关于天体椭圆运动的规律及其应用

郑 金

(辽宁省凌源市职教中心)

在近年高考物理试卷中,多次出现有关天体运动的椭圆轨道问题.解答这类问题所应用的物理规律主要是开普勒定律.此外,若在题中给出引力势能公式,则需综合应用开普勒定律和机械能守恒定律.下面对开普勒定律和有关天体运动的机械能的某些特点进行深入分析.

1 有关天体椭圆运动的规律解读

1.1 开普勒运动定律特点

开普勒第一定律也叫轨道定律,反映了行星运动轨道的形状以及中心天体的位置.太阳位于椭圆轨迹的一个焦点,而不是椭圆的中心.

开普勒第二定律也叫面积定律,反映了行星运动速率与焦半径的关系.由此可知,行星在近日点速度最大,在远日点速度最小;在椭圆轨道上关于长轴的对称点处的速率相等;从长轴的一个端点运动到另一个端点经历的时间为半个周期,但从短轴的一个端点运动到另一个端点经历的时间不是半个周期.

由椭圆的对称性可知,在椭圆的两个对称顶点处的曲率半径相同,设为ρ,在两个顶点处分别应用牛顿第二定律有,联立方程可得v1r1＝v2r2.

这表明,行星经过椭圆轨道两个对称顶点时的速率跟焦半径成反比.从推导过程可知,速率关系方程只适用于椭圆的两个顶点.

开普勒第三定律也叫周期定律,反映了椭圆运动周期跟半长轴的关系.表达式中a表示轨道的半长轴,k只与中心天体的质量有关,对于不同的中心天体,k的数值是不同的.当应用开普勒第三定律表达式时,在常数k未知的情况下,无论求a或T,都需选择两个环绕天体,以便列出两个方程.

另一方面,由开普勒第三定律可知,对于同一中心天体,行星环绕运动的周期只与轨道的半长轴有关,而与离心率无关,即与椭圆的“胖瘦”无关,因此,椭圆运动的周期等于以椭圆半长轴为半径的圆周运动的周期,由此可根据万有引力提供向心力列方程.具体而言,对于质量为m的天体绕质量为M的天体做椭圆运动,半长轴为a,若求椭圆运动的周期,则可对以a为半径的圆周运动由牛顿第二定律列方程为,可得.由此可知与中心天体的质量成正比.这是把中心天体作为惯性系的条件下得到的结果.如果以中心天体与环绕天体的质心为参考系,可得.这表明,k的数值不仅与中心天体的质量有关,还与环绕天体的质量有关,只有在M≫m的条件下,才有

1.2 天体系统的机械能特点

天体在引力场中具有引力势能.当两个天体之间的距离为无穷远时,相互作用力几乎为零,因此选择无穷远处为引力势能的零点,则引力势能表达式为.引力势能之所以为负值,是因为当一个质点从无穷远处向固定质点移动时,万有引力做正功,使得引力势能逐渐减少,必然小于零.

2 有关天体椭圆运动的规律应用

例1(2017年新课标Ⅱ卷)如图1所示,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( ).

图1

A.从P到M所用的时间等于

B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大

C.从P到Q阶段,速率逐渐变小

D.从M到N阶段,万有引力先做负功后做正功

海王星在运动过程中只受太阳引力的作用,则机械能守恒,选项B错误.

根据开普勒第二定律可知,从P到Q阶段,运动速率逐渐变小,选项C正确.

从M到N阶段,受到的万有引力先为阻力后为动力,则对它先做负功后做正功,选项D 正确.

例2质量为m的行星绕质量为M的太阳做椭圆运动,椭圆的半长轴为a,离心率为e,求行星从近日点开始运动四分之一椭圆经历的时间.

画出椭圆轨道如图2所示,利用几何关系可知行星从近日点开始运动四分之一椭圆的过程中焦半径扫过的面积等于四分之一椭圆面积与直角三角形面积之差,即

图2

根据开普勒第三定律可知,行星做椭圆运动的周期等于以半长轴为半径做圆周运动的周期,则由牛顿第二定律和向心力公式有,可得椭圆运动的周期为,故所求运动时间为

例3(2021年全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的实际观测,给出1994 年到2002年间S2的位置如图3所示.科学家认为S2的运动轨迹是半长轴为1000 AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆,银河系中心可能存在超大质量黑洞.这项研究工作获得了2020 年诺贝尔物理学奖.若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推断出该黑洞质量约为( ).

