三角函数在物理运动问题中的应用

高双云

【摘要】新高考数学试卷中，创新情境试题是其中最具创新特色的一类问题，结合高考数学命题的指导思想，以三角函数为问题背景，借助物理知识巧妙入题，通过物理中几类与之相关的常见模型加以分析与应用，利用数学知识、数学方法等来解决问题，引领并指导复习备考与研究．

【关键词】三角函数；简谐运动；机械波；电学

物理学中的简谐运动（常見的如弹簧、单摆等）、机械波、电学等，其共同的特点是具有周期性等三角函数的基本特征，利用三角函数的相关知识来解决对应的物理学的应用，实现三角函数在物理学科中的交汇融合与综合应用．

1 弹簧

例1 如图1所示，弹簧上挂着一个小球作上下运动，小球在ts时相对于平衡位置的高度h（cm）的关系式为h=2sint+2cost，t∈［0，+∞），则小球在开始振动（即t = 0）时h的值为cm，小球振动过程中最大的高度差为 cm．

分析 根据题目条件，利用弹簧运动中小球在t s时相对于平衡位置的高度h（cm）的三角关系式，综合三角函数知识，通过三角恒等变换，结合三角函数值的求解以及振幅的确定来分析与解决对应的问题．

解析 根据题中关系式，化简可得

h=2sint+2cost

=222sint+22cost=2sint+π4，

令t = 0，可得h=2.

由振幅为2，可得小球振动时最高离平衡位置向上为2，最低离平衡位置向下为2，

故最大的高度差为4.

故填答案：2；4．

点评 作为最常见的简谐运动之一，弹簧模型是比较熟知的一类三角函数应用场景，利用弹簧的运动特点、运动规律或运动过程的关系式等形式来巧妙设置三角函数问题，结合三角函数的相关知识来分析与解决相应的物理中的简谐运动应用问题．

2 机械波

例2 在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受．著名数学家傅里叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐音都能用数学表达式来描述，它们是一些形如y=asinbx的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐音的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数y=0.06sin180000t（基本音）构成乐音的是（  ）

（A）y=0.02sin360000t.

（B）y=0.03sin180000t.

（C）y=0.02sin181800t.

（D）y=0.05sin540000t.

分析 根据题目条件，利用声波所对应的乐音的三角函数表达式，以及泛音的频率与基本音的频率之间的关系，结合三角函数中频率、最小正周期与对应参数ω之间的关系中进行分析，结合选项中给出的三角函数关系式加以分析与判断．

解析 由于频率f=1T=ω2π，

根据题目条件可知若f1=nf2（n∈N*），

则必有ω1=nω2（n∈N*），

易得360000=2×180000，

180000=1×180000，540000=3×180000，

故选项（A）（B）（D）中函数都能与函数y=0.06sin180000t构成乐音，

只有选项（C）中，181800不是180000的整数倍，

故选择答案：（C）．

点评 借助乐音，通过声波这一常见的机械波来创设场景，利用乐音所对应的三角函数关系式，结合乐音中频率不同的基本音与泛音这些专业的名词及其对应之间的关系的构建，巧妙联系起物理学、声乐、数学等相关学科知识，创新应用．

3 电学

例3 已知电流I与时间t的关系为I=Asin（ωt+φ）．

如图1所示的是I=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一个周期内的图象，根据图中数据求I=Asin（ωt+φ）的解析式.

分析 根据题目条件，利用电学中电流与时间之间的三角函数关系的构建，结合三角函数的图象与性质来确定对应的三角函数解析式．

解 （1）由题图可知A=300，

设t1=－1900，t2=1180，

则周期T=2（t2－t1）=21180+1900=175，

可得ω=2πT=150π，

又当t=1180时，I=0，

即sin150π×1180+φ=0，

而|φ|<π2，解得φ=π6，

故所求的解析式为I=300sin150πt+π6.

点评 借助电学中常见的电流与时间之间的三角函数这一熟知的数学模型，巧妙构建三角函数的相关概念、图象与性质等知识，通过数学中函数图象的直观分析、数学运算与逻辑推理等反馈，解决相应的物理应用问题．

4 结语

不同学科之间的交汇与融合，特别如以上数学与物理学科相融合，此类创新情境数学试题能紧密联系生活实际，渗透其他学科中的相关知识，借助数学知识进行数学建模，巧妙化归与转化，突出考查数学建模、数据分析、逻辑推理和数学运算等核心素养，深受命题专家的青睐．

参考文献：

［1］汤琴.函数思想在高中物理解题中的应用探讨［J］. 数学学习与研究.2021（01）：148-149.

［2］杨军.函数极值在高中物理解题中的应用［J］.物理之友2017（05）：40-41+43.

［3］高会平.数学向量与三角函数知识在高中物理中的应用例析［J］.教学考试2022（31）：45-50.

［4］朱政和.三角函数在高中物理中的应用［J］.知识文库.2018（20）：169.