几种常用的设元解应用题的方法

蔡成松

“设元”是列方程（组）解应用题中至关重要的一环.根据不同的实际问题，采用不同的设元方法，可以使解题事半功倍.那么，在解应用题时如何正确有效地设元呢？可以参考以下三种方法.

一、找准等量，直接设元

直接设元即根据题目中的等量关系，把要求的量直接用未知数表示.简单地说，就是题目需要求什么，就直接设什么，有几个待求量，就设出几个未知数.只要题中的数量关系能用未知量明确地表示出来时，就可采用此方法.

例1

分析

解

二、回避问题，间接设元

间接设元即不直接对所求的目标量进行设元，而是先选取某个与目标量密切相关的其他量作为未知元，再利用这个未知元求出目标量.在解应用题时，当直接设元不容易解题时，可先回避所求目标量，充分挖掘题目中与目标量存在某种数量关系或某种比例关系的量，间接设元，从而顺利解题.

例2小明骑自行车从甲地出发，先以每小时15千米的速度下坡后，再以每小时12千米的速度走平路到乙地，共用45分钟.回来时，他又以每小时9千米的速度通过平路后，以每小时5千米的速度上坡，从乙地到甲地共用了1小时20分钟，求甲乙两地相距多少千米？

分析：本题涉及多个量，直接设元求解难度较大.若能找准恰当的相关量，间接设元，则可以化难为易.

解法1：

解法2

三、设而不求，增设辅助元

有些应用题，數量关系交错复杂，条件隐而不显，无论是直接设元还是间接设元都不能清晰地表示出其等量关系，这时不妨增设辅助元，在已知量和未知量之间搭建解题的“桥梁”，以便理顺各个量之间的关系，列出方程.增加一个辅助元，是为了便于我们找到等量关系列出方程，只起到辅助解题的作用，并不需要求出它的值.

例3某商店一种商品的进价降低8%，而售价保持不变，可以使得商店的利润提高10%，则原来的利润率是百分之几？

分析：本题涉及商品利润和利润率，直接设元求解较为棘手.由利润=售价-进价，利润率=（售价-进价）/进价×100%可知，利润、利润率均与商品售价、进价有着千丝万缕的联系，但是商品的具体进价、售价未知，而解题又需要它们，不妨将其作为辅助元.

解法1：

解法2：

总之，在列方程解应用题时，通常是将要求的量设为未知数（直接设元）；而有时直接设元不易找出题目中的相等关系时，应选择题目中与要求的未知量相关的某个量为未知数（间接设元）；或增加一个可以辅助我们列出方程的量为未知数（增设辅助元）.巧妙恰当地设元会给我们的解题带来很大的方便.