起来，理解它们之间的共同点是“相同的计数单位才可以相加”，把整数的数位、分数的分数单位都理解为计数单位，才能实现《2022版课程标准》提出的“感悟运算的一致性”。

四、评价：多元的评价体系

教師应注重合理运用多元评价方式，全面评价个体与集体的发展，并将评价融入教学活动中，发挥评价的育人导向，坚持以评促学、以评促教。

1.评价主体多元化

评价的主体是多元的，可以是学生、同伴、教师、家长等。教师要综合运用学生的自我评价、同伴互评、教师评价、家长评价等方式，对学生的学习情况进行全方位的了解。在教学“分数”大单元后，教师出示评价单（见表2），并组织学生填写、展示、交流。在自我评价中，学生从反思、克服困难中认识自我，实现自主学习和自我发展；在同伴互评中，学生互相监督、互相促进，形成良好的团队合作精神；在教师评价中，学生得到正确的引导，获得学习上的成就感和自信心；在家长评价中，营造和谐的成长环境，融洽亲子关系。

2.评价维度多元化

评价的维度是多元的，可在评价的方式中加入过程性评价、表现性评价等。在评价中，教师不仅要关注学生的知识技能，还要关注学生的数学思想、基本活动经验的积累；不仅要关注学生分析问题、解决问题的能力，还要关注学生发现问题、提出问题的能力，从而全面发展学生的核心素养。学习分数大单元后，有学生激动地说：“原来整数、小数、分数是一家啊！计算时，其实都是计数单位在加减呢！”学生的通透理解和喜悦，真真切切体现了学生的学习效果。

数学是有核心的，数学是有联系的，数学是有结构的，数学是有系统的，只要学生在繁杂的知识中找到核心概念，就能抓住关键问题。数与运算中的核心概念就是“计数单位”，理解了“计数单位”的统领作用，就能沟通整数、小数、分数的联系，使学生体会到数与运算的一致性，实现有效迁移。一致性视角，使核心素养落地生根。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 葛丽霞.聚焦“一致性”落实新课标：《分数加减法》单元整体教学实践[J].现代教育，2022（7）：50-54.

[2] 巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性[J].课程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

[3] 余荣军，徐斌.数学新课标“课程内容”研读及其教学启示[J].教育研究与评论（小学教育教学），2022（10）：8-16.

[4] 刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型：兼论素养导向的课堂变革[J].教育研究，2020（6）：64-77.

（责编 李琪琦）