稳健自适应波束形成算法综述

陈明建,胡振彪,陈怀进,胡钧超

(国防科技大学电子对抗学院,安徽 合肥 230037)

0 引言

标准Capon波束形成器在理论上具有十分优良的性能,通过约束期望信号无失真输出,同时最小化输出功率,达到增强有用信号同时抑制干扰信号,提高阵列输出信干噪比的目的。自适应波束形成技术已广泛应用在阵列雷达、语音信号处理、医学影像等领域[1-3]。然而,在实际应用中通常存在各类失配误差,期望阵列响应与实际阵列响应出现偏差,导致阵列处理的干扰抑制能力下降、有用信号“自相消”等现象,因此稳健自适应波束形成技术一直是阵列信号处理研究方向[4-10]。

稳健自适应波束形成技术主要分为以下两大类：第一类是对协方差矩阵进行处理,代表性算法有对角加载类法[11-19]、协方差矩阵重构法[20-40];第二大类是对导向矢量进行处理,代表性算法有线性约束最小方差法[41-43]、特征空间法[44-47]、最坏情况性能最优法[48-52]、导向矢量估计法[53-55]、协方差矩阵拟合稳健Capon波束形成法[56-60]。对角加载类法是对数据协方差矩阵进行正则化修正,改善矩阵的条件数,使得加权矢量估计更为精确。该算法的关键问题就是加载因子难以选择。文献[17—19]提出了自动对角加载稳健自适应波束形成算法,利用岭回归技术自动计算加载系数,解决了加载量难以选择的问题。文献[41—43]提出的线性约束最小方差法通过增加线性约束,波束的主瓣被展宽,避免了因期望信号来波方向(direction of arrival, DOA)的不确定性造成的信号自消现象,但方法仅对DOA失配有效,同时线性约束消耗阵列系统的自由度,引起旁瓣升高或者干扰零限变浅。文献[44—47]提出的特征空间法在高信噪比情况算法性能较好,但在低信噪比情况下信源估计不准确,信号子空间与噪声子空间估计有偏差,从而导致投影矩阵构造不准确,算法性能下降。最坏情况性能最优法是将导向矢量约束在不确定集中,使得导向矢量误差在一定范围内时波束形成仍能保持较理想的性能,但算法性能受限于导向矢量模约束参数选取,计算复杂度较高。

为了进一步解决上述问题,文献[20]率先提出在自适应波束形成技术中引入了协方差矩阵重构思想,通过低分辨率的谱估计方法得到干扰信号的方向,利用Capon谱重构干扰噪声协方差矩阵,该方法依赖于每个干扰信号方向和功率估计精度。在此基础上文献[21—22]提出了基于Capon 空间谱在干扰信号来波方向区域进行积分的重构算法,无需估计每个干扰信号方向和功率估计,然而由于它在求积分的过程中仅考虑了信号的方向估计误差,导致在阵列存在幅相误差、位置误差、互耦等阵列误差时在低SNR情况下算法性能将下降。文献[23]将期望信号的导向矢量约束在环面不确定集中,解决存在任意阵列模型失配时波束形成器的SINR性能下降的问题,提高了算法在其他阵列模型误差时的适用性。但该算法导向矢量计算较为复杂,且模约束参数选择仍然是个难以选择的问题。文献[26—27]提出基于干扰信号DOA估计和功率估计的重构算法;文献[28]提出利用SCB算法求得噪声功率和信号协方差矩阵,然后在消除残留噪声后利用子空间技术得到期望信号导向矢量,并通过投影变换重构出干扰协方差矩阵。文献[30—31]提出了基于特征分解估计干扰信号导向矢量,然后利用Capon 谱估计其干扰信号功率。文献[32]对基于协方差矩阵的稳健自适应波束形成进行综述。文献[33]提出基于迭代自适应方法重构干扰加噪声协方差矩阵,通过迭代求解信号的波形得到功率估计值。文献[38]采用多项式拟合估计期望信号导向矢量,进一步提高了算法的稳健性,避免了采用优化算法求解导向矢量,减小了计算量。

本文首先介绍标准Capon波束形成的信号模型及误差影响分析;然后,从协方差矩阵重构和导向矢量估计两个方面对稳健自适应波束形成算法进行综述;最后,通过仿真实验对几种典型稳健自适应波束形成算法性能分析,并对稳健自适应波束形成算法研究方向进行展望。

1 信号模型

1.1 Capon波束形成器

假设M元各向同性均匀线阵接收远场K个相互独立的窄带信号,波束形成器在t时刻输出可表示为

y(t)=wHx(t),

(1)

式(1)中,x(t)∈K×1、w∈M×1分别是阵列接收的信号和权矢量,符号表示复数集合,(·)H表示复共轭转置。

x(t)=xs(t)+xi(t)+n(t)=A(θ)s(t)+n(t),

(2)

理论上干扰加噪声协方差矩阵Ri+n可写为

(3)

标准Capon波束形成器的数学模型可表示为

(4)

