具有传质传热及扩散效应的双气泡的相互作用*

乌日乐格 那仁满都拉

(内蒙古民族大学数理学院,通辽 028043)

1 引言

在声空化研究中关于单气泡的研究相对比较深入,许多研究者针对不同的侧面问题进行了研究.如Hilgenfeldt 等[1]用流体力学方法研究气泡形状稳定性和扩散稳定性,给出了气泡声致发光相图.Yasui[2]在考虑水蒸气的非平衡蒸发和冷凝、气泡内外热传导及泡内化学反应的基础上,研究了单泡声致发光机制.Toegel 和Lohse[3]在考虑水蒸气相变、热传导及化学反应的情况下,计算出了单泡声致发光相图.Shen 等[4]研究了空化气泡壁处液体温度的空间分布等.但实际液体中的空化泡总是以泡群的形式存在[5−7],而空化双泡显然是研究空化泡群现象的一个重要的切入点,所以许多学者开展了对空化双泡的研究.当液体中的气泡受到声场作用时,气泡会发生体积脉动,气泡之间会发生相互吸引或排斥作用,这与气泡之间的次Bjerknes力有关.Mettin 等[8]首先给出次Bjerknes 力的计算表达式,并数值研究了强声场作用下双气泡间的次Bjerknes 力的变化.Doinikov[9]提出一种能够直接计算两个相互作用的球形气泡在强声场中平移运动的模型,研究了两个气泡平移运动的规律.Sadighi-Bonabi 等[10]研究不同浓度硫酸溶液对双泡相互作用力的影响,并认为随着溶液黏度的增加次Bjerknes 力减小.Zhang 等[11]重点分析了双频声激励下两个空化气泡间相互作用的次Bjerknes力.Pandey[12]考虑双泡间的强非线性耦合后对相互作用项进行高阶修正,并通过研究指出高阶修正项对近距离气泡间的次Bjerknes 力有重要影响.Luo 和Niu[13]通过激光和水下低压放电技术分别诱导两个空化泡,并对不同时期诱导空泡坍塌时的喷射流和冲击波进行实验测量,揭示了双泡坍塌形成的喷射流和冲击波的一些规律.Zhang 等[14]数值研究了声场中两个空化气泡的脉动和平移,并指出气泡脉动使气泡发生平移,不同的脉动导致不同的平移.李想等[15]在Rayleigh-Plesset 方程的基础上,引入可压缩流体次Bjerknes 辐射力,建立了考虑管道轴向气泡分布的可压缩双气泡耦合动力学模型,并分析了次Bjerkness 辐射力对双气泡的线性和非线性动力学特征的影响.Shen 等[16]研究气泡间的相互作用对气泡径向脉动的影响,并给出气泡间的相互作用不仅可以降低或抑制气泡的膨胀比,还可以增大气泡的膨胀比.Qin 等[17]利用一种包括径向和平移运动的综合模型,数值研究了黏弹性组织中两个相互作用空化泡在不同驱动条件下的非线性动力学和声辐射特性.Zhang 等[18]数值考察了强声场中的大泡与小泡的平移运动和非球面振荡对次Bjerknes 力的影响.王德鑫和那仁满都拉[19]研究了不同泡半径、不同泡间距、不同惰性气体对双泡声空化特性的影响.王寻等[20]用数值方法研究了方波驱动下双气泡的动力学行为.以上研究都未涉及到同时考虑传质传热及扩散效应的空化双泡间相互作用的研究,但对于球形空化泡群的研究中分别涉及到了质量传输、热量传递和化学反应等效应[21−23].

本文考虑空化双泡的传质传热及扩散效应,利用修正的Keller-Miksis 方程与Noble-Abel-Stiffend-Gas 状态方程相结合的动力学模型,在不同半径、不同驱动声压和不同驱动频率情况下,研究声空化气泡的归一化最大半径和气泡间的次Bjerknes 力的变化,并与Mettin 等[8]给出的结果进行比较分析.

