基于可拓学的单目标开放性问题求解方法研究

梁梓源，杨春燕

（1.广东工业大学 可拓学与创新方法研究所, 广东 广州 510006；2.广东工业大学 机电工程学院, 广东 广州 510006）

在当今大数据背景下，社会节奏变得越来越快，社会环境变得愈加复杂，企业和各个组织在日常经营中所面临的问题具有非线性、不确定性强、多维性等特点[1]。在此类问题中，将目标和领域相对确定，边界条件不确定或条件不足导致问题表达不清晰、目标难以实现的问题称为开放性问题。

开放性问题在管理实践中十分普遍，此问题的产生往往是由于人们无法全面、客观地了解问题所致，所以找出问题背后隐含的、不明显的知识对于开放性问题求解尤为重要[2]。虽然人工智能和机器学习在确定性问题求解上取得了丰厚的成果，但是对于开放性问题，如何让机器可以根据目标与条件的关系智能地分析不能满足目标的因素，发现问题背后隐藏的知识，进而智能地求解开放性问题，仍需要新的方法和理论支持。

中国原创学科可拓学，致力于用形式化定量化相结合的方法处理矛盾问题，为矛盾问题求解提供了有效的理论与方法支撑[3-5]，同时开发的问题求解计算机软件在很多领域得到应用[6-7]。现有矛盾问题建模及拓展分析的研究，都是针对确定性问题，还不足以支持开放性问题的建模与知识拓展的系统性。所谓确定性问题，是问题的目标和条件都能清晰界定的问题。准确地界定问题是解决问题的基础。可拓学中认为，任何问题都是由目标和条件构成的，对于确定性问题，文献[8-9]给出了界定确定性问题、建立问题的可拓模型，并进行拓展分析与可拓变换，以获得解决问题策略的形式化定量化相结合的方法，重点研究了不相容问题和对立问题的判定与求解方法。该研究为用形式化定量化的方法进行矛盾问题求解，进而实现矛盾问题的智能化处理打下良好基础。

近些年来可拓学理论在处理不确定问题上有广泛的应用。文献[10]将可拓学中的基元应用于不确定性推理模型的知识表示中，提出了一种改进的不确定性推理模型：可拓不确定性推理模型，文献[11]将关联函数与信任函数相结合，建立了基于证据理论的可拓推理机制，弥补了可拓推理的不足。文献[12]对可拓群决策在处理复杂问题时存在的不确定性，以物元分析、群决策理论为基础，对可拓群决策的理论体系作了全面系统的总结归纳，为不确定条件下可拓群决策提供一种新的解决思路。

一般问题的求解是在条件和目标相对确定的情境下实现的[13]，而开放性问题[14]具有条件不确定性或条件不足的特点。目前许多研究人员探讨了针对开放性问题的求解方法，例如文献[15]提出了将专家系统应用在求解开放性问题的策略生成；文献[16]提出了一种新的解决开放性问题的框架，即从过往解决相似开放性问题的方案中发现与解决问题相关的知识，并且用于其他开放性问题求解中；文献[17]提出了基于可拓学和因素空间理论的大数据环境下因子知识的智能扩展机制，构建了多粒度因素知识空间和专家经验知识的双重集成求解模型，并且应用于开放性问题的求解；文献[18]提出了一种结合可拓学、因素空间和智能知识管理理论的基元-因素空间问题处理模型。可拓学从事物的动态性和可转化性出发，运用可拓模型、拓展分析、可拓变换等理论和方法，提高问题处理的信息维度，从更高的维度对开放性问题进行思考，为开放性问题求解提供更多思路和途径。

本文以可拓学中对确定性单目标矛盾问题的建模与求解方法研究为基础，针对边界条件不确定或不足导致问题表达不清晰，进而导致单目标开放性问题无解的问题，研究其原问题可拓模型的构建方法，用形式化方法研究单目标开放性问题求解方法，以获取解决单目标开放性问题的思路和策略。

1 单目标开放性问题的初始可拓模型的构建

要基于可拓学理论与方法研究开放性问题的形式化求解，必须首先研究开放性问题的可拓模型的建立。将开放性问题的可拓模型作为解决问题的出发点，既要界定领域范围，又要留出跨领域拓展的空间。一般矛盾问题的可拓模型是由目标和条件构成的，且条件是具体、明确的。开放性问题的可拓模型建立难点在于，开放性问题的边界条件往往是开放的、动态的，存在很大程度的不确定性，而其目标一般具有领域性和相对确定性。

