初中学生“代数式”解题错误分析与应对策略研究

徐 乐

(江苏省靖江市外国语龙馨园学校,江苏 靖江 214500)

学生学习数学的终极目标是为了解决问题,解题是数学学习的重要组成部分.解决数学问题就是要按照题目要求求出正确的解,充分运用已经习得的数学知识,将解决问题需要的条件和结论有机联系起来.

1 学生解题错误类型及分析

1.1 概念、性质混淆不清

学生在解答代数式问题时,容易将概念、性质混淆,尤其是对含义相近的概念区分有难度,不能从深层次理解数学概念,将概念、性质混为一谈.正确理解数学概念是掌握数学知识的基础,同时也是正确解题的前提.当对数学概念的理解模糊不清、不能全面把握成立的条件和结论解题就会出现错误,概念性错误是学生解答代数式问题常见的错误.部分学生过分注重做题,忽略对概念的理解,对于整式、分式、二次根式等基础性概念不求甚解,认为理解概念对解题影响不大,导致概念性错误成为学生解答代数式问题的重要错误类型,机械套用公式的错误层出不穷[1].

案例剖析:

因式分解:(1)(x-2)2-16 (2)a2-5a+6 (下面是学生的错误解答:

解(1) 原式=(x+2)(x+2)-16=x2+2x+2x+4-16=x2+4x-12

错误分析:第(1)题的解题错误很明显,因式分解是将多项式转换成整式相乘的形式,学生对因式分解的概念理解不深刻,没有将因式分解与整式的结构区分清楚;对应用平方差公式因式分解没有掌握;第(2)题表面上看是几个整式相乘的形式,虽然将原式转换成几个式子相乘的形式.但其中的式子不是整式,与因式分解的概念不相匹配,学生在解答过程中对因式分解的概念没有做到深入理解.对二次方程的求根公式及用法掌握不好,对二次函数的一般式与零点式的关系要加强训练.提取公因式是将每一项共有的部分提取,但是对公因式的概念没有准确认知.

常见的错误解答:(1)原式=(x-1)(x+1)-x2=x2-1-x2=-1

(2) 因为最简公分母为(a+2)(a-2)

所以原式=(a-2)-2(a+2)=a-2-2a-4=-a-6.

错误剖析:对分式进行化简,与解方程的运算性质容易混淆,化简过程是分子分母同乘以相同的且不等于0的数或代数式,分式化简的本质是等值代换,解分式方程则可以在等式成立的前提下去分母,两者性质存在本质区别.

1.2 忽视公式、定理成立的前提

初中学生在解答代数式问题时常出现的另一类错误是忽视公式定理成立的前提,只是从浅层次记忆公式、定理,对公式、定理成立的前提理解不透彻,经常出现生搬硬套的现象.公式、定理是数学基础知识的重要组成部分,是解决代数式问题的有力武器.学生在学习代数式时,每当学习一则公式或定理,都必须要弄清公式、定理成立的前提,掌握怎样用公式或符号表达.尤其是性质应用的前提,因为数学公式和性质都有自身的应用范围[2].如果只从形式上记忆公式和定理,而不考虑灵活运用公式、定理、性质,对于公式成立的条件视而不见,在解题时盲目套用公式极易出现错误,条件和结论是数学命题的重要组成部分.在解决代数式的相关问题时,学生往往会忽视其中隐藏的公式或定理成立的前提,对公式、定理或者性质应用的条件把握不准,进而出现解题错误.

2 应对学生代数式解题错误的策略

学生在解答代数式问题时会出现各种类型的错误,需要教师加强教研,探索并找寻帮助学生减少错误的策略.在解答代数式问题过程中,针对学生出现的错误,提出以下三条预防和减少学生出现解题错误的策略.

2.1 重视代数式相关概念、性质的理解

整式、分式、二次根式是解决代数式问题经常应用的数学概念,学生一旦对上述概念理解不深刻,就容易出现解题错误.例如,当学生不能深入理解二次根式、平方根、算术平方根的概念时,就无法准确判断三者之间的区别和联系,在解决代数式问题时就无从下手.学生对代数式相关概念熟视无睹,总是认为不深入理解分式、二次根式的概念也不会影响解答问题,但事实上忽略概念的学习往往是解题出错的一大根源.例如,学生在学习二次根式会时会遇到较大困难,因此,在解答二次根式相关题目之前,要引导学生首先认识二次根式是一种代数式,而且有适合自身的运算法则和性质,通过认识二次根式的运算法则和性质来帮助学生深入理解其本质,在此基础上,以法则和性质为依据进行式子的恒等变换.

2.1.1排除旧经验对新概念理解的干扰

2.1.2重视新概念、公式的建构

以因式分解的概念理解为例,其概念有两方面的含义,一种是注重代数思维的符号操作,另一种是按照规则进行推理,分别倾向于操作与建构.在解题之前重新建构因式分解的概念,首先要从具体的运算操作开始,通过操作认识对象的独特结构.具体指的是将多项式进行恒等变换的运算操作,将复杂的多项式转变成较为简单的整式相乘的形式.学生解题错误的实质还是因式分解不彻底,说明学生对因式分解的概念理解不透彻,对于因式分解的程度把握不准.尤其是含有乘法公式的因式分解出现错误概率更高,因此,学生在解题之前应当完全掌握乘法公式与因式分解的完整建构过程.比如,

x2-y2=x2+xy-xy-y2=x(x+y)-y(x+y)=(x+y)(x-y),

x2+2xy+y2=x2+xy+xy+y2=x(x+y)+y(x+y)=(x+y)(x+y)=(x+y)2,

x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2,

2.1.3在概念教学中举例必须具有典型性

数学概念的本质特征越显著,学习难度越小,而非本质特征越明显,学习难度越大.所以,在概念教学中,教师要精心选择体现概念本质特征的典型例子,帮助学生降低学习难度.比如,在教学“单项式”的概念时,主要引导学生从单项式的定义、系数、次数等方面理解单项式.从定义角度讲,可以分类举例,第一类也是最典型的特征“数字与字母的积”,可以列举形如6y2,-118ab,n等,让学生明白单独的字母是系数为1的单项式;从系数角度讲,系数既可以是正数,也可以是负数,应当特别举例y,-b以及5,-13等系数特殊的单项式;从次数角度讲,举例既要包括y2,24a2,又要有13xy,-5ab3等,并且让学生着重认识“数字单项式”的次数.基于以上三方面列举典型例子,能够帮助学生抓住概念的本质特征,减少错误的出现.

2.2 加强代数式运算法则理解

2.2.1准确记忆法则

代数式的运算法则丰富多样,整式、二次根式、分式都有自身的四则运算法则.在关于代数式的解题运算中,学生经常会混淆各类运算法则,因此,在解题之前学生首先要正确区别运算法则,而且对各类代数式的运算法则做到准确记忆.

2.2.2遵循运算规则

在解答分式和二次根式的问题时,有学生还会根据乘法分配律错误地创造出除法分配率.比如在解答分式问题时就容易错误拓展乘法分配律:

让学生对错误算式进行分析,独立寻找其中的错误,为了表达更直观,可以带入具体数字,总结得出分配率不适用于除法,同时也使学生感受到除法更加复杂.解答代数式问题要严格遵照运算法则进行,不能随便创造运算法则,在代数式的同一级运算中,必须严格遵照从左到右的运算顺序进行计算.