初中数学一元一次方程之行程问题教学例谈

余臻秀（福建省宁德市寿宁县鳌阳中学）

一元一次方程是七年级数学教学的重难点之一。解一元一次方程是在有理数和整式计算的基础上进行的。一元一次方程的引入是为了方便人们去解决多种复杂的实际问题。例如，行程问题、年龄问题、配套问题、工程问题、销售问题、积分问题和分段计费问题等。行程问题是实际问题与一元一次方程中最经典的问题。

一、一元一次方程之行程问题的教学目标及重难点

（一）三维目标

一元一次方程是小学数学教学活动中的重点知识，其承担着帮助学生掌握方程概念、了解基本算法的重要任务。在小学数学教学中，一元一次方程之行程问题的三维教学目标分别是：能够运用一元一次方程解决行程问题，应用一元一次方程知识、利用数量关系来推导数学算法；通过现实问题情景引导学生积极探索，经历抽象为数学模型的过程。在数学解题中，通过数量关系来掌握方程的算法、核心计算要求；通过探究活动培养学生与他人交流的能力，激发学习兴趣，体会一元一次方程的应用价值，驱动小学生数学学习能力的深度发展。

（二）教学重难点

一元一次方程中的行程问题包含了速度、时间与路程三大要素。通过深度解读数学知识，驱动学生进行数学分析，从而整合数学概念。本节内容的学习重点是：列方程解决行程问题，难点是寻找等量关系，建立数学模型。通过对基础数学知识的认知、分析、应用来驱动学生掌握数字与数学算法之间的关系，促使学生形成分析问题、应用数学知识的基本能力。

教师需要分析一元一次方程的基本结构、数学应用价值。通过对一元一次方程结构的挖掘，引导学生掌握相关数学算法；借助对数学运算关系的推导，驱动学生主动应用数学知识。在一元一次方程行程问题上，教学难点表现在“如何应用方程”这一关键角度上，强调学生对于方程知识的独立整合、开发，以此来驱动学生形成良好的自主学习兴趣。从数字关系角度掌握一元一次方程的特点，运算方法角度帮助学生整合数学学习经验，进而逐步创新一元一次方程教学模式，加深学生对于数学知识的理解，掌握行程问题的解题策略。

二、列方程解决实际问题的一般过程

一元一次方程教学中，基于行程问题的教学与方程解答之间存在着密切的联系性关系。通过对方程问题的分析、解读，驱动学生主动应用方程知识。在教学过程中，教学活动包含了设计方程、解决问题、检验结果等多个环节，列方程解决实际问题的一般过程如下：

审题：分析题意，找出图中的数量及其关系。根据问题中给出的数字与数学关系展开数学教学工作，促使学生主动对数学知识进行应用。

设元：选择一个适当的未知数用字母表示，依靠未知数与已知数字之间的数量关系，帮助学生掌握相关数学概念。

列方程：根据找出的相等关系列出方程，分析一元一次方程中的数量关系，形成明确的数学解题任务。

解方程：求出未知数的值。检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形。答：写出答案。在能够熟练解一元一次方程的基础上，解题过程中对于学生难度最大的是如何找等量关系和设未知量。

三、一元一次方程之行程问题的教学过程设计

行程问题中涉及到航行问题，相遇追击问题，过桥梁（隧道）问题，环形跑道问题等内容。这里主要研究行程问题中的航行问题。航行问题的本质是顺风（水）逆风（水）速度的表达，顺风时速度=无风时速度＋风速，逆风时速度=无风时速度－风速。该类型题目常根据路程=速度×时间公式找到等量关系。

教师可以尝试利用互动情境创设数学问题，如以情境模拟交通工具的运动过程，对关键性影响的因素进行分析。展示问题当中的数量关系与数学概念，提升学生的数学学习能力。在一元一次方程教学中，需要结合的行程问题中所包含的数学信息、数学概念设计对应的解题方案，培养学生的数学解题思路。下面通过三个循序渐进的行程问题，展开说明如何找等量关系，设未知数以及列方程。

（一）自主合作探究及解决问题

基于一元一次方程的构成设计行程问题并引导学生进行解题，要对方程中的关键信息、数学概念进行整合，培养学生自主学习、自主探究的基本技能。从教学现状进行分析，部分学生已经在对方程概念进行分析、解读的过程中掌握了一元一次方程的基本特点，期望独立开展数学解题实践活动。引导学生主动对一元一次方程的解题方法进行应用，在纠错、分析的过程中主动应用数学知识，可以帮助学生夯实基础，提升小学生的学习能力。

例1：一架飞机在两城市之间飞行，风速为24km/h，顺风飞行需要2h50min，逆风飞行需要3h。求无风时飞机的飞行速度和两城市间航程。

解析：该题目是行程问题中的基础问题。设无风时飞机的飞行速度为xkm/h，两城市之间路程相等即题目中的等量关系。用两种不同的形式来表达路程，顺风时路程和逆风时路程。利用速度时间=路程的公式求得往返路程。通过观察题目发现，顺风的飞行时间2h50min 需要先转换为以小时为单位。

