开发数学“动手做”：学习材料设计应有的视角——以”图形的放大与缩小”教学为例

江苏南京市百家湖小学 （211100） 王 军

笔者在教学“图形的放大与缩小”时，有学生提出了一些疑问：“怎样才能更方便地将复杂的图形按比例放大或缩小？教材上图形的放大与缩小都是将图形上的对应边进行放大或缩小，而圆是曲线图形，为什么改变半径的长度就能将圆放大或缩小？……”恰巧教材在这一节课的练习中编排了“动手做”（如图1），让学生通过操作不同图形的放大来感受图形的相似性。“动手做”是苏教版教材的特色栏目，是通过操作、游戏、实验、调查研究等方式，引导学生亲身体验和感知数学知识的形成与发展，感受数学文化的魅力，激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，使得学生感悟数学思想、积累数学基本活动经验。

图1

基于此，笔者根据学生的疑问并结合教材编排的“动手做”活动内容，对相关的实验进行了重新设计，以期实现学生对“图形的放大与缩小”的再认识。

【案例描述】

活动一：探究放大和缩小原图的原理

师：大家已经学习了有关图形放大与缩小的知识。研究了长方形、正方形的放大与缩小后，你还想研究哪些图形的？

生1：三角形、平行四边形、梯形……

师：请先选定一个图形，在方格纸上画出来，再将它按照一定的比放大或者缩小。

生2：我研究的是直角三角形，将它按1∶2的比缩小。先将两条直角边的长度缩小为原来的，再连接直角边的两个端点，得到一个小直角三角形。

生2（出示图2）：我可以验证。原来的直角三角形的斜边有4 段方格的对角线那么长，现在的小直角三角形有2段那么长，斜边也缩小为原来的。

图2

师：看来，确定好两条直角边缩小后的长度，斜边缩小后的长度也能确定了。

生3（出示图3）：还可以找到一条直角边的中点，再找另一条直角边的中点，连接这两个中点，形成的小三角形就是原来直角三角形按1∶2 的比缩小的图形。

图3

生4：我研究的是平行四边形，把它按照3∶1的比放大。根据平行四边形的特征，只要把这两条邻边的长度同时放大到原来的3倍就可以了。（如图4）

图4

生5：虽然图形看起来放大了，但邻边夹角的角度会不会发生变化，导致和原来的平行四边形不一样。

师：的确，保持图形内角的角度不变也是图形放大和缩小要考虑的关键要素。那么放大这个平行四边形时还要怎么做呢？

生6：用量角器测量出邻边的夹角的角度，再在画图的时候保持相同的角度。

生7：在原图的基础上把邻边同时放大为原来的3倍，再作对边的平行线后相连。

……

师：刚才我们在方格纸上研究了多种图形的放大与缩小，如果没有这样的方格纸，你还能将图形放大和缩小吗？

生8：可以用尺子和量角器分别量出能确定图形形状和大小的边长和夹角，再按照给定的比将图形放大或缩小。

师：你关注到了图形的边和角，考虑得很全面。

生9：也可以在原图的基础上放大和缩小。

师：确实，在原图上直接进行放大与缩小是一种非常方便的方法。

师：再看刚才在原图上缩小直角三角形的作品（如图3）。把图上的线段都擦掉，这样缩小的过程其实只是改变了三角形的什么？

生10：改变了顶点的位置。

生11：确定了三角形3 个顶点的位置，三角形的形状与大小也就确定了。

师：其实，把原来直角三角形的顶点当作原点，两条直角边分别当作一个标准单位长度“1”，那么这两个点分别移动到对应直角边的的位置时，也就是按1∶2的比缩小。（如图5）

图5

师：同样地，在原图（如图4）中将平行四边形按3∶1 的比放大，可以把原来的一组邻边分别当作一个标准单位长度“1”，再分别将它们延长到“3”，找到顶点的位置。第4 个点的位置你能确定在哪吗？

生12：作平行四边形的对角线，把这段长度也当作一个标准单位长度“1”，然后延长到“3”，第4个点的位置也能确定。（如图6）

图6

活动二：操作验证在原图上放大方法的一般性

师：这样的方法也适用于一般的四边形和五边形吗？请用刚刚学到的方法将一般的四边形和五边形按2∶1 放大，并量一量放大后的图形，看看每一条边的长度是否都按相应的比放大，对应边夹角的角度是否保持不变。

师：对于在原图上放大与缩小，你有什么想说的？

生1：在原图上放大与缩小，操作很方便，只需要改变原来图形中的点的位置，就能够保证图形的形状保持不变。

师：是的，有了这样的方法，面对更复杂的图形，也一样能放大和缩小。

活动三：迁移拓展中感受更多的放大方法

师：刚刚我们在图形上选了一个原点对图形进行放大，想象一下，这样的点还可能在什么位置？

生1：可能在图形的外面。

生2：还可能在图形的里面。

师：请以小组为单位，按照刚才的方法，任选一种情况进行验证。

生3：我们小组在三角形ABC外任取一个点O，将O和三角形的三个顶点分别相连后作延长线，分别以OA、OB、OC为标准单位长度“1”，再分别在延长线上取2份这样的单位长度，然后顺次连接，得到一个大三角形，这个大三角形就是由原来的三角形ABC按2∶1 放大得到的。我们小组经过测量和对比，发现操作正确。

