从立体到平面，化复杂为简单

文／张文珠

本章“圆锥的侧面积”涉及立体几何的知识。通过学习，我们会发现立体几何的学习方法就是将立体图形平面化，经历化繁为简、化难为易、化未知为已知的过程，从而达到解决问题的目的。下面，我们通过对教材例题的解读，感受立体图形“平面化”的魅力。

（苏科版数学教材九年级上册第86页例题）用铁皮制作的圆锥形容器盖如图1 所示，求这个容器盖铁皮的面积（精确到1cm2）。

图1

与求弧长和扇形面积不同，圆锥的侧面积并没有一个明确的公式，只是经历了一个“平面化”的过程。如图2，我们将圆锥侧面展开成一个扇形，用扇形的面积公式（l为扇形弧长，R为扇形半径）来求圆锥侧面积。从图2 中我们可以发现两个等量关系：①圆锥底面圆周长=扇形弧长（2πr=l）；②圆锥母线=扇形半径（R=R）。利用这两个等量关系，能推导出圆锥侧面积公式S=πrR（r为圆锥底面圆半径，R为圆锥母线）。但教材上并没有直接用推导出的圆锥侧面积公式来求解，而是先求出圆锥底面圆周长，再用扇形面积公式求解。这便是我们要学习的知识的本质，不受限于现成的公式，而是在扇形这一中心知识点的基础上举一反三，用立体图形“平面化”来转化。

图2

图3

（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；

（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的3 块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？

在第（1）问中，扇形面积的计算基于圆的性质、勾股定理等知识，拓展了知识应用；第（2）问属于圆锥侧面与底面“是否匹配”类问题，通过“平面化”后，就是探索“圆锥底面圆周长=扇形弧长”是否成立。在这里，除了显性的知识点，更为可贵的就是隐性方法的提炼和总结：借助类比法将立体几何与平面几何中基本元素的对应关系、等量关系等衔接起来，借助转化法使立体几何与平面几何的衔接更加完善。

中考链接（2021·湖南邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1∶2。制作这种外包装需要用如图4 所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC。将扇形AEF围成圆锥时，AE、AF恰好重合。

图4

（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小；

（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积（结果保留π）。

解：（1）设∠BAC=n°。

∴n=90。∴∠BAC=90°。

（2）∵DE=5，∴AD=2DE=10cm。

在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，∴BC=2AD=20cm。

从立体到平面，化复杂为简单；从教材到中考，化知识为能力。同学们要在立体图形“平面化”的过程中，寻找立体几何与平面几何在知识点、思想方法上的关联点并进行转化，进而在生活中不断提升自己“用数学”的能力。