2 考虑传质传热及扩散效应的双泡模型

Yasui[21]给出的修正的Keller-Miksis (KM)方程为

式中,小黑点表示对时间导数,Ri为第i个气泡的瞬时半径,为第i个气泡的单位时间单位面积上的蒸发和冷凝速率,Cl,i为第i个气泡壁处液体中的声速,ρl,i(ρl,∞) 为第i个气泡壁处液体(无穷远处)密度,ρg,i为第i个气泡内气体密度,Pg,i为第i个气 泡内 气体 压力,Ps,i=-Asin[2πf(t+Ri/Cl,i)]为作用于第i个气泡的驱动声压,σ为表面张 力,μ为黏性系数,dij为两气泡间的间距,(1)式的最后一项是相互作用项.

气泡内气体及周围液体的热力学状态,采用Métayer 和Saurel[24]给出的Noble-Abel-Stiffened-Gas (NASG)状态方程来描述:

式中,P为压力;γ为热容比;CV为定容热容;T为温度;b为分子共体积;B为压力常数;v为比容,与密度的关系为v=1/ρ.根据声速定义和状态方程(3),第i个气泡壁处液体中的声速Cl,i可表示为

通过状态方程(3),可得到第i个气泡壁处液体密度为

第i个气泡内气体和水蒸气的压力为

式中,n=Ar,H2O 分别表示泡内氩气和水蒸气(本文假设泡内含有氩气和水蒸气),Nn,i为第i个气泡内气体分子数,NA是阿伏伽德罗常数,Mn,i为第i个气泡内气体摩尔质量,Tg,i为第i个气泡内气体温度,ΔCn,i为第i个气泡内气体的定压热容和定容热容之差,定压热容和定容热容可用文献[25]给出的表达式计算.bl和Bl分别为液体分子共体积和压力常数,bg,n和Bg,n分别为气体分子共体积和压力常数.对于氩气和水蒸气,利用文献[26,27]给出的公式,计算出不同温度和压力下的bg,Ar和值,并做拟合处理后得到如下表达式:

第i个空化气泡内单位时间单位面积上的蒸发和冷凝速率,可由气体动力学理论导出的Hertz-Knudsen 公式计算[28]:

式中,常数α=0.4,为分子平均速 度,为水蒸气密度,饱和水蒸气密度=0.0173 kg·m-3.因此,水蒸气的蒸发和冷凝引起的分子数的变化可表示为

气体从第i个气泡内部扩散到周围液体所引起的气体分子数的变化,可由Epstein-Plesset 理论中所用的气体扩散方程来表示[29]:

式中,DAr为氩气的扩散系数,cs为气体的平衡浓度,c∞为气体的饱和浓度.

第i个气泡内外的热交换量由下式计算[28]:

式中,lth为热边界层厚度.χ为边界层的热扩散率,λ为混合气体的热导率.

由于气泡的内能是温度和体积的函数[29]

根据恒定体积下摩尔热容的定义,下列关系成立:

对于 NASG 状态方程来讲,(14)式中的第二项变为

把方程(15)和(16)代入(14)式并进行积分,就可得到第i个气泡内气体温度的计算公式:

其中,Ei为第i个气泡内气体内能,和CV,Ar(T)分别为水蒸气和氩气的定容摩尔热容[25].因为泡内温度的计算需要内能的表达式,根据热力学第一定律,内能变化表示为

式中,等式右端第一项表示第i个气泡内压力做功所引起的能量变化;第二项表示第i个气泡周围液体的水分子蒸发成水蒸气和气泡内的水蒸气分子凝结到液体中所携带的能量变化;第三项表示热传导引起的能量变化;第四项表示第i个气泡内气体分子扩散所引起的能量变化.

两个球形空化气泡之间的次Bjerknes 力为[8]

式中,〈·〉为时间平均值,和为气泡1 和气泡2的体积变化率.另外,为方便研究问题,定义了一个新的物理量,即次Bjerknes 力系数,表示为[8]

式中,fB的符号表明双泡间是吸引还是排斥.当fB＞0 时,说明双泡相互吸引;当fB＜0 时,说明双泡相互排斥.

另外,为了与没有传质传热及扩散效应的双空化气泡间的相互作用比较,本文利用Mettin 等[8]给出的双泡模型来计算没有传质传热及扩散效应的双气泡间相互作用的次Bjerknes 力.