用Lagrange乘子法求得Capon波束形成器的权向量为

(5)

由式(5)可知,最优权矢量wopt是Ri+n和a0的函数。

1.2 误差影响分析

若接收信号不含期望信号或者快拍数足够多,传统Capon波束形成算法能达到最优性能,但实际应用中存在各种误差的影响,导致期望信号的导向矢量和数据协方差矩阵估计存在误差,此时Capon波束形成SINR性能将受各类误差的影响。下面分析导向矢量失配和数据协方差矩阵误差对算法SINR性能的影响。

1) 导向矢量误差

(6)

(7)

2) 协方差矩阵误差

若假定阵列接收信号满足独立高斯分布,文献[44]证明数据协方差矩阵误差可以等效导向矢量误差,若不存在期望信号导向矢量误差,则由短快拍数据引起的SINR性能损失小于3 dB需满足

N≥SINRopt(M-1)≫M。

(8)

2 稳健自适应波束形成算法

2.1 协方差矩阵重构

协方差矩阵估计误差主要是由短快拍,或者数据的非平稳等因素引起,从而导致协方差矩阵的噪声特征值的扩散。本文主要讨论短快拍引起样本协方差矩阵估计误差时的稳健方法。下面分别介绍三种协方差矩阵重构方法。

2.1.1基于广义线性组合的协方差矩阵估计

(9)

(10)

式(10)中,收缩因子α、β分别为

(11)

考虑到α、β估计与R有关,而实际中R无法获得,因此采用如下式估计ρ,即

(12)

且满足如下关系

(13)

将式(13)代入式(11)可得

(14)

(15)

将收缩因子α、β估计值代入式(9)可得

(16)

2.1.2基于Capon空间谱的协方差矩阵重构方法

文献[21]在2012年提出基于Capon谱估计的协方差矩阵重构思想,可写为

(17)

上述基于Capon波束形成的协方差重构算法优点是无需估计干扰信号方向和功率,但需要已知阵列流型,即导向矢量a(θ)精确已知。为了拓展该算法的应用场景,文献[23]将干扰信号导向矢量约束在某个球形不确定集中,即

(18)

其中参数ε应满足

(19)

高维圆环形不确定集示意图如图1所示。

图1 基于环形不确定集导向矢量示意图Fig.1 Steering vector diagram based on circular uncertainty set

(20)

为了简化计算,式(20)可写为

(21)

(22)

重构的干扰加噪声协方差矩阵可表示

(23)

该算法对任意误差引起导向矢量失配具有较好的稳健性,在高信噪比SNR 时其性能优于文献[21]所提算法。但在低信噪比SNR时,算法中的近似处理会导致重构值与真实值有较大偏差,导致算法性能下降,同时干扰信号真实导向矢量未知,因而无法确定最优的ε值。

2.1.3基于干扰信号导向矢量和干扰功率估计的协方差矩阵重构

文献[27]提出将干扰信号导向矢量都约束在一个不确定集内,通过如下约束优化问题

(24)

式(24)中,δ为常数,上述优化问题的解可以写为

(25)

计算第i个干扰信号功率

(26)

(27)

文献[28]提出对干扰信号导向矢量和干扰功率估计,从而得到协方差矩阵。

首先,估计信号协方差矩阵

(28)

(29)

(30)

(31)

则干扰信号协方差矩阵估计值可表示为

(32)

重构出干扰加噪声协方差矩阵为

(33)

2.2 导向矢量估计

2.2.1基于特征子空间的导向矢量估计

特征子空间算法核心是空间谱估计中的子空间理论,对数据协方差矩阵特征分解可得

(34)

式(34)中,λm,um,m=1,2,…,M分别为特征值和特征向量。不失一般性,假定特征值按照降序排列,即满足λ1≥λ2≥…≥λM,若信号与干扰的个数为K,则前K个特征值对应的特征向量张成的空间就被认为是信号子空间,表示为Es=[u1,u2,…,uK],Λs=diag{λ1,λ2,…,λK}为前K个特征值构成的特征矩阵。

(35)

特征子空间算构造信号子空间的投影矩阵,并对假定导向矢量进行投影修正,将不属于信号子空间的成分从假定导向矢量中去除,从而估计出更加准确的期望信号导向矢量。若在高信噪比时,且信号加干扰的数目准确已知时,该方法对导向矢量误差具有很好的稳健性,但如果上述假设条件不成立,则算法的稳健性能将急剧下降。这是因为在低信噪比时或者信号源个数未知时,极易发生子空间缠绕,引起信号子空间估计出现误差,从而导致波束器的稳健性能下降。

2.2.2基于优化技术的导向矢量估计

1) 基于协方差矩阵拟合的导向矢量估计

期望信号导向矢量不确定集可以建模为非退化椭球不确定集和退化椭球不确定集。当导向矢量约束为非退化椭球不确定集时,协方差矩阵拟合算法模型为

(36)