解：设无风时飞机的飞行速度为xkm/h，则顺风时的飞行速度为（x+24）km/h，逆风时的飞行速度为（x-24）km/h。已知2h50min 为h，根据题意得（x+24）=3（x-24）

解得x=840

则3（x-24）=2448km。

答：无风时飞机的飞行速度为840km/h，两城市之间的航程为2448km。

例2：某船从A 地顺流而下到达B 地，然后逆流返回，到达A，B 两地之间的C 地，一共航行了7h。已知此船在静水中的速度为8km/h，水流速度为2km/h，A，C 两地之间的距离为10km，求A，B 两地之间的距离。

解析：在7h 的航程中，有顺流速度和逆流速度两种速度。设A，B 两地之间的距离为xkm。顺流路程为xkm，速度为（8+2）km/h。逆流的路程为B，C两点间的距离，即（x-10）km，逆流速度为（8-2）km/h。根据时间=路程÷速度公式，求得往返路程花费的时间，得到一元一次方程。

解：设A，B 两地之间的距离为xkm，则B，C两地之间的距离为（x-10）km。由题意，得

解得x=32.5

答：A，B 两地之间的距离为32.5km/h。

例3：某船从A 地顺流而下到达B 地，然后逆流返回，到达C 地，一共航行了7h。已知此船在静水中的速度为8km/h，水流速度为2km/h，A，C 两地之间的距离为10km，求A，B 两地之间的距离。

解析：在7h 的航程中，有顺流速度和逆流速度两种速度。设A，B 两地之间的距离为xkm。顺流路程为xkm，速度为（8+2）km/h。逆流的路程为B，C两点间的距离，即（x-10）km，逆流速度为（8-2）km/h。由于学生的思维定式，会认为C 点介于A 点和B 点之间，但题目中并没有对C 点有限制。所以逆流的路程有第二种，即逆流返回时已经超过A 点，逆流行驶路程为（x+10）km。再根据时间=路程速度公式，求得往返路程花费时间，得到一元一次方程。

解：设A，B 两地之间的距离为xkm，则当B，C 两地之间的距离为（x-10）km 时。由题意，得

解得x=32.5

当B，C 两地之间的距离为（x+10）km 时。由题意，得

解得x=2

答：A，B 两地之间的距离为32.5km/h 或2km/h。

（二）小结

不难发现，在行程问题中顺风（水）逆风（水）问题，学生掌握的根本是理解顺风（水）逆风（水）时的速度，对问题当中的数量关系进行分析，从而找到等量关系。根据速度时间=路程公式列一元一次方程，可以引导学生主动应用数学知识。在这类问题教学中，我们应该按照从易到难，由简到繁，循序渐进的原则进行，让学生踮起脚尖摘苹果。题目的设置上有拓展，有难度，有跨度。在解决一个个问题的过程中，收获解题的成就感。

（三）教学反思

教学过程是建模的过程，将实际问题抽象为模型的过程。一元一次方程中的行程问题，是对一元一次方程的实际运用。让学生经历审题，列方程，解方程，求出未知数的值，检验，答，这些解题步骤，在学习的过程中感受到成就感，激发学生学习的兴趣，促使学生主动接纳数学教学活动。

经过本节课的学习培养学生严谨的数学思维，但从小学数学教学经验来看，关于一元一次方程中的行程问题，学生还存在着一定的学习盲区。首先，基础差的问题没有得到有效解决，学生只能通过对教材内容的模仿、分析来掌握数学学习方向，在一元一次方程问题中缺乏独立的思考。针对学生身上存在的这一问题，必须对行程的概念、行程问题的特点进行讲解；其次，一元一次方程中的行程问题以抽象化、生活化为特点，无论是“顺风”还是“逆水”等表述，学生并不陌生。但由于速度上产生了变化，必须要对学生的解题思路进行优化。由此，可以考虑应用数学模型引导学生进行解题，通过直观运动速度的变化，引导学生探究速度与行程、距离之间的关系。消除教学盲区，才能提升学生的学习效率。

一元一次方程式体现着计算方法的进步，但学生却不能直观地感受到这类算法带来的便利性。这是需要引起教师重视且一定要解决的教学难点。一元一次方程能解决绝大多数的问题，例如形成、分配、计费、数学问题等等，能为学生的学习与未来发展带来不可替代的积极影响与作用。

在本次教学设计中，教师将学生作为课堂中的主体，从学生的角度分析、制定教学方法，帮助学生完成数学思维的过渡和转换。教师借助自主探究教学法展开教学，将教学内容的难度控制在学生的数学认知能力范围内，学生借助难度递增的数学题目，一点点感受到一元一次方程解题法在数学计算过程中的便捷性与高效性，学会寻找等量关系，设未知数以及列方程式。