3 数值模拟

本文选择水为液体介质,气泡内气体为氩气和水蒸气.为了方便描述,下面用模型1 代表具有传质传热及扩散效应的KM-NASG 双泡模型,用模型2 代表Mettin 等[8]给出的没有传质传热及扩散效应的双泡模型.主要对比分析两种模型给出的空化气泡的归一化最大半径以及气泡间的次Bjerknes 力在一个声周期内的变化情况.用两种模型计算时所用的相关参数见表1 和表2,这些参数的选取可参考文献[8,28,30].

表1 模型1 的相关物理参数Table 1.Related physical parameters of model 1.

表2 模型2 的相关物理参数Table 2.Related physical parameters of model 2.

3.1 总分子数的变化

为了解释说明有传质传热和扩散效应的双气泡间的相互作用与没有传质传热和扩散效应的双气泡间的相互作用的差别,首先需要计算气泡内气体总分子数NT随气泡半径、驱动声压和驱动频率的变化.由于空化气泡内的气体分子数量与蒸发和冷凝以及扩散等两种效应有关,所以本文把两种效应都考虑后的泡内含有的气体分子数量称为总分子数.另外,气泡内气体总分子数是随着气泡的膨胀、收缩崩溃与回弹阶段而不断变化[31],这里计算的是最大总分子数NT,max,即气泡膨胀到最大半径时气泡内所含有的总分子数.

图1 空化气泡内气体最大总分子数 的变化 (a)当 R20=5 μm,A=1.32P0,f0=20 kHz 时,NT,max 随气泡1 初始半径的变化;(b)当 R10=R20=5 μm,f0=20 kHz 时, 随驱动声压的变化;(c)当 R10=R20=5 μm,A=1.32P0时,随驱动频率的变化Fig.1.Change of the maximum total molecular number of gas in cavitation bubble: (a) changes with the initial radius of bubble 1 at R20=5 μm,A=1.32P0,f0=20 kHz ;(b) changes with driving sound pressure at R10=R20=5 μm,f0=20 kHz ;(c) NT,max changes with driving frequency at R10=R20=5 μm,A=1.32P0.

3.2 初始半径对次Bjerknes 力的影响

图2 是驱动声压幅值A=1.32P0,驱动频率f0=20 kHz时,在气泡2 的初始半径恒定,气泡1 的初始半径变化的情况下,用两种模型绘制的气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力系数的变化.从图2(a)可以看出,在R20(=5 μm)恒定时,随着R10的增大,两种模型给出的气泡归一化最大半径的变化趋势是一致的.比较发现,模型1 给出的气泡归一化最大半径始终大于模型2 给出的气泡归一化最大半径.这是因为模型1 考虑了气泡的传质传热和扩散效应,所以当R10增大时,气泡内的最大总分子数会明显增大(图1(a)),也就是气泡内气体含量增多,导致模型1 给出的气泡归一化最大半径较大.从图2(b)可以看出,随着R10的增大,两种模型给出的次Bjerknes 力系数逐渐增大,显然模型1 给出的次Bjerknes 力系数大于模型2 给出的次Bjerknes 力系数,且差别逐渐增大.这主要是因为随着R10的增大,模型1 给出的气泡归一化最大半径始终大于模型2 给出的归一化最大半径(图2(a)).由于Bjerknes 力特别敏感依赖于空化气泡半径及其变化率[8],所以模型1 给出的次Bjerknes 力系数大于模型2 给出的值.由图2(b)插图可以看出,在到Blake 空化阈值半径之前fB小于0,表明气泡间次Bjerknes 力为斥力;到Blake 空化阈值半径之后fB迅速增大为大于0,表明气泡间次Bjerknes 力变为引力.同时也可以看出,模型1 给出的次Bjerknes 力由斥力变为引力的进程提前了一些.

图2 空化气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力系数随气泡1 初始半径的变化 (a)归一化最大半径;(b)次Bjerknes 力系数Fig.2.Maximum normalized radius of cavitation the bubbles and the secondary Bjerknes force coefficient change with the initial radius of bubble 1: (a) Maximum normalized radius;(b) the secondary Bjerknes force coefficient.