图3

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

例4(2021年全国甲卷)2021年2月,执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后,进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道,轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m.已知火星半径约为3.4×106m,火星表面处自由落体的加速度约为3.7m·s—2,则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( ).

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

图4

椭圆周期为T2＝1.8×105s,根据开普勒第三定律可知,可得

轨道与火星表面的最远距离为d2＝2a—d1—2R.代入数据得d2≈6×107m,选项C正确.

方法2根据开普勒第三定律可知,环绕周期与离心率无关,只与半长轴有关,设“天问一号”的质量为m′,则环绕火星做椭圆运动的周期等于以半长轴为半径做圆周运动的周期,万有引力提供向心力,即,联立这两个方程可得.后续解法同方法1.

例5天体在引力场中具有的能叫作引力势能,物理学中经常把无穷远处定为引力势能的零势能点,引力势能表达式为,其中G为引力常量,M为产生引力场物体(中心天体)的质量,m为研究对象的质量,r为两者质心之间的距离.已知海王星绕太阳做椭圆运动,远日点和近日点的距离分别为r1和r2.地球绕太阳做圆周运动,轨道半径为R.如果知道引力常量G和地球公转周期T,则下列各选项中的两个物理量均可以推算出的是( ).

A.海王星质量和地球质量

B.太阳质量和海王星质量

C.地球质量和海王星近日点速度大小

D.太阳质量和海王星远日点速度大小

设太阳质量为M,海王星质量为m,由机械能守恒定律有

设地球质量为m′,太阳引力提供向心力,即

对于天体的质量,由后面两个方程可见,环绕天体的质量都约掉了,无法求出,排除选项A、B、C;由三个方程可求出太阳的质量、海王星位于远日点和近日点的速度大小,只有选项D 正确.

例6如图5所示,两颗人造卫星A、B分别沿圆轨道和椭圆轨道绕地球运动.已知地球质量为M,两颗卫星的质量都为m.卫星A的圆轨道半径为R,在圆轨道上的速度大小为v0,加速度为a0,机械能总量为EA;卫星B的近地点与远地点到地球中心的距离分别为r1和r2,在近地点与远地点的速度大小分别为v1和v2,在近地点的加速度为a1,在椭圆轨道上运动的机械能总量为EB,则( ).

图5

A.v1一定大于v2B.v0一定大于v2

C.a1一定大于a0D.EA一定大于EB

若以地心为圆心、以r2为半径作圆,相切于椭圆的远地点,则由变轨知识可知在圆轨道上运动的速度v3一定大于在椭圆轨道远地点的速度v2;对于同心圆轨道,由于半径R＜r2,则由“卫星越高运动越慢”可知v0一定大于v3,所以v0一定大于v2,故选项B正确.

对于卫星A,受到的万有引力为;对于卫星B,在轨道近地点处受到的万有引力为F1＝.已知R＜r1,则F0＞F1,由牛顿第二定律可知a0＞a1,选项C错误.

圆周运动轨道直径为2R,椭圆运动轨道长轴为r1＋r2,由于r1＋r2＞2R,可知椭圆轨道对应系统的机械能大于圆周轨道对应系统的机械能,即EB＞EA,选项D 错误.

综上所述,在解答有关天体做椭圆运动的问题时,应用的主要规律是开普勒定律以及万有引力定律、牛顿第二定律、圆周运动知识、机械能守恒定律和与椭圆有关的数学知识.应用开普勒第一定律,要知道行星运动轨迹的形状,知道中心天体的位置以及椭圆的焦点位于长轴上.应用开普勒第二定律,要知道面积速率是恒定的、椭圆的面积与周期之比等于面积速率以及哪半个椭圆轨道对应的时间为半个周期,还要能在具体的椭圆中画出焦半径扫过的区域并计算其面积,推导天体在椭圆两个顶点处的速率与焦半径的关系方程,知道椭圆运动速率最大值与最小值的位置在椭圆的顶点即长轴的两端.应用开普勒第三定律,要能够写出表达式,知道开普勒常数跟中心天体的质量成正比,理解周期与离心率无关,有时只需写出一般的表达式,有时则需根据表达式列出具体的方程,或者把椭圆运动转化为圆周运动列出动力学方程.由开普勒第三定律可知,对于同一中心天体,椭圆运动的周期只与半长轴有关,若半长轴相同,则周期相同;若半长轴的长度越大,则周期越大.无论天体做匀速圆周运动还是做椭圆运动,系统的机械能都守恒,而且机械能总量只与椭圆的长轴有关,长轴的长度越大,系统的机械能就越大.

(完)