师：你们不仅研究出了放大的方法，还进行了验证，真严谨！

师：刚刚同学们研究了原点在图形外部时如何放大一个图形。仔细想想，生活中有这样的现象吗？

生4：有，美术上有这样绘画技巧。

生5：如果把这个原点想象成光源，对人照射后，就会在墙上留下一个按比例放大的人影。

师：确实，这样的例子在生活中还有很多。那在图形内部找点，也能像这样将图形进行放大吗？

生6：可以，我们小组在一个四边形内任选了一个点，按照同样的方法操作，得到的大四边形就是原来的四边形按3：1放大的。（如图7）

图7

师：看来在内部选点也能将图形放大。同样的，反过来也能将图形缩小。现在知道如何将圆进行放大和缩小了吗？

生7：选取圆心为原点，改变半径的长度，这样圆心到圆上所有点的距离都会发生等比变化。因此只要将半径的长度变长或变短，就能将圆进行放大或缩小。

师：原来圆的放大与缩小藏着这样的奥秘。经过动手操作，相信大家一定对图形的放大与缩小都有了新的认识。

……

【反思】

“动手做”活动具有极高的教学价值，笔者结合学生的学习疑问将教材中的“动手做”活动进行了改造，并以此为支点触发学生主动学习，取得了良好的教学效果。结合教学实践，笔者认为可以从“学习材料定位”“学习材料设计”“学习材料使用”三个视角出发对“动手做”的教学价值、活动方式和教学组织等进行重新定位和有机改造，使之成为促进学生完整认识数学知识和原理的有效学习材料。

一、学习材料定位：让“动手做”从“微操作”转变为“再认识”

在日常的教学中，有的教师对“动手做”的编排意图和价值缺乏足够的理解，同时缺乏可供参考和借鉴的资料，从而使得教学这部分内容时仅仅要求学生了解，或者让学生进行依葫芦画瓢式的简单操作，学生大多不明所以。但学生提出的问题“怎样才能更方便地将复杂的图形按比例放大或缩小？教材上图形的放大与缩小都是将图形上的对应边进行放大或缩小，而圆是曲线图形，为什么改变半径的长度就能将圆放大或缩小？……”，以及“动手做”中以原图为基础的放大或缩小、复杂图形的放大与缩小的原理是什么？只有让学生亲身实践、探索、感悟，才能让学生真的理解其蕴含的数学本质。

基于以上思考，笔者对“动手做”活动的进行了整体设计，让学生经历“独立探索不同图形的放大和缩小—理解和掌握在原图基础上放大的方法—原点在图形外和图形内进行放大”三个层次的操作活动来感悟图形放大与缩小的本质是点的位置的移动变化，进而理解复杂图形的放大与缩小的原理是从原点出发连接图形上的顶点，并分别以这些连线长度为单位长度，按比例画出对应点的位置，然后顺次连接，就能得到相应的放大或缩小后的图形。在这个过程中，学生经历的不仅仅是对图形的简单放大或缩小的操作，更多是对放大和缩小背后数学原理的“再认识”，从而能站在更高的视角上整体把握图形变化的本质。

二、学习材料设计：让“动手做”从“做数学”进阶到“创数学”

在教学中按部就班地呈现“动手做”的活动内容，只能让学生掌握有限的知识与方法，无法让学生形成深刻的认知，以及对“动手做”与“图形的放大与缩小”产生关联性的理解。因此，笔者对“动手做”活动的呈现方式进行了改进，从学生已有的放大与缩小方法知识切入，让学生体验多种与原有方法不一样的放大方法。事实上，打破常规的学习活动不仅有利于开阔学生的视野，也能提高学生的认知能力。

在上述案例中，笔者根据学生喜欢在具有操作性的、直观丰富的数学活动中学习的特性，引导学生研究在原图基础上放大和缩小图形的方法后，适时地直观呈现和介绍从原点连线取“单位长度”将图形放大的方法，有效地激发了学生的学习兴趣。学生不仅在交流和操作中主动研究了应用这种方法放大三角形、四边形、五边形、六边形等多边形的一般普适性，更主动思考原点在图形外和图形内的放大方法，并加以实践验证，形成丰富的数学思考。因此，对于“动手做”的活动，教师有必要结合学习内容、学生的年龄特征和心理特点设计具体且丰富的体验活动，以此升华学生的体验和感受，让学生在实践操作和创造中实现自我突破。教师要积极地让课堂上的“动手做”从“做数学”进阶到“创数学”，使学生的数学学习看得见、摸得着。

三、学习材料使用：让“动手做”从“不动点”升级成“触发器”

“动手做”的活动内容蕴含着丰富的数学知识与思想方法，教师要有意识地引导学生交流、辨析、比较、归纳、概括、联想，促进学生从单纯的“手动”升级为积极的“脑动”，通过启发联想和回顾反思，触发学生实现知识的同化与顺应，形成完整的知识结构。如在本文案例中，笔者并没有局限于教材提供的例子，而是引导学生操作原点在图形上、图形外、图形内的放大或缩小，还启发学生比较在原图基础上放大或缩小方法的共同点，以及联系生活中的应用原型和“为什么圆的放大（缩小）与半径有关”的相关问题。如此一来，学生不仅获得将图形放大与缩小的多样方法，更经历自我解惑、自主关联知识、完善认知结构、达成学习进阶的过程。可以预见，学生未来学习相似图形的有关知识时必然会产生熟悉感，同时学生也能逐步形成一种主动对问题和知识进行拓展、反思、类比、联系和归纳概括的数学学习意识。

因此，在“动手做”的教学中，教师需要有全局意识，让学生在动手操作的过程中将技能方法、知识原理、生活原型有机地关联起来，使学生的数学学习从“浅表”走向“深层”，从“分析”走向“综合”，从“孤岛”走向“联结”，形成系统化的知识结构。