3.3 驱动声压对次Bjerknes 力的影响

图3 是双泡初始半径R10=R20=5 μm,驱动频率f0=20 kHz 时,绘制的气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力系数随驱动声压幅值的变化图.从图3(a)可以看出,随着驱动声压幅值的增大,两种模型给出的气泡归一化最大半径呈现逐渐增大的趋势.比较发现,模型1 给出的气泡归一化最大半径大于模型2 给出的值.这是因为模型1 考虑了气泡的传质传热和扩散效应,所以当驱动声压幅值增大时,气泡内的最大总分子数会增多(图1(b)),也就是气泡内气体含量增多,导致模型1 给出的气泡归一化最大半径较大.从图3(b)可以看出,随着驱动声压幅值的增大,两种模型给出的次Bjerknes力系数逐渐增大,显然模型1 给出的次Bjerknes力系数大于模型2 给出的值,且差别逐渐增大.这是因为随着驱动声压幅值的增大,模型1 给出的气泡归一化最大半径逐渐增大且始终大于模型2 给出的值(图3(a)).由于Bjerknes 力特别敏感依赖于空化气泡半径及其变化率,所以模型1 给出的次Bjerknes 力系数大于模型2 给出的力系数.总体上,随着驱动声压幅值的增大,模型1 给出的气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力系数大于模型2 给出的相应值.

图3 空化气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力系数随驱动声压的变化 (a)归一化最大半径;(b)次Bjerknes 力系数Fig.3.Maximum normalized radius of cavitation the bubbles and the secondary Bjerknes force coefficient change with driving sound pressure: (a) Maximum normalized radius;(b) the secondary Bjerknes force coefficient.

3.4 驱动频率对次Bjerknes 力的影响

图4 给出的是双泡初始半径为R10=R20=5 μm,驱动声压幅值为A=1.32P0时,用两种模型绘制的气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力系数随驱动频率的变化图.从图4(a)可以看出,随着驱动频率的增大,两种模型给出的气泡归一化最大半径逐渐减小.比较可看到,模型1 给出的气泡归一化最大半径大于模型2 给出的值.其原因是模型1 考虑了气泡的传质传热和扩散效应,所以当驱动频率增大时,虽然气泡内的气体最大总分子数逐渐减少,但始终大于模型2 给出的值(图1(c)),所以模型1 给出的气泡归一化最大半径较大.从图4(b)可以看出,随着驱动频率的增大,两种模型给出的次Bjerknes 力系数也逐渐减小.相比可见,模型1 给出的次Bjerknes 力系数大于模型2 给出的力系数.其原因主要还是模型1 给出的气泡最大半径及半径的变化率始终大于模型2 给出的相应值.总体上,随着驱动频率的增大,模型1 给出的次Bjerknes 力系数始终大于模型2 给出的次Bjerknes力系数.

图4 空化气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力系数随驱动频率的变化 (a) 归一化最大半径;(b) 次Bjerknes 力系数Fig.4.Maximum normalized radius of cavitation the bubbles and the secondary Bjerknes force coefficient change with driving frequency: (a) Maximum normalized radius;(b) the secondary Bjerknes force coefficient.

4 结论

本文利用KM-NASG 模型,研究了具有传质传热及扩散效应的声空化双泡间的相互作用,分别计算了气泡归一化最大半径和气泡间相互作用的次Bjerknes 力(系数),并与没有传质传热及扩散效应的双泡系统中的气泡归一化最大半径和次Bjerknes 力(系数)进行了比较.结果表明,相比于没有传质传热及扩散效应的双泡系统,具有传质传热及扩散效应的双泡系统中的气泡归一化最大半径和气泡间相互作用的次Bjerknes 力都要大.随着双泡系统中某一气泡的初始半径的增大,次Bjerknes 力会增大,两种情况下的次Bjerknes 力的差别会逐渐增大;随着驱动声压的增大,次Bjerknes 力也会增大,两种情况下的次Bjerknes力的差别也会逐渐增大;随着驱动频率的增大,次Bjerknes 力会减小,两种情况下的次Bjerknes 力的差别也会逐渐减小.因此传质传热和扩散效应对空化气泡间相互作用的次Bjerknes 力有很明显的影响,是不能忽略的重要因素.