因此，需要在可拓学中矛盾问题建模和矛盾问题求解方法的基础上，研究开放的、动态的、存在很大程度的不确定性的开放性问题的形式化描述模型，研究条件与目标的内涵及其关联关系，形成人机均可理解的开放性问题的可拓模型。限于篇幅，本文以单目标开放性静态问题为例开展研究，动态问题及多目标问题将另文研究。

下面首先介绍单目标问题的可拓模型的建立方法，并在此基础上研究单目标开放性问题的初始可拓模型的构建方法。

1.1 单目标问题的可拓模型的建立方法

根据文献[3]，设某问题的目标为G， 条件为L，可以建立单目标问题的原问题的可拓模型为P=G∗L,其中G是事元或复合事元，L可以是基元、复合元或它们的运算式。

基元包括物元、事元和关系元，同时基元分为静态基元和动态基元[3]。本文以条件L为静态基元的情况为例，可表示为

式中：O为某对象(物、动作或者关系) ，c1,···,cn为对象的n个特征，v1,···,vn为对象O关于上述特征的对应量值。

在建立单目标问题的可拓模型的时候，常常用到事元或复合元形式化表示问题的目标。以一个多维事元A或一个多维事元A和一个物元M1形成的复合元为例，目标的可拓模型分别为

基元与复合元的运算包括算术运算和逻辑运算，详见文献[3]。利用基元、复合元及其运算，可以形式化表示问题的目标G与条件L，从而建立单目标问题的可拓模型。

1.2 单目标开放性问题的初始可拓模型的构建方法

单目标开放性问题，一般都是目标相对明确，但条件不够确定的问题。对于这类问题，根据可拓学中问题的界定方法和问题的可拓模型的建立方法[3]，首先利用基元或复合元，构建单目标和初始条件的基元或复合元模型，进而构建开放性问题的初始可拓模型。

首先根据具体问题给定的信息，建立单目标G0的事元模型或复合事元模型，称为单目标的可拓模型。

由于条件不确定，因此要根据问题目标中所涉及到的物或施动对象、接受对象的量值及目标所涉及的领域，假设某问题有q个初始条件，则可建立初始条件L0i(i=1,2,···,q)的基元模型或复合元模型，称为初始条件的可拓模型。

根据单目标问题的可拓模型的建立方法，可建立单目标开放性问题的初始可拓模型为

2 单目标开放性问题的初始条件的拓展分析

通常根据单目标开放性问题的初始可拓模型是无法判断问题是否为矛盾问题，也无法直接找到问题的解决路径。此时，要根据领域知识判断问题的初始目标的界定是否准确。如果初始目标不准确，则需要先对初始目标进行蕴含分析，进一步找到初始目标的上位目标，作为要实现的目标。由于在单目标开放性问题中，目标大多都是准确的，但其条件大多都是边界不确定的或条件不足的。一开始无法确定开放性问题的目标如何实现，需要通过对问题的初始条件的可拓模型进行拓展分析，找到问题求解相关的直接条件并进行拓展分析，以找到实现目标解决问题的途径。

(1) 根据文献[3]可知，对于条件不确定的问题，通常先依据拓展分析原理中的相关分析原理，对问题的初始条件的可拓模型进行相关分析，以获取目标中所需要的相关条件，从而找到问题求解相关的直接条件，为进一步解决问题提供可行的途径。

根据相关分析原理和领域知识，对问题的初始条件的可拓模型L01，L02，···，L0q对应的动态条件的可拓模型L1，L2，···，Lq进行相关分析。当存在一个Li，其某特征的量值与另一Lj中某些特征的量值具有函数关系，则称Li和Lj之间具有相关关系，记为Li∼Lj，当相关关系为单向相关时，需要应用符号“→ ～”表示其方向性。

如果Li和Lj都是多维基元或复合元，则可能Li中的某一维Lisi1和Li中的另一维Lisi2或与Lj中的某一维Ljsj具有相关关系。所有条件中的相关关系形成一个复杂的相关网，由此相关网可以获得所有能够直接变换的叶基元或复合元。它们是导致目标无法实现的直接条件，则认为这些条件对应的初始问题中相应的初始条件，为与问题求解相关的直接条件。然后对这些初始条件进行发散分析或可扩分析，获取实现初始目标的途径。

