再议必要性探路策略 探索知识的“源”与“流”——从一道数学高考试题谈起

蔡南好, 陈飞伶

(余杭第一中学,浙江 杭州 311100)

必要性探路是解决含参数问题的一种重要策略,也是解决含参复杂问题的一个有效手段.因为它可以把恒成立、含参问题、函数的性质等综合起来,能很好地考查学生对问题的认知水平和解决问题的能力,所以它在高考中经常被应用.

1 试题初探

此题是2023年全国数学高考甲卷理科第21题的第2)小题,分析如下:

由g(0)=0,知必有g′(0)=a-3≤0,即

a≤3.

又g(x)关于a单调递增,故只要当a=3时成立即可.

当a=3时,

则

cosx∈(0,1),

从而g′(x)<0恒成立,即g(x)单调递减,于是g(x)

从分析过程可以发现,这是典型的可以用必要性探路的问题,满足了必要性探路的所有特征:有一个临界值点、关于参数是单调性的、参数常数化后容易判定单调性等.这一策略在全国数学高考试题中常被应用,如2017年全国新课标Ⅱ卷(文科)第21题、2016年全国新课标Ⅱ卷(文科)第20题、2010年新课标(理科)第21题、2017年新课标Ⅲ卷(理科)第21题、2020年全国新课标Ⅰ卷(理科)第22题等,此外还有其他一些省份的高考题,也有相同的特征、相同的方法、相同的策略.

2 再品经典

(2020年全国数学高考新课标Ⅰ卷理科第22题)

g′(0)≥0.

g′(0)=0,

从而

g″(0)≥0.

又g″(x)=ex-3x+2a,则

g″(0)=1+2a,

得

但最终发现:此时所得到的范围与最终的范围不一致,那么问题出在哪里呢?

利用必要性先行得到的参数范围与答案的范围是一致的.而例2具有同样的特征、思路、策略,为什么结果不一样呢?笔者带着疑问,发现了问题所在:必要性探路的取值非常关键,即取什么值?为什么这样取值?如何想到这样的取值?

由以上的处理知直接取值不可行,不妨换一个角度看待问题,即“不等式问题→函数问题→函数图象问题”.

带着这样的分析与发现,笔者尝试解决问题.

即

从而

即

解得x0=2,则原不等式为

即

e2+4a-2≥5,

得

亦即证

构造函数h(x)=[2x3-(7-e2)x2+4x+4]e-x,则

h′(x)=[-2x3+(13-e2)x2+(2e2-18)x]e-x

=-x(2x+e2-9)(x-2)e-x,

h(x)max=max(h(0),h(2)).

又

h(0)=4e-0=4,

从而

h(x)max=4,

我们也发现这个求解过程有点烦琐,特别是得到切点不太简单,如何改进呢?

从而

即

解得x0=2.下同方法1(略).

此时我们发现,对于直线的构造方式稍作改进就能带来很大的简便.本着一探究竟的态度,笔者深究到底.

又

则

即

解得x0=2.下同方法1(略).

方法3在求解过程中是最简单的、最直接的、最快速的.通过对比上述3种方法,我们发现:这类问题在求切点时应尽量让直线的斜率确定,同时曲线不含有参数,这样利用导数的几何意义得到的方程是最简洁的,求解就是最简单的.

通过探究,还要让学生明白:直线是二元一次方程的形式,满足这种形式才是直线方程,这也是上述不等式等价转化的原因.因此,这个过程并不突兀,不是无中生有的,而是水到渠成、自然而然的转化结果.

3 教研相长

“教而不研则浅”,这告诉我们应该去研究问题,为未知而研,为通法而研,为高效而研,为本质而研.

通过以上高考题的分析可以发现,在特殊值的取值上有这样的特征:1)可以是区间的端点值,如2017年全国新课标Ⅱ卷(文科)第21题、2016年全国新课标Ⅱ卷(文科)第20题、2010年新课标(理科)第21题;2)可以是两个函数的切点的横坐标,如2020年新课标Ⅰ卷理科第22题;3)可以是函数的极值点,如2017年新课标Ⅲ卷(理科)第21题.综观这3类值也正好是函数图象变化的关键位置、关键点.

学生对于压轴题往往会感到束手无策,对于平时模拟题中学到的一些解题策略,在高考中会力不从心.反思教与学,是教师没把问题的本质讲解清楚,没有弄清楚问题背后所蕴涵的思想方法,也就是我们常说的“源”与“流”,直接导致了学生的思维还处于低层次的认知,缺乏高阶思考和深度学习.因此,教师在精选例题的同时,要剖析问题的本质,分析思维的起点,再总结思维的落脚点,还原问题的“源”与“流”,从而培养学生的高阶思维,落实核心素养.

研究题目,绝不仅仅是简单的解题,更关键的是要研究解题思想方法的来源,多问为什么是这样?如何才能想到是这样的?还有其他的更优策略吗?做到“知其然,知其所以然”.要研究题目背后的命题思路,命题专家是怎么命制这样一道题目的?还可以换种方式出题吗?我们还能如何进行改编呢?通过一系列的问题揭示题目的真正本质,做到举一反三、融会贯通.