对2023年乙卷理科16题的再思考

林 敏

(莆田第一中学,福建 莆田 351199)

导数中与参数有关的恒成立问题历来是高考中的重点考查对象,也是学生学习的难点之一,学生的得分率往往不高.本文以2023年乙卷高考填空压轴题第16题为例,对恒成立问题中的常见方法进行总结归类,并对端点效应的应用进行拓展.

1 试题呈现与解法探究

例1 (2023年乙卷理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是____．

试题分析题目以函数的单调性为背景,既涵盖了指对函数的性质,又考查了含参函数的恒成立问题,试题的思维过程和运算过程既体现了转化与化归、分类讨论等数学思想,又重点考查了学生逻辑推理与数学运算等核心素养,具有一定的难度和区分度,是一道很有“嚼头”的好题!

1.1完全分离参数

解法1由题意,f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立,即

(1+a)xln(1+a)≥-axlna.

解法2同解法1得

评注解法1和解法2大同小异,都是对导函数变形,取对数后分离参数a与自变量x后讨论a的取值范围,这是处理恒成立问题的通性通法,缺点是运算较为繁琐,对学生的数学运算素养要求较高[1].

1.2 半分离参数

解法3同解法1,得

1.3 端点效应

在介绍解法4前,先给出端点效应的相关内容:

(1)若连续函数f(x)≥0在区间[a,+∞)恒成立,且f(a)=0,则f′(a)≥0;

(2)若连续函数f(x)≥0在区间[a,+∞)恒成立,f(a)=0且f′(a)=0,则f′(a)≥0．

证明(1)当f′(a)<0,由连续函数性质,∃x0>a,当x∈(a,x0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,f(x)

(2)当f″(a)<0,由连续函数性质,∃x0>a,当x∈(a,x0)时,f″(x)<0,f′(x)单调递减,所以f′(x)

在求含参数的恒成立问题时,利用函数取端点时的特殊值可以缩小参数的取值范围.如上述(1)式证明,先求出使式子无法恒成立的反面条件,此时能够排除掉参数的不合理范围,但要注意的是,缩小后的参数范围不一定就是最终答案,如函数f(x)图象有可能如图1所示:

图1 端点效应特殊情况

所以需要对f′(a)≥0进行讨论,进一步求出参数范围.

解法4由题意,f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立,又f″(x)=ax(lna)2+(1+a)x[ln(1+a)]2>0,

所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.

而f′(0)=lna+ln(1+a)=ln(a2+a),

②若f′(0)<0,由连续函数性质,∃x0>0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,矛盾.

评注对函数求导后发现f′(0)=0,满足端点效应,则f′(x)在原点右侧附近不可能单调递减[2],否则f(x)单调递减,所以可以缩小参数a的范围,提高解题效率,相比于前面几种解法而言,计算量和思维量都比较小,可谓是“小结论,大用途”.

1.4 数形结合

解法5当a∈(0,1)时,y=ax在(0,+∞)上单调递减,y=(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,作出相应图象(如图2):

图2 例1解法5

在(0,+∞)上y=ax越减越慢,y=(1+a)x越增越快,故只要在x→0+的一瞬间y=(1+a)x增长的速度比y=ax下降的速度更快即可,所以x→0+时,[(1+a)x]′>-(ax)′,即ln(a+1)+lna>0,后同解法1.

评注解法5通过数形结合,利用y=ax与y=(1+a)x在原点处导数变化速度的快慢从而确定范围,几乎没有运算量,但需要学生具有较强的几何直观素养.

2 端点效应的应用拓展

例2(2016年全国Ⅱ卷文20节选)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.

当a>2时,f′(1)<0,由连续函数性质:∃x0>1,当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)f′(1)>0,f(x)单调递增,所以f(x)>f(1)=0.

综上,a∈(-∞,2].

评注使用端点效应缩小后的参数范围只是必要条件,不一定就是参数的最终范围,需要继续验证其充分性.

例3(2017年全国Ⅱ卷文21节选)设函数f(x)=(1-x2)ex,当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

解析令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-ax-1,g(0)=0,g′(x)=f′(x)-a=(-x2-2x+1)ex-a,g′(0)=1-a,g″(x)=(-2x-2)ex+(-x2-2x+1)ex=-(x2+4x+1)ex<0在[0,+∞)恒成立,所以g′(x)单调递减.

当a<1时,g′(0)>0,由连续函数性质:∃x0>0,当x∈(0,x0)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,f(x)>ax+1,舍去;

当a≥1时,g′(0)≤0,∀x≥0,g′(x)≤g′(0)≤0,g(x)单调递减,故g(x)

综上,a∈[1,+∞).

评注本题构造函数后无法直接看出一阶导的增减性,所以需要求二阶导,注意到(x2+4x+1)ex在[0,+∞)恒正,所以不需要求二阶导的根,避免了不必要的分类讨论.

一道好的试题的研究价值不应仅仅停留在解法及应用上, 还应该对试题本身做深入的研究. 运用端点效应破解恒成立问题,避免了对形式复杂的函数进行分离参数时的复杂运算,计算简便.因此在日常教学中,教师既要引导学生练好“本手”,掌握通性通法;也要注重引导学生对简便解法多加积累,总结规律,一题多解,避免思维定式,这样,学生才能在考试时游刃有余,妙手生花.