(2) 根据文献[3]可知，对于条件不足的问题，通常先对初始目标进行蕴含分析，找到其下位目标Gγ，即G0⇐Gγ，如果下位目标在原条件下可以实现，则问题解决；否则，根据问题的下位目标的需要，进一步确定实现下位目标所需要增加的条件Lγ，并依据拓展分析原理中的发散分析、相关分析原理或可扩分析原理，对问题的初始条件L01，L02，···，L0q和Lγ进行发散分析、相关分析或可扩分析，以获取实现目标的充足条件。

如果根据拓展出的条件，初始目标可以实现，则认为找到了解决原问题的途径；如果初始目标不能实现，则认为原问题为矛盾问题，可以根据初始目标的需要、领域知识和拓展出来的条件和目标，转化为矛盾问题求解，为进一步解决原问题提供可行的途径。

3 单目标开放性问题的可拓变换

通过上述对初始条件的拓展分析后，一般会获得解决原问题的多种途径，对拓展出来的对象实施可拓变换、可拓变换的运算以及相应的传导变换，可以获得开放性问题的求解策略。

以初始条件的可拓模型L01为 例，对L01实施主动变换 φ1， 可形成新的条件，记为φ1L01=。根据上述相关分析所形成的相关网，如有某动态条件L2与L1具有相关关系，则当对L1对应的初始条件L01实施主动变换 φ1后，L2对应的初始条件L02会发生传导变换φ1T02，形成新的条件，记为φ1T02L02=2。由此可形成传导变换蕴含系。

当在实施可拓变换后的条件下目标可以实现时，则认为该可拓变换为实现目标的策略。

4 单目标开放性问题求解的基本步骤

根据领域知识及上述研究，再参考文献[3]中单目标矛盾问题求解的一般步骤，初步总结出单目标开放性问题求解的一般步骤为：

(1) 从实际问题出发，获取该开放性问题的相关信息，并对该开放性问题进行描述。

(2) 根据获取到的相关信息，首先界定开放性问题的初始目标，并尽可能罗列出开放性问题的初始条件。

(3) 根据上一步所获取的初始目标和初始条件，建立该开放性问题的初始可拓模型。

(4) 根据领域知识，判断问题的初始条件是条件不确定问题还是条件不足问题，并分别针对这2种情况，按照第2节的方法，分别对开放性问题的目标或条件进行相应的拓展分析，以获得求解开放性问题的途径。

(5) 根据第3节的方法，针对不同的拓展分析结果，对开放性问题的初始条件实施可拓变换或可拓变换的运算。如果存在相关网，则需要获取相应的传导变换，再根据领域知识判断初始目标能否实现。如果可以实现，获得单目标开放性问题的解决策略；如初始目标还不能实现，则认为该开放性问题为矛盾问题，并转化为矛盾问题求解。

单目标开放性问题求解的一般流程如图1所示。

图1 单目标开放性问题求解的一般流程Fig.1 Basic steps for solving single-goal ill-defined problems

5 案例分析

5.1 可拓模型的建立

Z公司是一家生产煤矿综合除尘设备的公司，该公司所生产的设备遍布中国西北地区的各个煤矿。Z公司的产品主要包括：除尘控制主机Z1、粉尘浓度传感器Z2、除尘喷雾器Z3、红外传感器Z4。该公司的初始目标G0的可拓模型为

Z公司位于北京，流动资金为100 万元，通常采用的运输方式为陆运，首先建立Z公司的初始条件模型L01。

购买Z公司除尘产品的客户S在内蒙古的鄂尔多斯市，建立S客户的初始条件模型L02。

Z公司所购买的原材料D1来自于沧州的一家原材料供应商D，建立原材料D1的初始条件模型L03。

Z公司中一共有10名负责此批产品加工的员工，这些员工具有大专学历，专业能力水平一般，据此可以建立员工N1的初始条件模型L04。

Z公司产品的生产，是通过Z公司员工手工加工，一般每加工一批货品需要20天，建立加工的初始条件模型L05。

由此可以建立该开放性问题的初始可拓模型为

由于在Z公司的生产过程中有许多的不确定条件。在产品加工组装完成后，对除尘控制主机的外壳进行漏水检验，发现外壳漏水，再去返修导致生产周期变长，进而延迟了交货周期，使初始目标无法实现。

5.2 拓展分析

导致Z公司产品不能按时交付的原因有许多。根据领域知识可知，此例属于条件不足导致问题无法解决。为此首先需要对上述问题模型的目标进行蕴含分析，以获取下位目标，然后对条件进行相关分析，并且对相关分析后的初始条件进行发散分析，以获取能够实现目标的条件。