当导向矢量约束为退化椭球不确定集时,子空间拟合算法模型为

(37)

式(37)中,B为给定的M×L(L

2) 基于序列二次规划的导向矢量估计

首先定义一个正定矩阵

(38)

式(38)中,Θ为期望信号来波方向所在角度区域。

(39)

2.2.3基于多项式拟合的导向矢量估计

文献[38]提出最小化期望信号空间倒谱,利用多项式拟合得到期望信号空间倒谱,即

(40)

其中,[θ1,θ2]属于期望信号的预估计方向区域。

将式(40)写成多项式拟合问题,即

(41)

式(41)中,Q为多项式阶数,ci为多项式系数。若定义向量c=[c0,c1,…,cQ-1]T,ψ=[1,θ1,…,θQ-1]T,则式(41)可以通过最小二乘算法求解,即

(42)

易得最优解为

(43)

3 仿真实验与分析

为了验证对角加载法[21]、特征空间法[23]、基于协方差矩阵重构[36]和导向矢量估计算法[38]的性能,假定阵元数为10的均匀线阵,阵元间距为半波长,空间3个相互独立的窄带信号入射,其中1个为有用信号,2个为干扰信号,接收噪声为复高斯白噪声,干扰信号与噪声功率比为30 dB,采样快拍数为100,所有实验结果均为100次蒙特卡罗实验得到。

仿真实验1存在指向误差波束形成算法的SINR性能

假定期望信号存在指向误差Δθ=4°。图2为阵列输出SINR与SNR关系曲线。图3为在SNR=20 dB时阵列输出SINR与快拍数关系曲线。

图2 存在指向误差SINR随SNR变化Fig.2 SINR versus SNR when pointing error

图3 存在指向误差时SINR随快拍数变化Fig.3 SINR versus snapshots when pointing error

由图2可知,在高信噪比时文献[21,23,36,38]方法性能明显优于对角加载法、特征空间法。通过对协方差矩阵和导向矢量联合估计提高了算法稳健性能。由图3可知,文献[21,23,36,38]稳健算法的SINR能够较快收敛于最优值SINR。

仿真实验2存在幅相误差时波束形成算法的SINR性能

图4 存在幅相误差时SINR随SNR变化曲线Fig.4 SINR versus SNR when amplitude and phase error

图5 存在幅相误差时SINR随快拍数变化曲线Fig.5 SINR versus snapshots when amplitude and phase error

由图4可知,文献[21,23,36]中阵列若存在幅相误差、互耦、阵列位置误差等,均采取不确定集思想解决导向矢量误差的问题,但该类算法性能依赖于模约束参数的选择,若约束参数选择不当,算法性能将下降,而文献[38]提出了基于多项式拟合求解导向矢量,避免了不确定集模约束参数难以选择的问题,算法性能接近最优SINR值。由图5可知快拍数接近100时文献[38]算法性能渐进收敛于最优值。

仿真实验3导向矢量存在相干局部散射时波束形成算法的SINR性能

图6 存在相干散射时SINR随SNR变化曲线Fig.6 SINR versus SNR when coherent scattering

图7 存在幅相误差时SINR随快拍数变化曲线Fig.7 SINR versus snapshots when coherent scattering

从图6、图7可知,当导向矢量存在相干局部散射时,文献[21,23,38]算法的性能明显优于其他3类算法,阵列输出SINR接近最优值,且在短快拍时阵列SINR性能损失较小。

4 结束语

本文以自适应波束形成误差影响分析为基础,从引起波束形成算法SINR性能下降的主要因素数据协方差矩阵和期望导向矢量分析入手,主要讨论了两大类稳健算法思想：一是在协方差矩阵重构方面,分别是基于广义线性组合的协方差矩阵重构,基于Capon谱的干扰噪声协方差矩阵重构,基于方向和功率估计的协方差矩阵重构;二是期望信号导向矢量估计,主要研究了基于特征子空间的导向矢量估计、基于优化技术的导向矢量估计以及基于多项式拟合的导向矢量估计。

上述各类稳健算法从不同角度提高了自适应波束形成器对阵列响应误差的稳健性,在以下几个方面还需持续深入研究：1) 文中所提出的自适应波束形成算法,均假设信号和干扰为远场平面波,这对雷达、声纳等场景的波束形成比较适合,但对于室内通信、医学成像等场景,来波信号不满足远场假设,即为近场非平面波的波束形成问题,如何将协方差矩阵重构和导向矢量估计的思想引入近场模型的问题;2) 文中讨论的信号和干扰信号均为窄带信号,随着宽带信号在SAR成像、雷达探测、宽带通信等领域的应用,稳健宽带信号的自适应波束形成技术是未来重要的研究方向;3) 文中所提的阵列噪声模型为均匀高斯白噪声,实际的噪声模型可能是空间非高斯色噪声,如何提高自适应波束形成算法在非高斯色噪声背景下的稳健性能,是自适应波束形成技术在实际应用中必须解决的关键问题。