(1) 目标的蕴含分析。经过对Z公司内部的调查可知，导致该公司无法按期交付产品的原因为除尘控制主机Z1的质量不合格导致产品多次返修，使生产周期过长，影响产品按期交付。由此可知初始目标G0的下位目标为提高除尘控制主机Z1的质量，可以表示为G0⇐Gγ，式中：

(2) 下位目标相应的条件的发散分析。根据公司内部检查的结果可知，导致该批除尘控制主机Z1产品不合格的主要原因是原材料供应商D提供的原材料D1质量不合格。

所以对初始条件L03进行发散分析，可以发散出新的条件L03γ表示如下

(3) 条件的相关分析：设初始条件的可拓模型对应的一般条件的可拓模型为L1，L2，···,L5，相应的分基元为

根据领域知识可知，产品的质量与原材料D1的质量、加工方式、员工的专业能力水平和员工的数量相关，而原材料D1的质量和原材料D1的供应商相关。根据相关分析方法可得如下相关网

(4) 对相关网中的叶基元对应的初始条件基元进行发散分析。根据领域知识可以对初始条件L031和L032进行发散分析，原材料D1的供应商可以发散为供应商U、供应商F、供应商X，以及原材料相对应的产地为燕郊、德州、涿州，发散分析如下：

根据领域知识，可以对初始条件L041和L043进行发散分析。

即可以通过招聘临时工增加员工数量；可以在进行加工前通过对员工进行短期培训，或者通过招聘新的专业员工以提高员工的专业能力水平。

对初始条件L054进行发散分析

即原材料的加工方式可以发散为机械加工或者外包加工。

5.3 实施可拓变换，获取解决问题的策略

经过对条件和目标进行拓展分析后，根据领域知识和常识可以获得求解该问题的思路。

通过上述拓展分析可以获得求解的思路，再根据拓展分析对条件实施可拓变换，可以获得求解该问题的策略。限于篇幅原因，该公司由于经费等因素，发现更换原材料供应商F和原材料供应商X，以及重新招聘具有高专业能力水平的员工和外包加工生产等策略为无效策略，变换方式从略。

下面给出该公司获取解决问题的策略的可拓变换。

根据领域知识以及对条件L032的发散分析的结果，对L032实施可拓变换 φ1，将原材料供应商转换为U，表示如下

根据对条件的相关分析所获得的相关网和基元要素之间的传导变换规则[19]，有以下的一次传导变换φ1T03γ。

即当原材料D1的供应商发生改变时，原材料D1的质量变为合格。

根据领域知识以及对条件L041和L043的发散分析结果对条件L04实施可拓变换φ2∧φ3。

即通过招聘临时工以及对临时工和员工进行短期培训的方式，以增加员工数量和提高员工专业能力水平。

根据领域知识以及对条件L054的发散分析结果，对条件L054实施可拓变换φ4。

即将产品的加工方式变化为机械加工。

再根据对条件的相关分析所获得的相关网和传导变换规则，有以下的传导变换蕴含系。

由此可见，当原材料D1的供应商变为U时，原材料D1的质量变为合格，同时，当员工数量增加到20名以及专业水平能力变成较高和加工方式改为机械加工时，可以使得产品质量合格的目标得以实现，进而实现按时交付货物的目标。

6 结论

目前已有的可拓学文献，都是针对创新问题或矛盾问题开展研究的，已经在各领域的创新和矛盾问题求解方面取得了很多成果，显示了可拓学理论与方法的重要科学价值和广阔的应用前景。但矛盾问题的目标和条件都是确定的，而在现实世界中还存在许多开放性问题，它们的边界都是动态的、不确定的。如果能够利用可拓学的理论与方法，形式化定量化地求解这类问题，将进一步拓展可拓学理论与方法的应用领域。本文以可拓学中的矛盾问题建模和求解方法为基础，针对单目标开放性问题，给出了初始可拓模型的建立方法，还有基于拓展分析方法和可拓变换方法的单目标开放性问题求解方法，案例研究也显示了该方法的有效性。该研究为单目标开放性问题提供了形式化求解的可行思路，因此也为单目标开放性问题的智能化求解研究打下了基础，也必将为今后对多目标开放性问题求解研究提供借鉴，具有重要的科学意义和应用价值。

今后深入研究的方向包括以下几个方面：发现更多的信息和知识的拓展机制，以达到解决开放性问题的目标；研究多目标开放性问题的求解方法；研究开放性问题智能求解系统以实现开放性问题的智能求解；探索可拓学理论与其他问题求解理论的结合方式，以获取更加高效的开放性问题求解机制。